espace métrique et Distance



COURS SUR LA TOPOLOGIE

1. Espace topologique

2. Espace métrique et distance

2.1. Distances équivalentes

2.2. Fonctions lipschitziennes

3. Ensembles ouverts et fermés

3.1. Boules

3.2. Parties

3.3. Boules généralisées

3.4. Diamètre

4. Variétés

4.1. Variétés différentiables

Définition: Un "espace métrique" noté (X,d) ou encore equation est par définition un ensemble X muni d'une application equation, appelée "distance" ou "métrique", qui satisfait les axiomes suivants:

A1. equation  (positivité)

A2. equation (axiome de séparation)

A3. equation (inégalité triangulaire)

A4. equation (axiome de symétrie)
Remarques:

R1. Certains lecteurs verront de suite que certaines de ces propriétés ont déjà été vues dans d'autres chapitres du site lors de l'étude des distances entre points fonctionnels et lors de l'étude des normes (inégalité triangulaire démontrée dans le chapitre de Calcul Vectoriel - la symétrie, la nullité, la positivité, la séparation dans le chapitre d'Analyse Fonctionelle).

R2. Certains auteurs omettent l'axiome A1 ce qui est rigoureusement juste car découle trivialement de A3.

R3. Un espace métrique sera en général noté (X,d) ou bien encore equation. Nous pouvons également le noter simplement X si la distance d ne peut être confondue.

La "fonction distance" de equationest donc notée habituellement dans le plus général qui soit en mathématique :

equation   (18.4)

Remarques:

R1. Si nous n'imposons pas l'axiome A2, nous disons que d est une "semi-distance" sur X.

R2. Si nous autorisons une semi-distance d à prendre la valeur equation, nous préférons dire que d est un "écart"

R3. Si une distance d vérifie la propriété :

equation   (18.5)

propriété plus contraignante que l'inégalité triangulaire dans certains espaces, nous disons que d est "ultra-métrique".

Un exemple de distance ultra-métrique est l'arbre généalogique:

equation
  (18.6)

Nous avons les distances suivantes:

equation   (18.7)

Nous remarquons que les distances ne s'ajoutent pas mais que nous avons par contre:

equation   (18.8)

Ainsi:

equation   (18.9)

R4. Soit (E,d) un espace métrique et soit equation une partie de l'ensemble E. L'espace métrique equation où equation désigne la restriction equation de d à equation est appelé "sous-espace métrique" de (E,d) (il convient de vérifier que la distance d est équivalente à la distance equation). Dans ce cas, nous disons aussi que F est muni de la distance induite par celle de E. Nous notons simplement d la distance induite.

exempleExemples:

E1. Si nous prenons pour X le plan, ou bien l'espace à trois dimensions de la géométrie euclidienne et une unité de longueur, la "distance" au sens usuel du terme est bien une distance au sens des 5 axiomes précédemment cités. Dans ces espaces, les trois points A, B, C satisfont comme nous l'avons démontré en Calcul Vectoriel et comme il l'est intuitivement que :

equation   (18.10)

avec les autres inégalités obtenues par permutation circulaire de A, B, C. Ces inégalités sont bien connues par exemple entre les longueurs des côtés d'un triangle.

E2. Si nous prenons equation, equation et que nous dotons equation d'une structure d'espace vectoriel euclidienne (et non pas non-euclidienne) et que nous prenons deux points :

equation   (18.11)  

dans equation .

La distance est donnée nous le savons par (nous avons déjà démontré cela en Analyse Fonctionnelle et Calcul Vectoriel) :

equation   (18.12)

qui satisfait aux 5 axiomes de la distance et que nous appelons la "distance euclidienne". Nous pouvons prendre (c'est une propriété intéressante pour la culture générale), que toute relation de la forme :

equation   (18.13)

est aussi une distance dans equation (sans démonstration). Les mathématiciens font encore plus fort en généralisant encore plus (la démonstration à peu d'intérêt pour l'instant) cette dernière relation (en prenant en compte la définition même de la distance) sous la forme :

equation   (18.14)

qui est appelée "distance hölderienne".

Remarque: Suite à l'intervention d'un internaute nous précisons qu'en toute rigueur l'inclusion ci-dessus devrait être notée equationequation est la droite achevée (précision également valable pour l'inégalité de Minkowski ci-dessous).

