4.4. FRACTIONS CONTINUES



THÉORIES DES NOMBRES

1. Principe du bon ordre

2. Propriété archimédienne

3. Principe d'induction

4. Divisibilité

4.1. Division euclidienne

4.1.1. Plus grand commun diviseur

4.1.2. Algorithme d'euclide

4.1.3. Plus petit commun multiple

4.2. Théorème fondamental de l'arithmétique

4.3. Congruences

4.3.1. Classes de congruence

4.4. Fractions continues

La notion de fraction continue remonte à l'époque de Fermat et atteint son apogée avec les travaux de Lagrange et Legendre vers la fin du 18ème siècle. Ces fractions sont importantes en physique car nous les retrouvons en acoustique ainsi que dans la démarche intellectuelle qui a amené Galois à créer sa théorie des groupes.

Considérons dans un premier temps le nombre rationnel a/b avec equation avec equation et equation. Nous savons que tous les quotients equation et les restes equation sont dans le cadre de la division euclidienne des entiers positifs.

Rappelons l'algorithme d'Euclide vu plus haut (mais noté de manière un peu différente):

equation   (4.89)

Par substitutions successives, nous obtenons:

equation   (4.90)

Ce qui est aussi parfois noté:

equation   (4.91)

Ainsi, tout nombre rationnel positif peut s'exprimer comme une fraction continue finie où equation.

Exemples:

E1. Cherchons l'expression de 17/49. Nous savons déjà que equation donc que equation. Nous avons alors:

equation   (4.92)

Nous voyons bien dans cet exemple que nous avons effectivement equation. Nous pouvons également remarquer que par construction:

equation   (4.93)

où les crochets représentent la partie entière et nous avons aussi:

equation   (4.94)

E2. Voyons comment extraire la racine carrée d'un nombre A par la méthode des fractions continues.

Soit a le plus grand nombre entier dont le carré equation est plus petit que A. On le soustrait de A. Il y a donc un reste de:

equation   (4.95)

où nous avons utilisé une des identités remarquables vues dans le chapitre d'Algèbre. D'où en divisant les deux membres par la deuxième parenthèse, nous avons:

equation   (4.96)

Soit:

equation   (4.97)

Dans le dénominateur, nous remplaçons equation par:

equation   (4.98)

Cela donne:

equation   (4.99)

etc.... on voit ainsi que le système est simple pour déterminer l'expression d'une racine en termes de fraction continue.

Le développement du nombre a/b s'appelle le "développement du nombre a/b en fraction continue finie" et est condensé sous la notation suivante:

equation   (4.100)

Nous considérerons comme intuitif que tout nombre rationnel peut s'exprimer comme fraction continue finie et inversement que toute fraction continue finie représente un nombre rationnel. Par extension, un nombre irrationnel est représenté par une fraction continue infinie!

Considérons maintenant equation une fraction continue finie. La fraction continue:

equation   (4.101)

equation est appelée la "k-ème réduite" ou la "k-ème convergente" ou encore le "k-ème quotient partiel".

Avec cette notation, nous avons:

equation   (4.102)

Pour simplifier les expressions ci-dessus, nous introduisons les suites equation (n pour numérateur et d pour dénominateur) définies par:

equation   (4.103)

à l'aide de cette construction, nous avons une petite inégalité intéressante immédiate pour un peu plus loin:

equation   (4.104)

Avec la définition ci-dessus, nous constatons que:

equation   (4.105)

Soit en généralisant:

equation   (4.106)

Maintenant, montrons pour un usage ultérieur que pour equation, nous avons:

equation   (4.107)

Le résultat est immédiat pour equation. En supposant que le résultat est vrai pour i montrons qu'il est aussi vrai pour equation. Puisque:

equation   (4.108)

alors en utilisant l'hypothèse d'induction, nous obtenons le résultat!

Nous pouvons maintenant établir une relation indispensable pour la suite. Montre que si equation est la k-ème réduite de la fraction continue simple finie equation alors:

equation   (4.109)

Démonstration:

equation   (4.110)

puisque:

equation   (4.111)

donc:

equation   (4.112)

ce qui nous indique que le signe equation est le même que celui de equation.

Il en résulte que equation pour k impair, et que equation pour k pair. Il s'ensuit que:

equation et equation   (4.113)

Ensuite, puisque:

equation   (4.114)

Donc pour k pair, nous avons equation, nous en déduisons donc:

equation   (4.115)

equationC.Q.F.D.

Montrons maintenant que toute fraction continue infinie peut représenter un nombre irrationnel quelconque.

En des termes formels, si equation est une suite d'entiers tous positifs et que nous considérons equation alors celui-ci converge nécessairement vers un nombre réel si equation.

Effectivement il n'est pas difficile d'observer (c'est assez intuitif) avec un exemple pratique que nous avons:

equation   (4.116)

lorsque equation.

Maintenant, notons x un nombre réel quelconque et equation la partie entière de ce nombre réel. Alors nous avons vu tout au début de notre étude des fractions continues que:

equation   (4.117)

Il vient donc que:

equation   (4.118)

Attardons nous pour les nécessités du chapitre d'Acoustique sur le calcul d'une fraction continue d'un logarithme en utilisant la relation précédente!

D'abord rappelons que:

equation   (4.119)

Soit (relation démontrée dans le chapitre d'Analyse fonctionnelle):

equation   (4.120)

avec equation et equation.

Soit equation défini par:

equation   (4.121)

Alors montrons que:

equation   (4.122)

En effet, pour equation nous avons:

equation   (4.123)

pour equation nous avons:

equation   (4.124)

donc:

equation   (4.125)

et puisque nous avions montré que:

equation   (4.126)

etc... par récurrence ce qui démontre notre droit d'utiliser ce changement d'écriture.

exempleExemple:

Cherchons l'expression de la fraction continue de:

equation   (4.127)

Nous savons en jouant avec la définition du logarithme que:

equation   (4.128)

donc:

equation   (4.129)

donc equation. Nous avons alors:

equation   (4.130)

et puisque:

equation   (4.131)

il vient:

equation   (4.132)

Donc nous avons le premier quotient partiel:

equation   (4.133)

Et in extenso nous avons déjà:

equation   (4.134)

Simplifions:

equation   (4.135)

Donc le premier quotient partiel peut s'écrire:

equation   (4.136)

et passons au deuxième quotient partiel. Nous savons déjà pour cela que:

equation   (4.137)

donc il est immédiat que equation et alors:

equation   (4.138)

Il vient alors:

equation   (4.139)

etc... etc.