4. STRUCTURES ALGÉBRIQUES 



THÉORIE DES ENSEMBLES

1. Axiomatique de Zermelo-Freankel

1.1. Cardinaux

1.2. Produit cartésien

1.3. Bornes

2. Opérations ensemblistes

2.1. Inclusion

2.2. Intersection

2.3. Réunion

2.4. Différence

2.5. Différence symétrique

2.6. Produit

2.7. Ensemble vide

2.8. Complémentarité

3. Fonctions

3.1. Fonctions surjectives, injectives, bijectives et composées

3.2. Théorème de Cantor-Bernstein

4. Structures algébriques

4.1. Magma

4.2. Monoïde

4.3. Groupe

4.4. Anneau

4.4.1. Sous-anneau

4.5. Corps

4.6. Espaces vectoriels

4.7. Algèbre

5. Homomorphismes

5.1. Isomorphisme, endomorphisme, automorphisme

5.2. Idéal

L'algèbre dite "algèbre moderne" commence avec la théorie des structures algébriques due en partie à Carl F. Gauss et surtout à Évariste Galois. Ces structures existent en un très grand nombre mais seulement les fondamentales nous intéresseront ici. Avant des les détailler, voici un diagramme synoptique des ces principales grandeurs et de leur hiérarchie :

equation
  (5.114)

Remarques: Tout en haut du diagramme, la structure au nombre minimal de contraintes, en bas, un maximum. Soit, plus nous descendons, plus la structure est en quelque sorte spécialisée.

Soit pour simplifier les écritures, equation une loi de composition (comme l'addition, la soustraction, la multiplication ou encore la division,...)...

Remarque: Cette notation généralisée est parfois appelée "notation stellaire".

Définitions: Soit equation et equation des symboles de lois internes à un ensemble E (cela pourrait être l'addition et la multiplication pour prendre le cas le plus connu) alors :

D1. equation est une "loi commutative" si : 

equation   (5.115)

D2. equation est une "loi associative" si :

equation   (5.116)

D3. n est "élément neutre"pour equation si :

equation   (5.117)

Nous admettrons par ailleurs sans démonstration (c'est intuitif) que s'il existe un élément neutre, il est unique.

D4. a' est "l'élément symétrique" (dans le sens général de l'opposé par exemple pour l'addition et l'inverse pour la multiplication) de a pour equation si :

equation   (5.118)

Nous admettrons également et sans démonstration que le symétrique de tout élément est unique.

D5.  equation est une "loi distributive" par rapport à equationsi :

equation   (5.119)

D6. b est "l'élément absorbant" si pour tout a et une loi equation nous avons:

equation   (5.120)

Remarques:

R1. Si a est son propre symétrique par rapport à la loi equation, les mathématiciens disent que a est "involutif"

R2. Si un élément b de E vérifie equation, alors b est dit "élément absorbant" pour la loi equation.

R3. Il faut toujours vérifier que les neutres et les symétriques le soient "à gauche" et "à droite". Ainsi, par exemple, dans equation, l'élément 0 n'est un neutre qu'à droite car equation mais equation.

4.1. MAGMA

Définition: Nous désignons un ensemble par le terme "magma" M , si les composants le constituant sont opérables par rapport une loi interne equation. :

equation est un magma si equation

Remarques:

R1. Si de plus la loi interne equation est commutative, nous parlons de "magma commutatif"

R2. Si de plus la loi interne equation est associative, nous parlons de "magma associatif"

R3. Si de plus la loi interne equation possède un élément neutre, nous parlons de "magma unitaire"

Il est donc important de se rappeler que si nous désignons une structure algébrique par le terme "magma" tout court, cela ne signifie en aucun cas que la loi interne est commutative, associative ou même qu'elle possède un élément neutre !

Définition: Dans un magma equation, un élément x est dit "élément régulier" (ou "élément simplifiable") à gauche si pour tout couple equation nous avons :

equation   (5.121)

Remarque: Nous définissons de même un élément régulier à droite.