Au même titre pour l'inégalité triangulaire, donnée alors par (cf. chapitre de Calcul Vectoriel) :

equation   (18.15)

La généralisation, de par la vérification de l'existence de la distance de hölderienne, nous donne la vraie "inégalité de Minkowski" :

equation   (18.16)

Dans le cas particulier avec equation, nous avons bien évidemment :

equation   (18.17)

qui est la distance usuelle sur equation.

E3. Si nous prenons equation, nous considérerons la distance :

equation   (18.18)

Ainsi, si equation et equation nous avons le module qui de même manière que la norme dans equation, forme une distance :

equation   (18.19)

E4. Considérons aussi equation un ensemble arbitraire. Posons :

equation si equation et equation si equation   (18.20)

Il est très facile de vérifier que cette distance vérifie les 5 axiomes et qu'elle est de plus ultra-métrique. Cette distance est appelée "distance discrète" et le lecteur remarquera que nous avons par analogie opté pour cette distance le symbole de la fonction Dirac  equation (ce n'est pas innocent !!) plutôt que la traditionnel d.

DISTANCES ÉQUIVALENTES

Parfois, deux distances différentes d et equation sur un même ensemble E sont assez ressemblantes pour que les espaces métriques liés equation possèdent les mêmes propriétés pour certains objets mathématiques définis par d d'une part, par equation. Il existe plusieurs notions de ressemblances dont voici une première (avant les autres qui nécessitent des outils mathématiques que nous n'avons pas encore définis) :

Définition: Soient d et equationdeux distances sur un même ensemble E, d et equation sont dites "distances équivalentes" s'il existe deux constantes réelles equation telles que 

equation   (18.21)

soit  :

equation   (18.22)

avec equation. Nous noterons par ailleurs cette équivalence equation.

L'intérêt de cette définition est le suivant : si nous avons convergence pour l'une des métriques, alors nous aurons la convergence pour l'autre aussi. Plus clairement :

equation   (18.23)

in extenso:

equation   (18.24)

FONCTIONS LIPSCHITZIENNES

Relativement aux définitions précédentes, nous pouvons maintenant définir quelques propriétés supplémentaires aux fonctions telles que nous les avions énoncées dans le chapitre de Théorie Des Ensembles :

Soient (E,d) et equation des espaces métriques, et soit equation une fonction. Nous définissons les propriétés suivantes :

P1. Nous disons que f est une "isométrie" si (c'est plutôt intuitif...!):

equation   (18.25)

Si nous prenons la distance usuelle, la fonction k-lipschitzienne s'écrit alors:

equation   (18.26)

ou ce que nous pouvons écrire également:

equation   (18.27)

Ou ce qui revient au même: toutes les cordes tracées entre 2 points quelconques du graphe ont un coefficient directeur (dérivée) compris entre -k et k.

Par exemple, la fonction sin(x) est 1-lipschitzienne (car la dérivée du cosinus est en valeur absolue compris entre 0 et 1).

P2. Nous disons que deux espaces métriques sont "isométriques" s'il existe une isométrie surjective de l'un sur l'autre (ce qui est assez rassurant en géométrie...).

P3. f est dite "L-lipschitzienne" de constante (ou "de rapport") L s'il existe equation tel que :

equation   (18.28)

Si equation, nous disons que f est "contractante" (ou une "contraction"), et si equation, nous disons que f est strictement contractante.

P4. Toute fonction f lipchitzienne est uniformément continue (voir plus loin voir plus loin le concept "d'uniforme continue") si elle vérifie :

equation   (18.29)

avec equation et equation (la réciproque n'est pas vraie : toute fonction uniformément continue n'est pas nécessairement continue). En d'autres termes, si nous pouvons rapprocher deux points aussi près que nous voulons dans un espace, nous le pouvons aussi dans l'autre (ce qui assure en quelque sorte la dérivation).

Remarques:

R1. Une isométrie est toujours injective car:

equation   (18.30)

mais elle n'est pas en général surjective.

R2. Si (E,d) et equation sont isométriques, du point de vue de la théorie des espaces métriques ils sont indiscernables, puisque toutes leurs propriétés sont les mêmes, mais leurs éléments peuvent être de nature très différente (suites dans l'un et fonctions dans l'autre par exemple).


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