TRIGONOMÉTRIE SPHÉRIQUE



COURS DE TRIGONOMÉTRIE

1. Radian

2. Trigonométrie du cercle

2.1. Cercle trigonométrique

2.2. Relations remarquables

2.2.1. Théorème du cosinus

2.2.2. Théorème du sinus

3. Trigonométrie hyperbolique

3.1. Relations remarquables

4. Trigonométrie sphérique

4.1. Relation des sinus

4.2. Angle solide

L'objectif de la trigonométrie sphérique est de déterminer les relations remarquables existants entre les angles et les côtés de formes projetées (dites également "formes géodésiques" car suivant la courbure de l'espace) sur la surface d'une sphère. Pour déterminer ces relations, nous allons nous intéresser au cas particulier d'une sphère de rayon unité et des relations entre les côtés d'un triangle (élément de surface plane élémentaire) et les différents angles existants. Nous verrons que les résultats sont au fait indépendants du rayon de la sphère et de la forme considérée initialement.

Soit la figure sur laquelle se trouve un triangle géodésique de sommets A, B, C d'angles d'ouverture respectifs equation et de côtés opposés a, b, c et trois vecteurs equation unitaires tels que equationet que l'extrémité de equation est confondu avec le sommet A:

equation
  (20.109)

L'angle entre les points B et C, noté equation, n'a pas pu être représenté sur le schéma ci-dessus faute de place.

Rappelons que le périmètre d'un cercle de rayon unité sur la sphère de rayon unité vaut bien évidemment equation. Le périmètre du cercle en fonction de l'angle d'ouverture de ce dernier étant donné par (relation très très souvent utilisée en physique!!!):

equation   (20.110)

equation

Si le cercle à rayon equation (comme c'est le cas pour notre sphère), le calcul de la longueur d'arc se simplifie et devient:

equation   (20.111)

Conséquence relativement aux points sur notre sphère; les côtés du triangle sont donnés par:

equation   (20.112)

Considérons maintenant le produit scalaire (cf. chapitre de Calcul Vectoriel) :

equation   (20.113)

et comme equation nous avons:

equation   (20.114)

Si nous décomposons les deux vecteurs equation et equation sur les vecteurs tangents unités nous avons:

equation   (20.115)

Ce qui nous donne:

equation   (20.116)

ce qui donne (distributivité du produit scalaire):

equation
  (20.117)

Comme equation et  equation, la relation précédente se réduit à:

equation   (20.118)

et comme:

equation   (20.119)

Nous avons:

equation   (20.120)

relation dit "relation fondamentale" que nous pouvons tout aussi bien écrire:

equation   (20.121)

Cette dernière relation est invariante par permutation circulaire des variables equation.

Il est que les sinus de tous les angles sont positifs (puisque inférieurs à equation), ainsi nous pouvons écrire:

equation   (20.122)

Cette dernière relation est bien évidemment également invariante par permutation circulaire des variables equation. Donc nous obtenons une relation remarquable du triangle sphérique, appelée "relation des sinus":

equation   (20.123)

Comme la trigonométrie sphérique est souvent utilisée pour des repérages terrestres, avec souvent 2 cercles très particuliers et orthogonaux : l'équateur terrestre et un méridien ou un parallèle quelconque, ce cas revêt un intérêt particulier. Le lecteur pourra s'exercer à retrouver les relations ci-dessous. Dans le cas d'un triangle rectangle en A nous avons bien évidemment:

equation   (20.124)

Toutes les relations que nous avons déterminées jusqu'à maintenant nous permettent dans le cas où equation de tirer des relations très intéressantes pour la géophysique:

equation   (20.125)

Evidemment, nous n'avons pas présenté ici toutes les relations de trigonométrie sphérique existantes, mais au moins les plus importantes qu'il faut savoir retrouver.

