Cours mathémaitque sur les théories des nombres



THÉORIES DES NOMBRES

1. Principe du bon ordre

2. Propriété archimédienne

3. Principe d'induction

4. Divisibilité

4.1. Division euclidienne

4.1.1. Plus grand commun diviseur

4.1.2. Algorithme d'euclide

4.1.3. Plus petit commun multiple

4.2. Théorème fondamental de l'arithmétique

4.3. Congruences

4.3.1. Classes de congruence

4.4. Fractions continues

Traditionnellement, la théorie des nombres est une branche des mathématiques qui s'occupe des propriétés des nombres entiers, qu'ils soient entiers naturels ou entiers relatifs. Plus généralement, le champ d'étude de cette théorie concerne une large classe de problèmes qui proviennent naturellement de l'étude des entiers. La théorie des nombres peut être divisée en plusieurs branches d'étude (théorie algébrique des nombres, théorie calculatoire des nombres, etc.) en fonction des méthodes utilisées et des questions traitées.

Remarque: Le terme "arithmétique" était aussi utilisé pour faire référence à la théorie des nombres mais c'est un terme assez ancien, qui n'est plus aussi populaire que par le passé.

Nous avons choisi de présenter dans cet exposé que les sujets qui sont indispensables à l'étude de la mathématique et de la physique théorique ainsi que ceux devant faire absolument partie de la culture générale de l'ingénieur.

1. PRINCIPE DU BON ORDRE

Nous tiendrons acquis ce principe qui dit que que tout ensemble non vide equation contient un plus petit élément.

Nous pouvons utiliser ce théorème pour démontrer une propriété importante des nombres appelée "propriété archimédienne" ou "axiome d'Archimède" qui s'énonce ainsi :

Pour equation où a est non nul, il existe au moins un entier positif n tel que:

equation   (4.1)

En d'autres termes, pour deux grandeurs inégales, il existe toujours un multiple entier de la plus petite, supérieur à la plus grande. Nous appelons "archimédien" des structures dont les éléments vérifient une propriété comparable (cf. chapitre de Théorie Des Ensembles).

Même si cela est trivial à comprendre faisons la démonstration car elle permet de voir le type de démarches utilisés par les mathématiciens quand ils doivent démontrer des éléments triviaux de ce type...

Démonstration:

Supposons le contraire en disant que pour equation nous avons :

  equation   (4.2)

Si nous démontrons que cela est absurde pour tout n alors nous aurons démontré la propriété archimédienne.

Considérons alors l'ensemble:

equation   (4.3)

En utilisant le principe du bon ordre, nous déduisons qu'il existe equation tel que equation pour tout equation. Posons donc que ce plus petit élément est: 

equation   (4.4)

et nous avons donc aussi:

equation   (4.5)

Comme par hypothèse equation nous devons alors avoir:

equation   (4.6)

et si nous réarrangeons et simplifions:

equation   (4.7)

et que nous simplifions le signe négatif nous devions donc avoir...:

equation   (4.8)

d'où une contradiction évidente!

Cette contradiction amène que l'hypothèse initiale comme quoi equation pour tout n alors est fausse et donc que la propriété archimédienne est démontrée par l'absurde.

equationC.Q.F.D.


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