TRIGONOMÉTRIE



COURS DE TRIGONOMÉTRIE

1. Radian

2. Trigonométrie du cercle

2.1. Cercle trigonométrique

2.2. Relations remarquables

2.2.1. Théorème du cosinus

2.2.2. Théorème du sinus

3. Trigonométrie hyperbolique

3.1. Relations remarquables

4. Trigonométrie sphérique

4.1. Relation des sinus

4.2. Angle solide

La trigonométrie fait partie intégrante de la science de la géométrie. Cette première ayant pour racine "mesure de la terre" la trigonométrie a pour racine "mesure des corps à trois angles (trigone)".

Remarques:

R1. Il existe actuellement trois  trigonométries connues (définies) couramment utilisées en mathématique : la trigonométrie du cercle (assimilée à l'étude des "fonctions circulaires"), la trigonométrie hyperbolique et la trigonométrie sphérique. Nous proposons dans le présent texte une tentative d'approche relativement rigoureuse de toutes les relations les plus connues dans ces trois domaines.

R2. Nous ne traiterons par contre pas ici des trigonométries quadratique et rhombique qui sont utilisées par les électroniciens et qui n'ont peu voir pas d'intérêt en physique théorique. La même remarque est valable pour la trigonométrie lemniscatique qui est en relation avec les mathématiques pures et en particulier la fonction zêta de Riemann.

R3. Le lecteur qui chercherait la démonstration des dérivées et intégrales des fonctions trigonométriques définies ci-après devra se reporter au chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral (cf. section d'Algèbre) où les dérivées et intégrales des fonctions usuelles que nous pouvons trouver dans les formulaires sont toutes démontrées.



RADIAN

Quand nous parlons de trigonométrie, la première chose qui devrait venir à l'esprit et s'imposer comme tel comme standard de mesures d'angles plans (voir le chapitre de géométrie plane pour la définition du concept d'angle) est la notion de "radians".

Définition: 1 "radian" (noté [rad]) est l'angle plan décrit par une sécante à un cercle, passant par son centre, tel que l'arc de cercle ainsi défini par l'axe horizontal passant par le centre du cercle et la sécante soit d'égale longueur au rayon de ce cercle.

Par exemple, pour un cercle de rayon equation donc de circonférence (ou périmètre P) equation la longueur de l'arc de cercle définit par une sécante ayant une angle de 1 radian par rapport à l'horizontale passant par le centre du cercle sera égale à 1.

Dès lors il vient que l'angle pour "un tour" du cercle sera de : 

equation   (20.1)

L'exemple précédent se généralise à un cercle de rayon R quelconque car l'angle pour un tour complet sera toujours equation et pour un demi-tour de equation pour un quart de equation...

Malheureusement dans les écoles, les professeurs du primaire apprennent encore aux enfants à mesurer les angles en degrés. Heureusement la conversion à faire n'est pas trop difficile... (c'est une simple règle de trois).

Soit r la mesure d'un angle en radians, d la mesure du même angle en degrés et g la mesure du même angle en grades (vieille unité) nous avons par définition :

equation   (20.2)

Les astronomes et astrophysiciens aiment bien parler en minutes ou secondes d'arc tel que :

equation (minutes d'arc)   equation (secondes d'arc)   (20.3)

TRIGONOMÉTRIE du CERCLE

Soit la figure ci-dessous représentant un cercle quelconque centré à l'origine dans une base directe :

equation
  (20.4)

De par l'application du théorème de Pythagore (cf. chapitre de Géométrie Euclidienne), nous y avons:

equation   (20.5)

avec R étant le rayon du cercle.

A partir de cette représentation, nous pouvons définir des êtres mathématiques nommés "fonctions trigonométriques du cercle" appelées aussi parfois par les anciens (...) "fonctions cyclométriques" telles que (pour les plus importantes):

equation   (20.6)

Remarques:

R1. Lisez "cosinus" pour "cos", "sinus" pour "sin", "tangente" pour "tan", "cotangente" pour "ctg", "sécante" pour "sec", "cosécante" pour "csc".

