CATÉGORIES



THÉORIE DES GRAPHES

1. Matrice d'adjacence

2. Catégories

L'introduction des catégories à travers la "théorie des catégories" par Eilenberg et MacLane en 1942 avait pour but de transformer de difficiles problèmes de Topologie en problèmes plus abordables d'algèbre. Plus tard, la théorie des catégories s'est beaucoup développée, à la fois pour elle-même et pour ses applications dans les domaines les plus variés des mathématiques (par exemple en géométrie différentielle). Même si une partie de son développement autonome a parfois été critiquée, les catégories sont maintenant reconnues comme un langage puissant pour développer une sémantique universelle des structures mathématiques. On les utilise aussi en logique et plus récemment en physique, et une collaboration fructueuse semble se développer entre catégoriciens et informaticiens.

Définitions:

D1. Intuitivement une "catégorie" est juste un graphe orienté sur lequel nous nous sommes donné une loi pour composer des flèches consécutives, vérifiant certains axiomes.

D2. Un "graphe orienté" est formé d'un ensemble d'objets, appelés sommets du graphe, avec des liens entre eux, représentés par des flèches d'un sommet A vers un sommet B, ce que nous notons equation . Nous disons que A est la "source" de la flèche, et B son "but". Il peut y avoir plusieurs flèches de même source et de même but (nous les disons "parallèles") et il peut y avoir des flèches "fermées", dont la source et le but sont confondus.

D3. Deux flèches f, g sont dites "flèches consécutives" si le but de la première est en même temps la source de la seconde:

equation   (27.44)

Nous disons alors qu'elles forment un chemin de longueur 2 de A vers C. Plus généralement, un chemin (de longueur n) de A vers equation est une suite equation de n flèches consécutives :

equation   (27.45)

Une catégorie est donc un graphe dans lequel nous définissons une composition de flèches, associant à tout chemin (f , g) de longueur 2 de A vers C une flèche du graphe de A vers A, dite composée du chemin, et notée fg :

equation

  (27.46)

Cette composition vérifie les axiomes suivants:

A1. Associativité : Si fgh est un chemin de longueur 3, les deux composés f(gh) et (fg)h que nous en déduisons sont associatifs. Il s'ensuit qu'à tout chemin de longueur n est aussi associé un seul composé de sommets (invariance de l'itinéraire).

A2. Identités : A tout sommet A est associée une flèche fermée de A vers A, dite "identité" de A et notée equation, dont le composé avec une flèche de source ou de but A est égal à cette autre flèche.

Remarques:

R1. Les sommets du graphe sont aussi appelés "objets" de la catégorie et ses flèches des "morphismes" (ou simplement "liens") dans le cadre de la théorie des catégories 

R2. Une flèche f est un isomorphisme (cf. chapitre de Théorie Des Ensembles) s'il existe une flèche g  (appelée "inverse") telle que les composés fg et gf soient des identités (cet inverse est alors unique).

Ainsi, une catégorie est formée par des objets (les sommets du graphe) et des liens entre eux (les flèches ou morphismes), mais l'idée essentielle est de privilégier les liens sur les objets. En fait, le succès des catégories dans les domaines les plus variés est dû à la richesse des informations sur les objets qui peuvent être déduites de la seule considération des liens et des opérations sur ceux-ci, quelle que soit la nature et l'anatomie de ces objets.

Dans les quelques lignes qui suivent, nous expliquerons comment lire les graphes orientés que nous pouvons rencontrer parfois dans les livres de math. Ceci sera un bon exemple de la théorie des catégories car nous avons déjà rencontrés de tels graphes sans les décrire dans les chapitres sur les Nombres et la Cryptographie par exemple.

Pour simplifier nous allons expliquer ces diagrammes lorsque les objets de base sont les ensembles (ce qui est le cas le plus courant sur l'ensemble du site de toute manière).

Considérons trois ensembles A, B, et C et trois applications :

equation, equation et equation   (27.47)

Nous pouvons considérer les applications f, g et h comme des flèches qui relient les objets (ensembles) A, B, et C pour former un triangle.

equation   (27.48)

Définition (simpliste): Nous disons  que le diagramme fléché ci-dessus est "un diagramme commutatif" si tous les chemins que nous empruntons pour aller d'un objet (ensemble) à un autre représentent la même application.

Remarque: Il existe deux façons d'aller de A à C . Nous pouvons y aller directement par g ou bien suivre d'abord f puis h. Ce dernier chemin est représenté par l'application composée equation (cf. chapitre de Théorie Des Ensembles). Ainsi le diagramme ci-dessus est commutatif si equation.

Nous pouvons donc introduire la définition plus formelle :

Définition: Le diagramme ci-dessus est commutatif si equation.

Remarque: Rappelons que ceci veut dire que pour tout élément equation.

Nous pouvons compliquer à souhait les diagrammes en considérant plus d'ensembles et de flèches (applications) les reliant. Par exemple :

equation
  (27.49)

Ce diagramme étant commutatif si et seulement si equation.

Remarques:

R1. Généralement dans la littérature mathématique lorsque de tels diagrammes sont sous-entendu comme étant commutatifs.

R2. Comme déjà mentionné, les objets de ces diagrammes peuvent plus généralement être des groupes des anneaux des espaces topologiques etc. Dans ces cas, les flèches ne sont plus des applications quelconques mais respectivement des homomorphismes de groupes, des homomorphismes d'anneaux, des applications continues, etc.