ENSEMBLES OUVERTS ET FERMÉS



COURS SUR LA TOPOLOGIE

1. Espace topologique

2. Espace métrique et distance

2.1. Distances équivalentes

2.2. Fonctions lipschitziennes

3. Ensembles ouverts et fermés

3.1. Boules

3.2. Parties

3.3. Boules généralisées

3.4. Diamètre

4. Variétés

4.1. Variétés différentiables

Définition: Considérons un ensemble E muni d'une distance d. Un sous-ensemble U de E est dit "sous-ensemble ouvert" si, pour chaque élément de U, il existe une distance r non nulle pour laquelle tous les éléments de E dont la distance à cet élément est inférieure ou égale à r, appartiennent à U, ce qui ce traduit en langage mathématique :

U ouvert de equation   (18.31)

Remarque: Le symbole / signifie dans ce contexte "satisfait le propriété"

Cette définition peut sembler complexe mais en fait, sa signification concrète est plus simple qu'il n'y paraît. En fait, selon cette définition, un ensemble ouvert dans un espace topologique n'est rien d'autre qu'un ensemble de points contiguës et sans bords.

L'absence de bord découle de la condition equation. En effet, en raisonnant par l'absurde, si un ensemble ouvert U avait un bord, alors pour chaque point situé sur celui-ci (le bord) il serait toujours possible de trouver un point n'appartenant pas à U aussi proche que l'on veut de lui. Il s'ensuit que la distance r nécessaire devient donc nulle.

Définitions: 

D1. Un "sous-ensemble fermé" est un "ouvert avec bord".

D2. Un "voisinage" d'un point de E est une partie de E contenant un ouvert contenant ce point.

La définition d'un ensemble ouvert peut être simplifiée en introduisant une notion supplémentaire, celle de "boule ouverte" :

BOULES

Soit x un élément de E:

Définition: Une "boule ouverte de centre x et de rayon r>0"  ou "boule métrique de rayon r centrée en x" est le sous-ensemble de tous les points de E dont la distance à x est inférieure à r, ce que nous écrivons :

equation   (18.32)

Un ensemble ouvert peut également être défini comme un ensemble pour lequel il est possible de définir une boule ouverte en chaque point.

Remarques:

R1. Les ouverts ainsi définis, forment ce que nous appelons une "topologie induite" par la distance d ou aussi "topologie métrique".

R2. Nous appelons une "couverture ouverte" U de E, un ensemble d'ouverts de E dont la réunion est E.

Définition: Une "boule fermée" est similaire à une boule ouverte mais diffère dans le sens que nous y incluons les éléments situés à la distance r du centre :

equation   (18.33)

Remarque: Pour equation les inclusions equation sont des conséquences directes de la définition de boule ouvert et fermée.

exemple Exemple:

La distance usuelle dans equation est donnée par equation. Les boules sont des intervalles. Pour equation et equation, nous avons:

equation et equation   (18.34)

Définition: Une "sphère" est donnée par :

equation   (18.35)

Remarque: Puisque par définition, equation, les boules ouvertes et fermées ne sont pas vides car elle contiennent au moins leur centre. Par contre, une sphère peut être vide.

exempleExemple:

Avec equation nous avons vu dans les exemples précédents que nous pouvions définir différentes distances. Pour les distinguer, nous les notons :

equation   (18.36)

Alors, dans equation les boules fermées de centre O et de rayon unité équivalentes aux trois formulations précédentes, ont la forme suivante (rappel : equation dans cet exemple) :

equation
  (18.37)

PARTIES

Maintenant que nous avons défini les concepts de boules, nous pouvons enfin définir rigoureusement les concepts d'intervalles ouverts et fermées (qui dans un espace à plus d'une dimension sont nommées "parties") dont nous avons fait si souvent usage en Analyse Fonctionnelle et Calcul Intégral Et Différentiel.

Définition: Soit (X,d) un espace métrique. Nous disons qu'une partie A de X est "bornée" s'il existe une boule fermée equation telle que equation:

equation   (18.38)

Compte tenu de la remarque précédente sur les inclusions des boules, il est clair que nous pouvons remplacer l'adjectif "fermée" par "ouverte". De plus l'inégalité triangulaire entraîne que le caractère borné de A ne dépend pas du choix de equation (avec un equation il suffit de remplacer r par equation).

Définitions: 

D1. Soit X un ensemble et (Y,d) un espace métrique. Si X est un ensemble, nous disons qu'une fonction equationest "bornée" si son image f(X) est bornée (cas de la fonction sinus ou cosinus par exemple).