R2. Lorsque le contexte le permet et qu'il ne peut y avoir d'ambiguïté, les parenthèses après le nom de la fonction trigonométriques peuvent être omises (c'est souvent le cas en physique).

R3. Les fonctions arc... sont donc les fonctions réciproques des fonctions trigonométriques (fonctions bijectives) correspondantes!

A partir des ces fonctions, nous pouvons faire des combinaisons et tirer des relations remarquables très simples mais dont l'utilité profonde est discutable (et qui sont très peu utilisées) telles que :

equation   (20.7)

Dont voici un superbe schéma... qui résume le tout :

equation
  (20.8)

Propriétés :

P1. Si nous nous plaçons dans l'étude du cercle dit "cercle trigonométrique", il faut poser pour les définitions ci-dessus equation. Ainsi, apparaît plus nettement le sens physique de ces définitions et il en découlera un nombre de propriétés et d'applications directement exploitables dans la physique théorique et la mathématique pure.

Effectivement, si equation nous avons trivialement:

equation   (20.9)

et en appliquant le théorème de Pythagore (cf. chapitre de Géométrie Euclidienne):

equation   (20.10)

d'où:

equation   (20.11)

P2. Si equation  est un réel, et equation, les réels equation et equation sont associés au même point M de par la périodicité du cercle trigonométrique. En effet, equation et equation sont deux mesures du même angle orienté. Ainsi :

equation   (20.12)

Idem pour toutes les fonctions trigonométriques qui découlent de la définition des fonctions sinus et cosinus.

Remarque: Dans la mesure des "angles orientés", nous disons que deux mesures sont congrues modulo equation si et seulement si leur différence est un multiple de equation. Cela caractérise deux mesures d'un même angle.

Par définition,  sinus et le cosinus de tout nombre réel font partie de l'intervalle equation . Plus précisément, la position de M nous permet d'en savoir plus sur le cosinus et le sinus de equation. Ainsi :

equation
  (20.13)

Il existe également une autre représentation des fonctions trigonométriques du cercle, un peu plus technique au sens visuel mais assez important pour bien comprendre, plus tard, la mécanique ondulatoire :

equation
  (20.14)

Le lecteur devrait à ce point, remarquer sans trop de peine les propriétés suivantes (très souvent utilisées en physique!) :

equation   (20.15)

et reconnaître facilement que le sinus est une fonction impaire et la fonction cosinus une fonction paire (constat qui nous sera souvent utile dans divers développements mathématiques sur les séries trigonométriques).

Nous avons vu au début de ce chapitre, que de par la définition des fonctions trigonométriques nous avons :

equation   (20.16)

et également:

equation   (20.17)

De façon exactement identique nous démontrons que:

equation   (20.18)

A partir de ces dernières relations nous tirons sans trop de peine que:

equation   (20.19)

identiquement nous aurons :

equation   (20.20)

par le raisonnement inverse nous tirons tout aussi facilement que:

equation et equation   (20.21)

Il vient également sans difficultés en observant le cercle trigonométrique que:

equation   (20.22)

Voici les schémas qui résument la manière d'analyse de quelques de ces propriétés (pour les autres relations, la méthode est identique):

equation

equation
  (20.23)

Introduisons maintenant une dernière relation que nous retrouvons en optique ondulatoire ou encore dans le cadre des transformées de Fourier qui est le "sinus cardinal":

equation   (20.24)

représenté par:

equation
  (20.25)

C'est surtout sa forme 3D qui est connue car souvent utilisée pour des raisons marketing faisant penser à une goutte d'eau tombant dans un récipient d'eau (avec Maple) et c'est toujours joli à regarder...:

plot3d(sin(sqrt(x^2+y^2))/(sqrt(x^2+y^2)),x=-20..20,y=-20..20);

equation
  (20.26)

RELATIONS REMARQUABLES

Le dessin ci-dessous va nous permettre d'établir des relations qui permettront de résoudre des équations impliquant des fonctions trigonométriques (toutes ces relations sont de première importance en physique pour la simplification de la résolution de problèmes).