Remarque: Nous définissons "l'excédent" ou "excès sphérique" par le nombre:

equation   (20.126)

Pendant que nous y somme, profitons-en pour calculer un problème classique qui est celui de la surface d'un triangle sur une sphère. Soit la figure:

equation
  (20.127)

Si nous prolongeons les arcs de géodésique AC et AB jusqu'à equation, nous obtenons  une tranche de sphère dont la surface equation est proportionnelle à l'angle equation,en A. Si cet angle valait equation, nous aurions toute la sphère et la surface vaudrait equation. Comme l'angle vaut equation, la proportionnalité nous dit que equation vaut:

equation   (20.128)

De la même manière, si nous prolongeons les arcs BC et BA jusqu'à equation et si nous prolongeons les arcs CA et CB jusqu'à equation, nous obtenons deux autres tranches dont les surfaces equation et equation valent:

equation   (20.129)

Supposons maintenant que nous additionnons ces trois surfaces:

equation   (20.130)

nous obtenons alors la moitié de la sphère equation (regarder la figure pour vous le représenter mentalement) plus additionné 2 fois en trop le triangle géodésiques de surface S en bleu sur la figure (soit 2 fois en trop).

Il faut enlever deux fois la surface de ce triangle bleu pour obtenir la surface de la demi-sphère:

equation   (20.131)

Donc:

equation   (20.132)

comme equation, nous avons:

equation   (20.133)

Après simplification nous en déduisons que la surface S du triangle ABC vaut::

equation   (20.134)

equation est un angle solide.

Il est assez simple de généraliser ce concept à d'autres formes du même acabit (en particulier celles composées de triangles...).

ANGLE SOLIDE

Il se pose le problème dans la géométrie spatiale le concept d'angle d'ouverture d'une portion de l'espace (en extension à l'angle dit "angle plan"). Nous définissons alors "l'angle solideequation par la mesure de la portion d'espace limitée par une surface conique de sommet O et nous l'exprimons en stéradian, défini par le rapport :

equation   (20.135)

S étant l'aire de la calotte découpée par le cône sur une sphère de rayon r.

equation
  (20.136)

Si equation est le demi-angle du cône, nous obtenons pour ce rapport (pour le calcul de la calotte d'une surface sphérique voir le chapitre traitant des formes géométriques) :

equation   (20.137)

D'où l'on conclut que l'angle solide total vaut par définition : 

equation   (20.138)

Nous pouvons également calculer "l'angle solide élémentaire" tel que représenté ci-dessous :

equation
  (20.139)

Soit un angle solide élémentaire equation et OM l'axe du cône. Nous posons :

equation   (20.140)

Nous considérons une surface quelconque equation passant par le point M. equation découpe sur cette surface une portion equation.

Si nous traçons la sphère S de centre O et de rayon r, cet angle solide découpe sur cette sphère une calotte d'aire dS :

equation   (20.141)

Soit MN la normale à equation qui fait un angle equation avec OM. Nous avons, en assimilant dS et equationà des portions de plan :

equation   (20.142)

d'où :

equation   (20.143)

Ce concept d'angle solide nous sera très utile en partie dans le domaine de la physique théorique qui traite du rayonnement thermique (cf. chapitres d'Optique et de Thermodynamique).

Nous pouvons encore calculer à partir des concepts précédents, l'angle solide élémentaire de révolution tel que présenté sur la figure ci-dessous :

equation
  (20.144)

Il est compris entre deux angles solides de révolution dont les demi-angles au sommet diffèrent de equation.

equation   (20.145)

où :

equation   (20.146)

Démonstration:

Dans le chapitre traitant des Formes Géométriques (cf. section de Géométrie) nous avons démontré les différentes manières de calculer la surface d'une sphère. De ces calculs il avait été déduit que la surface élémentaire à R constant était:

equation   (20.147)

et puisque :

equation   (20.148)

l'angle solide élémentaire s'écrit alors :

 

equation   (20.149)

Ainsi, l'angle solide délimité par un cône de révolution, d'angle au somment equation vaut :

equation   (20.150)

equationC.Q.F.D.