espace métrique et Distance
1. Espace topologique
2. Espace métrique et distance
2.1. Distances équivalentes
2.2. Fonctions lipschitziennes
3. Ensembles ouverts et fermés
3.1. Boules
3.2. Parties
3.3. Boules généralisées
3.4. Diamètre
4.1. Variétés différentiables
Définition: Un "espace
métrique"
noté (X,d) ou encore 
est
par définition un ensemble X muni d'une application 
,
appelée "distance" ou "métrique",
qui satisfait les axiomes suivants:
A1. 
(positivité)
A2. 
(axiome
de séparation)
A3. 
(inégalité
triangulaire)
(axiome
de symétrie)
R1. Certains lecteurs verront de suite que certaines de ces propriétés ont déjà été vues dans d'autres chapitres du site lors de l'étude des distances entre points fonctionnels et lors de l'étude des normes (inégalité triangulaire démontrée dans le chapitre de Calcul Vectoriel - la symétrie, la nullité, la positivité, la séparation dans le chapitre d'Analyse Fonctionelle).
R2. Certains auteurs omettent l'axiome A1 ce qui est rigoureusement juste car découle trivialement de A3.
R3. Un espace métrique sera en général noté (X,d)
ou bien encore .
Nous pouvons également le noter simplement X si la distance
d ne peut être confondue.
La
"fonction distance" de 
est
donc notée habituellement dans le plus général qui soit en mathématique
:
(18.4)
R1. Si nous n'imposons pas l'axiome A2, nous disons que d est une "semi-distance" sur X.
R2.
Si nous autorisons une semi-distance d
à prendre la valeur 
,
nous préférons dire que d
est un "écart"
R3. Si une distance d vérifie la propriété :
(18.5)
propriété plus contraignante que l'inégalité triangulaire dans certains espaces, nous disons que d est "ultra-métrique".
Un exemple de distance ultra-métrique est l'arbre généalogique:
(18.6)
Nous avons les distances suivantes:
(18.7)
Nous remarquons que les distances ne s'ajoutent pas mais que nous avons par contre:
(18.8)
Ainsi:
(18.9)
R4. Soit (E,d) un espace métrique
et soit 
une
partie de l'ensemble E. L'espace métrique 
où
désigne
la restriction 
de d à 
est
appelé "sous-espace métrique" de
(E,d) (il convient de vérifier que
la distance d est équivalente à la distance ).
Dans ce cas, nous disons aussi que F est muni de
la distance induite par celle de E. Nous notons simplement d la
distance induite.
Exemples:
E1. Si nous prenons pour X le plan, ou bien l'espace à trois dimensions de la géométrie euclidienne et une unité de longueur, la "distance" au sens usuel du terme est bien une distance au sens des 5 axiomes précédemment cités. Dans ces espaces, les trois points A, B, C satisfont comme nous l'avons démontré en Calcul Vectoriel et comme il l'est intuitivement que :
(18.10)
avec les autres inégalités obtenues par permutation circulaire de A, B, C. Ces inégalités sont bien connues par exemple entre les longueurs des côtés d'un triangle.
E2. Si nous prenons 
,
et
que nous dotons 
d'une
structure d'espace vectoriel euclidienne (et non pas non-euclidienne)
et que nous prenons deux points :
(18.11)
.
La distance est donnée nous le savons par (nous avons déjà démontré cela en Analyse Fonctionnelle et Calcul Vectoriel) :
(18.12)
qui satisfait aux 5 axiomes de la distance et que nous appelons la "distance euclidienne". Nous pouvons prendre (c'est une propriété intéressante pour la culture générale), que toute relation de la forme :
(18.13)
est aussi une distance dans
(sans démonstration). Les mathématiciens font encore plus
fort en généralisant encore plus (la démonstration à peu d'intérêt
pour l'instant) cette dernière relation (en prenant en compte la
définition même de la distance) sous la forme :
(18.14)
qui est appelée "distance hölderienne".
où
est
la droite achevée (précision également valable pour l'inégalité
de Minkowski ci-dessous).Au même titre pour l'inégalité triangulaire, donnée alors par (cf. chapitre de Calcul Vectoriel) :
(18.15)
La généralisation, de par la vérification de l'existence de la distance de hölderienne, nous donne la vraie "inégalité de Minkowski" :
(18.16)
Dans le cas particulier avec
,
nous avons bien évidemment :
(18.17)
qui est la distance usuelle
sur 
.