Ainsi, un élément est dit "régulier" s'il est régulier à droite et à gauche. Si * est commutative (ce qui est le cas pour un magma commutatif), les notions d'élément régulier à gauche ou à droite coïncident.

exempleExemple:

Dans equation tout élément est régulier et dans equation tout élément non nul est régulier.

Un magma equation est donc une structure algébrique élémentaire. Il existe des structures plus subtiles (monoïdes, groupes, anneaux, corps, espace vectoriels, etc.) dans lesquelles un ensemble est muni de plusieurs lois et de différentes propriétés. Nous allons les voir de suite et les utiliser tout au long de ce site.

4.2. MONOÏDE

Définition: Si la loi equation est associative et possède un élément neutre nous disons alors que le "magma associatif unitaire" est un "monoïde" :

equation est un monoïde si equation

Remarques:

R1. Si de plus la loi interne equation est en plus commutative alors nous disons alors que la structure forme un "monoïde abélien" (ou simplement "monoïde commutatif").

R2. Dans certains ouvrages nous trouvons aussi comme définition que le monoïde est un "demi-groupe" (avec une loi associative) muni d'un élément neutre.

Montrons  tout de suite que l'ensemble des entiers naturels equation est un monoïde abélien totalement ordonné (comme nous l'avons partiellement vu dans le chapitre des opérateurs) par rapport aux lois d'addition et de multiplication :

La loi d'addition ( + ) est-elle une opération interne telle que equation nous ayons :

equation   (5.122)

Nous pouvons démontrer que c'est bien le cas en sachant que 1 appartient à equation tel que :

equation   (5.123)

Donc equation et l'addition est bien une loi interne (nous disons également que l'ensemble equation est "stable" par rapport à l'addition) et en même temps associative puisque 1 peut être additionné à lui-même par définition dans n'importe quel ordre sans que le résultat en soit altéré. Si vous vous rappelez que la multiplication est une loi qui se construit sur l'addition, alors la loi de multiplication ( x ) est aussi une loi interne et associative !

Nous admettrons à partir d'ici qu'il est trivial que la loi d'addition est également commutative et que le zéro "0" en est l'élément neutre (n). Ainsi, la loi de multiplication est elle aussi commutative et il est trivial que "1" en est l'élément neutre (n).

Par ailleurs, pour parler déjà de quelque chose qui n'est pas directement en relation avec le monoïde... mais qui nous sera utile un peu plus loin, existe-t-il en restant dans la lignée de l'exemple précédent pour la loi d'addition ( + ) un symétrique equation tel que equation nous ayons:

equation   (5.124)

avec equation?

Il est assez trivial que pour que cette égalité soit satisfaite nous ayons:

equation   (5.125)

soit:

a + b = -c   (5.126)

or les nombres négatifs n'existent pas dans equation. Ce qui nous amène aussi à la conclusion que la loi d'addition ( + ) n'a pas de symétrique et que la loi de soustraction ( - ) n'existe pas dans equation (la soustraction étant rigoureusement l'addition d'un nombre négatif).

De même, car cela va aussi nous être utile un peu plus loin, existe-t-il  pour la loi de multiplication ( x ) un symétrique a' tel que equation nous ayons :

equation   (5.127)

avec equation ?

D'abord il est évident que:

equation   (5.128)

Mais excepté pour equation, le quotient 1/a  n'existe pas dans equation. Donc nous devons conclure qu'il n'existe pas pour tout élément de equation de symétriques pour la loi de multiplication et ainsi que la loi de division n'existe pas dans equation et que la loi de multiplication ne forme pas un monoïde dans cet ensemble.

Synthèse:

equation (lois)
(+)
(-)
(x)
(/)
Opération interne
oui
non
oui
non
Commutative
oui
oui
Élément neutre
oui
(zéro "0")
oui
(un "1")
Élément absorbant
non
oui
(zéro "0")
Symétrique
non
non
Tableau: 5.1  - Lois et leurs propriétés dans l'ensemble des entiers naturels

Nous avons par exemple les propriétés suivantes relativement à l'ensemble des entiers naturels et au concept de monoïde:

P1. equation est totalement ordonné (attention cette notation est un peu abusive! il suffit qu'il y ait juste une des deux relations d'ordre R pour que l'ensemble soit totalement ordonné).