D2. Soit (E,d) un espace métrique, et soit A une partie non vide de E. Pour tout equation nous notons d(u,A) et nous appelons "distance de u à A", le nombre réel positif non nul :

equation   (18.39)

Nous prolongeons la notion en posant :

equation   (18.40)

Si A et B sont deux parties de E nous avons respectivement (c'est peut-être plus compréhensible ainsi...):

equation   (18.41)

exempleExemple:

Si nous prenons equation et equation nous avons equation quand equation tandis que equation. Ainsi, la distance entre les parties ne définit pas vraiment une distance sur equation dans cet exemple. Il s'agit donc d'un abus de notation et il faut bien interpréter equation comme l'infinimum de la distance entre A et B

Remarques:

R1. Si le lecteur à bien compris la définition du concept de "parties" il remarquera qu'il n'existe pas nécessairement toujours un equation tel que equation. En conséquence, nous écrivons trivialement :

equation   (18.42)

De plus, si un tel equation existe, il n'est bien évidemment pas nécessairement unique.

R2. Il convient peut être de rappeler que cette distance satisfait également les 5 axiomes des distances.

D3. Soit (E,d) un espace métrique, et soit A une partie de E. Nous appelons "adhérence" de A et notons adh(A) le sous-ensemble de E défini par :

equation   (18.43)

En particulier, puisque equation , nous avons equation, et puisque equation , nous avons equation.

Remarques:

R1. Tout élément de l'ensemble adh(A) est dit "point adhérent" à A

R2. Nous disons qu'une partie A de E est une "partie fermée" si elle est égale à son adhérence

R3. Nous disons qu'une partie A de E est une "partie ouverte" si elle est son complémentaire par rapport à E :

equation   (18.44)

est fermé.

Il s'ensuit que (de par les définitions) :

equation   (18.45)

A est ouverte equation   (18.46)

avec quelques propriétés :

P1. (triviale) Si equation et equation vérifient equation, nous avons : equation

P2. (triviale) Pour tout equation, tout equation : equation

Dernière propriété qui a pour corroloaire (trivial) :

Si pour tout equation nous avons equation, equation, nous avons : equation

BOULES GÉNÉRALISÉES

La notion de distance d'un point à un ensemble permet d'étendre les notions de boule et de sphère.

Définitions:

D1. Soit equation et soit un equation. Nous appelons "boule ouverte généralisée"  de centre A et de rayon r, l'ensemble suivant :

equation   (18.47)

Respectivement "boule fermée généralisée":

equation   (18.48)

Respectivement "sphère généralisée" :

equation   (18.49)

D2. Soit (E,d) un espace métrique et soient A, B deux parties non vides de E. Nous notons g(A,B) et appelons "gap" (qui signifie "écartement" ou "espacement" en français) de A à B, le nombre réel supérieur ou égal à zéro :

equation   (18.50)

Remarque: L'inégalité triangulaire equationn'est pas valide dans le cadre des gap (ceci étant également valable). Il suffit pour le démontrer, d'un seul et unique exemple qui contredirait l'inégalité.

exempleExemple:

Dans equation prenons equation nous avons alors :

equation   (18.51)

Il y a donc bien contradiction.

DIAMÈTRE

Définition: Soit (E,d) un espace métrique et soit A une partie non vide de E. Nous notons diam(A) et nous appelons "diamètre" de A, le nombre réel positif non nul :

equation   (18.52)

Tout partie non vide A d'un espace métrique vérifiant equation sera aussi dite "bornée".

Remarque: Nous considérons la partie vide equation comme un borné de diamètre A

Si l'espace métrique (E,d) tout entier est borné, nous disons que la distance d est bornée. Par exemple, la distance discrète est bornée, la distance usuelle sur equation ne l'est pas.

Nous avons aussi les propriétés suivantes :

P1. (triviale) equationou equation

P2. (triviale) equation

P3. De par la définition du diamètre : equation

exempleExemple:

Pour equation il suffit pour se convaincre de prendre la distance discrète. Ainsi, dans un espace métrique où nous prenons equation avec equation, nous avons equation (c'est un cas intéressant car complètement contre-intuitif).

P4. Nous avons equation

exempleExemple:

Dans equation prenons equation, nous avons alors (infériorité stricte triviale):

equation   (18.53)

P5. A est borné si et seulement si equation

Définition: Nous appelons "excès de Hausdorff" de A sur B :

equation   (18.54)

Remarque: Nous avons en général equation et ces quantités peuvent ne pas être finies.

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