COURS MATHEMATIQUE SUR LA TOPOLOGIE



COURS SUR LA TOPOLOGIE

1. Espace topologique

2. Espace métrique et distance

2.1. Distances équivalentes

2.2. Fonctions lipschitziennes

3. Ensembles ouverts et fermés

3.1. Boules

3.2. Parties

3.3. Boules généralisées

3.4. Diamètre

4. Variétés

4.1. Variétés différentiables

La topologie (du grec : discours du lieu) est un domaine extrêmement vaste des mathématiques dont il est difficile de définir avec exactitude l'objet dont elle fait l'étude tellement les les domaines où elle existe sont variés (topologie de la droite réelle, topologie des graphes, topologie différentielle, topologie complexe, topologie symplectique,...).

Ce que nous pouvons dire dans un premier temps, c'est que dans ces fondements la topologie est très intimement liée à la théorie des ensembles, à l'étude de convergence des suites et séries, à l'analyse fonctionnelle, à l'analyse complexe, au calcul intégral et différentiel, au calcul vectoriel et à la géométrie pour ne citer que les cas les plus importants se trouvant sur le présent site web.

L'origine de la topologie provient des problèmes qu'ont posés les progrès de l'analyse fonctionnelle dans l'étude rigoureuse des fonctions continues, de leur dérivabilité, de leurs limites en un point (fini ou non), de l'existence d'extremums, etc... dans des espaces de dimensions supérieures (au fait, implicitement la topologie a pour objectif de créer des outils qui permettent facilement d'étudier les propriétés des fonctions dans toutes les dimensions). Tout ces concepts, demandaient pour le mathématicien une définition rigoureuse de l'idée intuitive de proximité, tout particulièrement lors d'opérations sur ces fonctions.

Nous allons essayer de dégager les structures qui permettent de parler de limite et de continuité. L'exemple fondamental que nous prendons est le cas de equation (la droite de equation pour être rigoureux...).

ESPACE TOPOLOGIQUE

Les espaces topologiques forment le socle conceptuel dans lequel les notions de limite, de continuité ou d'équivalance sont définies.

Le cadre est suffisamment général pour s'appliquer à un grand nombre de situations différentes: ensembles finis, discrets, espaces de la géométrie, espaces numériques à n dimensions, espaces fonctionnels les plus complexes. Ces concepts apparaissent dans presque toutes les branches des mathématiques, ils sont donc centraux dans la vision moderne des mathématiques.

Si nous pensons à la droite achevée, afin d'étudier les concepts susmentionnés, il va falloir que nous mesurions (imaginons...) des morceaux de celle-ci à la règle. Or, les mesures prises de certains intervalles ou de l'ensemble de la droite doivent pouvoir présenter certaines propriétés minimales que nous allons énoncer maintenant de suite.

Définition: Soit un ensemble non vide X (la longueur d'une règle de plastique par exemple). Une "topologie F" ou "espace topologique (X, F)" sur X est une famille F de parties de X (de notre règle...) appelées "ouverts" V (comme les intervalles ouverts vus dans le chapitre d'Analyse Fonctionnelle) tel que les axiomes suivants soient vérifiés :

A1. L'ensemble vide et X sont considérés comme des ouverts et appartiennent obligatoirement à la famille de la topologie F (ces deux ouverts seuls constituent par ailleurs la "topologie grossière" la plus minimale satisfaisant à tous les axiomes):

equationet equation   (18.1)

En d'autres termes, si nous imaginons notre règle en plastique, la mesure nulle doit appartenir à celle-ci ainsi que tout point de la règle elle-même (ou un sous-ensemble de celle-ci) ou les deux.

A2. Toute intersection finie d'ouverts de F est un ouvert de F:

equation implique equation   (18.2)

A3. Toute réunion d'ouverts F est un ouvert de F:

equation implique equation   (18.3)

Remarques:

R1. Les mathématiciens notent fréquemment par la lettre O la famille des ouverts et F la famille des fermés. Convention que nous ne suivrons donc pas ici.

R2. Les "fermés" d'une topologie sont les complémentaires des ouverts. Par conséquent, la famille des fermés contient entre autres X et l'ensemble vide...

R3. La réunions d'ouverts en toute rigueur dans l'axiome

Le couple (X,F) forme un "espace de Hausdorff" ou "espace séparé" si de plus la propriété suivante dit "axiome d'Hausdorff" est vérifiée :

A4. equation avec equation, equation tels que equation et equation
Remarques:

R1. Un exemple bien connu d'espace topologique est equation muni de l'ensemble F engendré par les intervalles ouverts (par la loi d'union), c'est-à-dire les intervalles ]a,b[.

R2. Nous verrons une application très concrète des espaces de Hausdorff lors de notre études des fractales en informatique théorique.

Définition: Si nous notons (X,F) un espace topologique, F désignant les ouverts de X, une "base", au sens topologique, de (X,F) est une partie B de F telle que tout ouvert de F soit réunion d'ouverts de B (c'est la même idée que les espace vectoriels au fait mais appliqué à des ensembles... rien de bien méchant).


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