P2. equation et equation sont des monoïdes abéliens.

P3. L'élément zéro "0" est l'élément absorbant pour le monoïde equation.

P4. Les lois de soustraction et division n'existent pas dans l'ensemble equation.

P5. equation est un monoïde abélien totalement ordonné par rapport aux lois d'addition et de multiplication (attention la notation suivante est abusive car le monoïde est composé que d'une seule loi interne et d'une relation d'ordre R ce qui donnerait au total 4 monoïdes):

equation   (5.129)

Remarques:

R1. Il est rare d'utiliser les monoïdes; car souvent, lorsque nous nous trouvons face à une structure trop pauvre pour pouvoir vraiment discuter, nous la prolongeons vers quelque chose de plus riche, comme un groupe, ou un anneau (voir plus loin) tel que l'ensemble des entiers relatifs.

R2. Dire qu'une structure algébrique est totalement ordonnée par rapport à certaines lois signifie que soit equation une loi, et R une relation d'ordre et a,b,c,d quatre éléments de la structure intéressée, alors si aRb et cRd implique equation. Nous notons alors cette structure equation ou simplement (S,R) et en indiquant la (ou les) loi concernée.

4.3. GROUPES

Définition: Nous désignons un ensemble par le terme "groupe", si les composants le constituant satisfont aux trois conditions de ce que nous nommons la "loi interne de groupe", définie ci-dessous:

equation est un groupe si equation

Dans ce cas, la loi de compositions interne equation sera souvent (mais pas exclusivement!) notée "+" et appelée "l'addition", le neutre e noté "0" et le symétrique de x noté "-x".

Insistons sur le fait que la structure de groupe est probablement une des plus importantes dans la pratique de l'ingénieur et de la physique moderne en général. Raison pour laquelle il convient d'y porter une attention toute particulière (cf. chapitre d'Algèbre Ensembliste)!

Si de plus, la loi interne equation est également commutative, nous disons alors que le groupe est un "groupe abélien" ou simplement "groupe commutatif".

S'il existe dans G au moins un élément a tel que tout élément de G est une puissance de a ou du symétrique a' de a, nous disons que equation est un "groupe cyclique de générateur a" s'il est fini, sinon nous disons qu'il est "monogène" (nous reviendrons sur les groupes cycliques dans le chapitre d'Algèbre Ensembliste).

Plus généralement un groupe equation d'élément neutre e, non réduit uniquement à {e} sera monogène, s'il existe un élément a de G distinct de e tel que equation. Un tel groupe sera cyclique, s'il existe un entier n non nul pour lequel equation. Le plus petit entier non nul vérifiant cette égalité est alors "l'ordre du groupe".

exempleExemple:

Montrons tout de suite que l'ensemble des entiers relatifs equation  est un groupe abélien totalement ordonné (comme nous l'avons vu dans le chapitre des Opérateurs) par rapport aux lois d'addition et de multiplication.

D'abord pour raccourcir les développements, il est utile de rappeler que l'ensemble equation est un "prolongement" de equation par le fait que nous y avons ajouté tous les nombres symétriques de signe négatif ( equation).

Ainsi, en abusant toujours des notations (car normalement un groupe n'a qu'une seule loi et une seule relation d'ordre R suffit à l'ordonner):

equation  (5.130)

forme un groupe abélien totalement ordonné (4 groupes au fait!) et:

equation   (5.131)

un monoïde abélien (deux monoïdes au fait!) totalement ordonné.

Remarquons aussi que la loi de division n'existe pas pour tout élément de l'ensemble equation! Donc en toute généralité nous disons qu'elle n'y existe pas.

