TRIGONOMÉTRIE HYPERBOLIQUE



COURS DE TRIGONOMÉTRIE

1. Radian

2. Trigonométrie du cercle

2.1. Cercle trigonométrique

2.2. Relations remarquables

2.2.1. Théorème du cosinus

2.2.2. Théorème du sinus

3. Trigonométrie hyperbolique

3.1. Relations remarquables

4. Trigonométrie sphérique

4.1. Relation des sinus

4.2. Angle solide

Nous avons démontré en analyse fonctionnelle que toute fonction f(x) peut se décomposer en un fonction paire et impaire tel que :

equation   (20.70)

Ainsi, pour la fonction equation , nous obtenons :

equation   (20.71)

Rappelons lors de notre étude des nombres complexes que nous avions démontré que :

equation   (20.72)

Nous définissons alors par analogie le sinus et le cosinus hyperbolique (nous démontrerons la provenance de ce terme plus loin) par :

equation   (20.73)

et nous pouvons donc écrire :

equation   (20.74)

Relation que nous pouvons à nouveau mettre en analogie avec :

equation   (20.75)

Chose intéressante, nous pouvons travailler en trigonométrie avec des angles complexes. Effectivement, si nous posons equation, nous avons alors :

equation   (20.76)

Or :

equation   (20.77)

Donc :

equation   (20.78)

Donc la fonction hyperbolique d'un angle complexe existe et l'image en est un nombre complexe aussi. Nous pouvons ainsi voir abusivement la géométrie hyperbolique comme une sorte de généralisation de la trigonométrie du cercle aux angles réels et complexes.

Par opposition à la trigonométrie du cercle, le lecteur remarquera et vérifiera facilement que nous avons :

equation   (20.79)

Démonstration:

equation

Nous avons donc:

equation

equationC.Q.F.D.

Recherchons maintenant les fonctions réciproques des fonctions sinus et cosinus hyperboliques (que nous utiliserons parfois en physique ou en mécanique). Pour cela rappelons que:

equation   (20.80)

et que la recherche de la fonction réciproque consiste toujours à isoler x.

Donc:

equation   (20.81)

c'est-à-dire:

equation   (20.82)

en résolvant ce polynôme du deuxième degré en equation puis en prenant le logarithme nous obtenons:

equation   (20.83)

Or comme equation nous devons rejets la solution avec le signe "-". Il vient alors:

equation   (20.84)

d'où:

equation   (20.85)

En procédant de même pour:

equation   (20.86)

Donc:

equation   (20.87)

c'est-à-dire:

equation   (20.88)

en résolvant ce polynôme du deuxième degré en equation puis en prenant le logarithme nous obtenons:

equation   (20.89)

Or comme equation nous devons rejets la solution avec le signe "-". Il vient alors:

equation   (20.90)

d'où:

equation   (20.91)

Ainsi:

equation   (20.92)

Pour étudier une représentation géométrique simple posons maintenant :

equation   (20.93)

avec une restriction à equation et donc :

equation   (20.94)

Donc nous pouvons écrire :

equation   (20.95)

Or, comme nous le verrons lors de notre étude des coniques dans le chapitre de Géométrie Analytique :

1. La première de ces deux relations, constitue pour l'ensemble de définition donné, un cercle de rayon unité centré à l'origine. Le lecteur remarquera qu'il est assez curieux pour la trigonométrie du cercle d'obtenir un cercle...

2. La deuxième de ces deux relations, constitue pour l'ensemble de définition donné, une hyperbole équilatérale orientée selon l'axe X dont le sommet est S(1,0) à et de foyer equation. Le lecteur remarquera à nouveau qu'il est assez curieux pour la trigonométrie hyperbolique d'obtenir une hyperbole...

Ces deux dernières constations devraient permettre, nous l'espérons, au lecteur de comprendre l'origine du nom de la trigonométrie hyperbolique et de constater que l'étude la trigonométrie hyperbolique sur l'hyperbole est l'analogue de l'étude de la trigonométrie du cercle sur le cercle.

Si nous représentons le cercle trigonométrie et l'hyperbole trigonométrique et rajoutons quelques information complémentaire, voici ce que nous obtenons :

equation
  (20.96)

Explications :

Pour tracer à la règle et au compas le point P(x,y) de l'hyperbole, nous nous donnons x, donc le point A(x,0). Nous traçons la tangent au cercle (C) qui relie A(x,0) ce qui nous donne le point de tangence T. Nous traçons le cercle (G) de centre A(x,0) et passant par T. Ce cercle coupe P(x,y) à la perpendiculaire en A(x,0) à Ox.

Nous voyons apparaître sur la figure plusieurs valeurs des fonctions hyperboliques correspondant à equation mais aussi equation etc. Entre autres, le cercle (G) coupe l'axe Ox en deux points dont les abscisses sont equationet equation.

Si le lecteur veut s'assure de cette constat de faits que donne la figure, il pourra contrôler qu'en tout point de l'hyperbole, nous avons toujours les relations (entre autres) :

equation   (20.97)

qui sont toujours vérifiées.

Si nous traçons maintenant sur un graphique :

equation   (20.98)

Nous obtenons (ça c'est juste pour avoir vu une fois à quoi ressemble ces fonctions) :

equation
  (20.99)

Nous retrouverons la fonction cosh(x) dans le chapitre de Génie Civil par exemple dans le cadre des câbles suspendus.

RELATIONS REMARQUABLES

Soit par définition :

equation   (20.100)

et :

equation   (20.101)

A partir de ces définitions et à l'aide des opérations élémentaires d'algèbre nous pouvons déterminer les relations remarquables suivantes (c'est beaucoup plus facile que la détermination de relations remarquables de la trigonométrie du cercle, donc sauf demande nous donnons ces relations sans démonstration) :

equation   (20.102)

Egalement :

equation   (20.103)

Et nous avons les relations d'addition :

equation   (20.104)

Suite à la demande d'un étudiant, démontrons la première et troisième relation ci-dessus :

Pour la première :

equation   (20.105)

et la troisième :

equation   (20.106)

Signalons encore d'autres relations remarquables :

equation   (20.107)

et encore :

equation   (20.108)

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