E3. Si nous prenons 
,
nous considérerons la distance :
(18.18)
Ainsi, si 
et
nous
avons le module qui de même manière que la norme dans 
,
forme une distance :
(18.19)
E4. Considérons
aussi 
un
ensemble arbitraire. Posons :
si
et
si
(18.20)
Il
est très facile de vérifier que cette distance vérifie les 5 axiomes
et qu'elle est de plus ultra-métrique. Cette distance est appelée "distance
discrète" et le lecteur remarquera que nous avons
par analogie opté pour cette distance le symbole de la fonction
Dirac
(ce
n'est pas innocent !!) plutôt que la traditionnel d.
DISTANCES ÉQUIVALENTES
Parfois,
deux distances différentes d et
sur un même ensemble E sont
assez ressemblantes pour que les espaces métriques liés 
possèdent
les mêmes propriétés pour certains objets mathématiques définis
par d d'une
part, par .
Il existe plusieurs notions de ressemblances dont voici une première
(avant les autres qui nécessitent des outils mathématiques que nous
n'avons pas encore définis) :
Définition: Soient d et
deux
distances sur un même ensemble E,
d et
sont
dites "distances équivalentes" s'il
existe deux constantes réelles
telles
que
(18.21)
soit :
(18.22)
avec 
.
Nous noterons par ailleurs
cette équivalence 
.
L'intérêt de cette définition est le suivant : si nous avons convergence pour l'une des métriques, alors nous aurons la convergence pour l'autre aussi. Plus clairement :
(18.23)
in extenso:
(18.24)
FONCTIONS LIPSCHITZIENNES
Relativement aux définitions précédentes, nous pouvons maintenant définir quelques propriétés supplémentaires aux fonctions telles que nous les avions énoncées dans le chapitre de Théorie Des Ensembles :
Soient (E,d) et 
des espaces métriques, et soit 
une
fonction. Nous définissons les propriétés suivantes :
P1. Nous disons que f est une "isométrie" si (c'est plutôt intuitif...!):
(18.25)
Si nous prenons la distance usuelle, la fonction k-lipschitzienne s'écrit alors:
(18.26)
ou ce que nous pouvons écrire également:
(18.27)
Ou ce qui revient au même: toutes les cordes tracées entre 2 points quelconques du graphe ont un coefficient directeur (dérivée) compris entre -k et k.
Par exemple, la fonction sin(x) est 1-lipschitzienne (car la dérivée du cosinus est en valeur absolue compris entre 0 et 1).
P2. Nous disons que deux espaces métriques sont "isométriques" s'il existe une isométrie surjective de l'un sur l'autre (ce qui est assez rassurant en géométrie...).
P3. f est
dite "L-lipschitzienne" de
constante (ou "de rapport")
L s'il
existe 
tel
que :
(18.28)
Si 
,
nous disons que f est
"contractante" (ou une "contraction"),
et si 
,
nous disons que f est
strictement contractante.
P4. Toute fonction f lipchitzienne est uniformément continue (voir plus loin voir plus loin le concept "d'uniforme continue") si elle vérifie :
(18.29)
avec 
et
(la
réciproque n'est pas vraie : toute fonction uniformément continue
n'est pas nécessairement continue). En d'autres termes, si
nous pouvons rapprocher deux points aussi près que nous
voulons dans un espace, nous le pouvons aussi dans l'autre (ce
qui assure en quelque sorte la dérivation).
R1. Une isométrie est toujours injective car:
(18.30)
mais elle n'est pas en général surjective.
R2. Si (E,d) et sont
isométriques, du point de vue de la théorie des espaces métriques
ils sont indiscernables, puisque toutes leurs propriétés sont les
mêmes, mais leurs éléments peuvent être de nature très différente
(suites dans l'un et fonctions dans l'autre par exemple).
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