Synthèse :

equation (lois)
(+)
(-)
(x)
(/)
Opération interne
oui
oui
oui
non
Associative
oui
non
oui
Commutative
oui
non
oui
Élément neutre
oui
(zéro "0")
non
(0 pas neutre à gauche)
oui
(un "1")
Élément absorbant
non
non
oui
(zéro "0")
Symétrique
oui
(signe opposé)
oui
non
Tableau: 5.2  - Lois et leurs propriétés dans l'ensemble des entiers relatifs

Nous avons donc les propriétés suivantes :

P1. equation est totalement ordonné (attention à nouveau cette notation est un peu abusive! il suffit qu'il y ait juste une des deux relations d'ordre R pour que l'ensemble soit totalement ordonné).

P2. equation est un groupe commutatif dont zéro "1" est l'élément neutre.

P3. La loi de division n'existe pas dans l'ensemble equation.

P4. L'ensemble equation est un groupe abélien totalement ordonné par rapport à la loi d'addition (attention la notation suivante est encore une fois abusive car le groupe est composé que d'une relation d'ordre R ce qui donnerait au total 2 groupes):

equation   (5.132)

L'ensemble equation n'est pas un groupe commutatif totalement ordonné par rapport à la loi de multiplication :

equation   (5.133)

Nous voyons de suite alors que equation a des propriétés trop restreintes, c'est la raison pour laquelle il est intéressant de le prolonger par l'ensemble des rationnels equation défini de manière très simpliste... par (cf. chapitre sur les Nombres):

equation   (5.134)

Ce qui signifie pour rappel que l'ensemble des rationnels et défini par l'ensemble des quotients p et q appartenant chacun à equation dont nous excluons à q de prendre la valeur nulle (la notation /q signifiant l'exclusion).

Et nous avons évidemment:

equation   (5.135)

Il est dès lors évident (sans démonstration et toujours en utilisant la notation abusive déjà commentée mainte fois plus haut...) que equation est aussi totalement ordonné et aussi que equation est un groupe abélien totalement ordonné par rapport à la loi d'addition seulement :

equation   (5.136)

Ce qui devient intéressant avec equation, c'est que la loi de multiplication devient une loi interne et forme un groupe abélien commutatif dit "groupe multiplicatif" par rapport à equation.

Démonstration:

Démontrons donc que le symétrique existe pour la loi de multiplication (.) tel que:

equation   (5.137)

Puisque dans equation tout nombre peut se mettre sous la forme:

equation    (5.138)

avec equation.

Alors puisque:

equation   (5.139)

Il existe donc un symétrique à tout rationnel dans equation pour la loi de multiplication.

equationC.Q.F.D.

Par définition, ou par construction, la division existe dans equation et est une opération interne. Mais est-elle associative telle que pour equation nous ayons:

equation   (5.140)

Démonstration:

Au fait, la démonstration est assez triviale si nous nous rappelons que la division se définit à partir de la loi de multiplication par l'inverse et que cette dernière loi est (elle!) associative. Ainsi, il vient :

equation   (5.141)

Donc la loi de division n'est pas associative dans equation.

equationC.Q.F.D.

Nous pouvons aussi nous demander si la loi de division ( / ) est cependant commutative tel que la relation:

equation   (5.142)

pour equation?

Nous voyons très bien que cela n'est pas le cas puisque nous pouvons écrire cette dernière relation sous la forme:

equation   (5.143)

Synthèse:

equation (lois)
(+)
(-)
(x)
(/)
Opération interne
oui
oui
oui
oui
Associative
oui
non
oui
non
Commutative
oui
non
oui
non
Élément neutre
oui
(zéro "0")
non
(0 pas neutre à gauche)

oui
(un "1")

oui
("1" neutre à droite)

Élément abs.
non
non
oui
(zéro "0")
oui
("0" au numérateur)
Symétrique
oui
(signe opposé)
oui
(signe opposé)
non
(excepté dans equation)
non
Tableau: 5.3  - Lois et leurs propriétés dans l'ensemble des rationnels

Nous avons donc les propriétés suivantes :

P1. equation est totalement ordonné

P2. equation sont indépendamment des groupes abéliens totalement ordonnés

P3. Zéro "0" est l'élément absorbant par rapport  groupe equation

P4. L'ensemble equation est un groupe abélien totalement ordonné par rapport aux lois d'addition et de multiplication que nous notons :

equation et equation   (5.144)

Les mêmes propriétés sont applicables à equation et à equation mais à la différence que ce dernier n'est pas ordonnable.

