VARIÉTÉS



COURS SUR LA TOPOLOGIE

1. Espace topologique

2. Espace métrique et distance

2.1. Distances équivalentes

2.2. Fonctions lipschitziennes

3. Ensembles ouverts et fermés

3.1. Boules

3.2. Parties

3.3. Boules généralisées

3.4. Diamètre

4. Variétés

4.1. Variétés différentiables

Nous introduisons maintenant les "variétés". Ce sont des espaces topologiques qui sont "localement comme equation" (notre espace par exemple..).

Définitions:

D1. Une "variété topologique de dimension n" est un espace de Hausdorff M tel que pour tout equationil existe un voisinage ouvert equationavec equation, un voisinage ouvert equation et un homéomorphisme :

equation   (18.55)

D2. Un "homéomorphisme" entre deux espaces est une bijection continue dont l'inverse est également continu.

D3. Les couples equation sont appelés des "cartes", U étant le "domaine de la carte" et equation "l'application de coordonnées". Au lieu de "carte nous disons parfois aussi "système de coordonnées".

Remarque: Nous noterons par dim M la dimension d'une variété topologique. Ainsi :

equation   (18.56)

D4. Soit M une variété topologique de dimension n. Une famille A de cartes de M est appelée un "atlas" si pour tout equation, il existe une carte equation telle que equation.

Remarque: Notons que si equation sont deux cartes de M telles que (ne vérifiant pas l'axiome de Hausdorff) equation, alors l'application de changement de cartes :

equation   (18.57)

equation
  (18.58)

est un homéomorphisme.

VARIÉTÉS DIFFÉRENTIABLES

Définitions :

D1. Une "variété différentiable" est un espace topologique M où les applications equation sont des fonctions de classe equation.

D2. Un "difféomorphisme" est une application equation où equationsont des domaines ouverts de equation et si f est un homéomorphisme et en plus si equation sont différentiables.

Remarque: "différentiable" dans ce contexte signifiera toujours différentiable de classe equation

D3. Soit une variété topologique equation (pour simplifier l'écriture), deux cartes equation de M sont des "cartes compatibles" (plus précisément, compatibles de classe equation), si l'une des deux propriétés suivantes est vérifiée :

P1. equation et l'application equationde changement de cartes est un difféomorphisme

P2. equation

Un atlas A de M est différentiable si toutes les cartes de A sont compatibles entre elles.

D4. Une "variété différentiable" est un couple (M , A) où M est une variété topologique et A un atlas différentiable de M.

Remarque: Etant donné un atlas différentiable, il est parfois nécessaire de le compléter : nous disons qu'une carte de M est compatible avec un atlas différentiable si elle est compatible avec chaque carte de A. Un atlas de A est une "atlas maximal" si toute carte compatible avec A appartient déjà à A. Un atlas maximal est appelé une "structure différentiable".