equation
  (20.27)

Nous noterons sur le schéma la relation suivante: equation

Donc:

equation   (20.28)

En résumé:

equation   (20.29)

Ce qui implique trivialement si equation:

equation   (20.30)

et :

equation   (20.31)

d'où:

equation   (20.32)

Nous avons également:

equation   (20.33)

d'où:

equation   (20.34)

Ce qui implique trivialement si equation:

equation   (20.35)

Avec la relation déjà démontrée equation nous obtenons également les relations très importantes:

equation   (20.36)

Relations avec lesquelles nous obtenons très facilement:

equation   (20.37)

et :

equation   (20.38)

d'où:

equation   (20.39)

Nous avons aussi:

equation   (20.40)

Ceci, pour en arriver à la relation:

equation   (20.41)

qui implique:

equation   (20.42)

et évidemment:

equation   (20.43)

d'où:

equation   (20.44)

Nous obtenons également de manière triviale des relations précédentes (nous faisons un petit mélange et nous secouons...):

equation et equation   (20.45)

Nous avons aussi :

equation   (20.46)

avec :

equation   (20.47)

d'où :

equation   (20.48)

de manière similaire nous obtenons :

equation   (20.49)

avec :

equation   (20.50)

d'où :

equation   (20.51)

Déterminons maintenant les formules trigonométriques complémentaires appelées "formules de Simpson" ou "formules d'addition" qui permettent d'exprimer la somme de sinus et/ou de cosinus en produit de sinus et/ou cosinus.

Soit les relations déjà démontrées précédemment:

(1) equation

  (20.52)

(2) equation

Posons equation et equation d'où :

equation et equation   (20.53)

Nous obtenons par sommation de (1) et (2):

equation   (20.54)

et par différence:

equation   (20.55)

De la même manière nous obtenons :

equation   (20.56)

et par différence:

equation   (20.57)

et inversement nous retombons très facilement sur les relations:

equation   (20.58)

Toutes ces relations nous seront utiles lors de notre étude de la physique générale et particulièrement dans le cas de calcul d'intégrales.

THÉORÈME DU COSINUS

Démontrons encore le théorème du cosinus, utile en géométrie:

Dans un triangle quelconque, le carré d'un des deux côtés est égal à la somme des autres diminués du double produit de ces deux côtés par le cosinus de l'angle compris entre eux :

equation
  (20.59)

Démonstration:

equation   (20.60)

mais dans le triangle ABH, rectangle en H, nous avons la relation equation d'où:

equation   (20.61)

Nous obtenons donc une des relations du "théorème du cosinus":

equation   (20.62)

Par permutation circulaire, nous obtenons les deux autres relations connues.

Remarque: Le théorème du cosinus est parfois appelé "formule d'Al-Kashi", par ailleurs si a est l'hypoténuse son angle opposé un angle droit tel que equation est nul et nous retrouvons donc le théorème de Pythagore. Voici pourquoi nous appelons parfois la formule d'Al-Kashi "formule de Pythagore généralisée".

THÉORÈME DU SINUS

Soit le triangle quelconque dont nous traçons deux hauteurs :

equation
  (20.63)

Dans le triangle ci-dessus nous avons les relations :

equation   (20.64)

ce qui nous conduit à l'expression :

equation   (20.65)

d'où :

equation   (20.66)

Par un raisonnement similaire nous avons :

equation   (20.67)

Ce qui donne :

equation   (20.68)

Le tout combiné nous fournit le "théorème des sinus" dont le plus exemple d'application sur ce site est certainement la détermination des points de Lagrange L4 et L5 dans le chapitre d'astronomie :

equation   (20.69)

Evidemment, il n'y a pas ici toutes les relations trigonométriques (du cercle) existantes comme nous l'avons déjà dit, mais au moins les plus importantes qu'il faut savoir retrouver lors de l'étude de systèmes physiques.

delucq


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