Cependant, il peut être compréhensible que pour equation vous soyez sceptiques. Développons donc tout cela:

Nous devons nous assurer que la somme, la différence, le produit et le quotient de deux nombres de la forme equation donne quelque chose d'encore de cette forme.

Additionnons les nombres  equation et  equation où a, b, c et d sont des réels :

equation   (5.145)

Donc l'addition est bien une loi interne commutative et associative pour laquelle il existe un élément neutre et symétrique dans l'ensemble des complexes.

Soustrayons les nombres  equation et  equation où  a, b, c et d  sont ici encore, des réels :

equation   (5.146)

Donc la soustraction est une opération interne elle n'est ni commutative, ni associative elle n'a pas d'élément neutre à gauche et pas de symétrique.

Multiplions maintenant les nombres equation et  equation où  a, b, c et d  là toujours, des réels. Pour parvenir à nos fins, nous emploierons la distributivité de la multiplication par rapport à l'addition.

equation   (5.147)

Donc la loi de multiplication est bien une opération interne commutative, associative et distributive (!) pour laquelle il existe un élément neutre et symétrique dans equation (voir ci-après) dans l'ensemble des complexes.

Une division est avant tout une multiplication par l'inverse. Prouver qu'il existe un inverse c'est prouver qu'il existe un symétrique pour la multiplication. Inversons donc le nombre equationx et y sont des réels (différents de zéro):

equation   (5.148)

Donc l'inverse d'un nombre complexe est bien une opération interne non associative et non commutative pour laquelle il existe un élément neutre, et elle est symétrique. Il en est de même pour la division, qui correspond au produit par l'inverse d'un nombre complexe.

Voyons un exemple de groupe cyclique : Dans equation, considérons G={1,i,-1,-i} muni de la multiplication usuelle des nombres complexes. Alors equation est évidemment un groupe abélien. Un tel groupe est aussi monogène car engendré par les puissances d'un de ses éléments : i (ou bien -i). Ce groupe monogène étant fini, il s'agit alors d'un groupe cyclique.

4.4. ANNEAUX

L'anneau est le coeur de l'algèbre commutative qui est la structure algébrique correspondant aux concepts collégiens d'addition, de soustraction, et de multiplication.

Définition: Un groupe commutatif (ou "groupe abélien") A est un "anneau" s'il est muni d'une seconde loi de composition interne vérifiant les propriétés suivante :

equation est un anneau si equation

Comme nous le savons déjà, l'élément neutre de la première loi de composition interne + est noté "0" et appelé "zéro" de l'anneau. La deuxième loi interne est souvent notée par un point à demi-hauteur et appelée la "multiplication".

Remarques:

R1. Si de plus, la deuxième loi interne de composition equation est également commutative, l'anneau est dit "anneau commutatif". Nous rencontrons aussi des anneaux non-commutatifs dans lesquels la relation de commutativité n'est pas imposée, il faut alors renforcer la propriété de l'élément neutre de cette deuxième loi en imposant à "1" d'être un élément neutre à la fois à droite et à gauche tel que : equation (un exemple d'anneau non-commutatif est fourni par l'ensemble des matrices equation à coefficients dans un anneau A, par exemple equation- voir chapitre d'Algèbre Linéaire).

R2. Si de plus, il existe dans A un élément neutre pour la deuxième loi de composition interne equation, et que cet élément neutre est l'unité "1" nous disons alors que l'anneau est un "anneau unitaire" et 1 est appelé "unité" de l'anneau. Si l'anneau est commutatif et possède un élément neutre pour la deuxième loi de composition interne alors nous parlons "d'anneau commutatif unitaire"

R3. Si equation, quels que soient les éléments a,b de A, l'anneau est dit "anneau intègre" ou "anneau sans diviseurs de zéro" (dans le cas contraire il est bien évidemment "non intègre").

R4. Un "anneau factoriel" est un anneau commutatif unitaire et intègre dans lequel le théorème fondamental de l'arithmétique (cf. chapitre de Théorie des Nombres) est vérifié.

Définitions:

D1. Un élément a d'un anneau A est un "élément unité" s'il existe equation tel que equation. Si un tel b existe il est unique (nous en avons vu un exemple lors de notre étude des classes de congruence en théorie des nombres).

D2. Soit A un anneau. Nous disons que A possède des diviseurs de zéro s'il existe equation avec equation et equation. Les éléments a et b sont appelés des "diviseurs de zéro".

Remarques:

R1. Il est clair qu'un anneau est intègre si et seulement si il ne possède aucun diviseur de zéro.

R2. Les notions d'unité et de diviseurs de zéro sont incompatibles mais un élément d'un anneau peut être ni l'un ni l'autre. C'est le cas, par exemple, de tous les entiers equation dans equation. Ce ne sont ni des unités, ni des diviseurs de zéro.

Nous verrons un exemple important d'anneau lors du cadre de notre étude des polynômes (cf. chapitre de Calcul Algébrique) mais nous en avons déjà vu de très importants lors de notre étude des classes de congruences dans le chapitre de théorie des nombres.

Voyons quelques exemples d'anneaux : Lors de notre étude des groupes nous avons trouvé que les structures :

equation   (5.149)

sont tous les quatre des groupes abéliens et les trois premiers sont en plus totalement ordonnés.

La loi de division n'étant en aucun cas associative, nous pouvons nous restreindre à étudier pour chacun des groupes précités, le couple de lois: (+) et ( x ).

Ainsi, il vient très vite que:

equation   (5.150)

constituent des anneaux commutatifs unitaires et intègres.

Remarque: Nous considérerons comme évident, à ce niveau du discours, que le lecteur aura remarqué que est equation un "sous-anneau" de equation dans le sens où les opérations définies sont internes à chacun des ensembles et que les éléments neutres et identité sont identiques et qu'il existe pour chaque élément de ces ensembles un opposé qui est dans le même ensemble. Nous allons approfondir le concept de sous-anneau un peu plus loin.

Soit A un anneau. Nous avons les propriétés suivant :

P1. equation

P2. equation

P3. equation

Démonstrations:

DM1. La propriété P1 découle de la définition D4 des structures algébriques (tout élément possède un opposé/symétrique). En effet, nous pouvons additionner à l'égalité equation l'élément -a. Nous obtenons alors equation par l'existence de l'opposé cela donne equation d'où equation

DM2. La propriété P2 découle des définitions D3 (existence de l'élément neutre), D4 (existence de l'opposé/symétrique), D5 (distributivité par rapport à l'autre loi) ainsi que de la propriété P1 ci-dessus. En effet, nous avons :

equation   (5.151)

Nous avons donc equation. La propriété P1 ci-dessus permet de conclure que equation (nous pourrions discuter de la pertinence de ce genre de démonstration...).

DM3. La propriété P3. se montre à l'aide de P2. Nous avons :

equation   (5.152)

en ajoutant -a à cette dernière égalité, nous avons:

equation   (5.153)

equationC.Q.F.D.

SOUS-ANNEAU

Définition: Soit A un anneau et equation un sous-ensemble de A. Nous disons que S est un "sous-anneau" de A si :

P1. equation (élément neutre de A est aussi dans S)

P2. equation

P3. equation

P4. equation

exempleExemple:

L'anneau equation est un sous-anneau de equation

4.5. CORPS

Définition: Nous désignons un ensemble de nombres par le terme "corps" si :

equation est un corps si equation

Donc un corps est un anneau non nul dans lequel tout élément non nul est inversible ou en d'autres termes : un anneau dont tous les éléments non nuls sont des unités est un corps.

Remarques:

R1. Si la loi interne equation est également commutative, le corps est dit "corps commutatif".

R2. Les quaternions (cf. chapitre sur les Nombres) forment par exemple un corps non commutatif pour l'addition et la multiplication.

Voyons des exemples de corps parmi les anneaux unitaires suivant :

equation   (5.154)

Il nous faut d'abord déterminer lesquels ne constituent pas des groupes par rapport à la loi interne de multiplication ( equation ).

Comme nous l'avons déjà vu dans notre étude des groupes précédemment, il est évident qu'il nous faut éliminer equation à cause de l'existence des inverses qui n'est pas assurée dans cet ensemble.

Ainsi, les corps fondamentaux de l'arithmétique sont:

equation   (5.155)

et puisque la loi de multiplication ( equation ) est commutative dans ces ensembles, nous pouvons affirmer que ces corps sont également des corps commutatifs.

Nous avons souvent dans les petites classes le schéma suivant pour le corps le plus important:

equation   (5.156)

Ainsi, nous appellerons "corps" un système C de nombres réels ou complexes a tels que la somme, la différence, le produit et le quotient de deux quelconques de ces nombres a appartiennent au même système C.

Nous énonçons également cette propriété de la manière suivante : les nombres d'un corps se reproduisent par les opérations rationnelles (addition, soustraction, multiplication, division). Ainsi, il est évident que le nombre zéro ne pourra jamais former le dénominateur d'un quotient et l'ensemble des entiers ne peut former un corps car la division dans l'ensemble des nombres entiers ne donne pas nécessairement un résultat dans ce même ensemble.

4.6. ESPACES VECTORIELS

Lorsque nous définissons un "vecteur" (cf. chapitre de Calcul Vectoriel), nous faisons habituellement référence à un "espace euclidien" (cf. aussi chapitre de Calcul Vectoriel) de n dimensions de equation. Cependant, la notion d'espace vectoriel est beaucoup beaucoup plus vaste que ce dernier qui ne représente qu'un cas particulier.

Définition: Un "espace vectoriel (EV)" ou "K-espace vectoriel" (abrégé : K-ev) sur le corps K (nous prendrons fréquemment pour ce corps equation ou equation) est un ensemble equation possédant les propriétés :

equation   (5.157)

Nous avons donc deux lois de composition (en prenant les notations traditionnelles des vecteurs qui sera peut-être plus parlante et utile pour la suite...):

1. Une loi de composition interne: l'addition notée + qui vérifie:

1.1. Associativité: equation

1.2. Commutativité: equation

1.3. Élément neutre: equation

1.4. Élément opposé: equation

2. Une loi de composition externe: la multiplication par un scalaire, notée equation, qui vérifie:

2.1. Associativité: equation

2.2. Distributivité: equation

2.3. Distributivité: equation

2.4. Élément neutre (de K sur E): equation

Remarques:

R1. Nous disons alors que l'espace vectoriel à une "structure algébrique vectorielle" et que ces éléments sont des "vecteurs", les éléments de K des "scalaires".

R2. Les opérations respectives s'utilisent fréquemment comme l'addition et la multiplication que nous connaissons bien sur equation, ce qui est bien commode pour nos habitudes….

R3. Dorénavant, pour distinguer les éléments du corps K et de l'ensemble E, nous noterons ceux de  K par des lettres grecques et ceux de E par des lettres latines majuscules.

R4. Outre les cinq propriétés énumérées ci-dessus, il ne faut pas oublier d'ajouter les cinq autres propriétés du groupe abélien (opération interne, commutativité, associativité, élément neutre, élément inverse). Ce qui nous fait donc au total dix propriétés à respecter.

Il est inutile de démontrer que ces propriétés sont respectées pour equation et, par conséquent pour equation. Nous pouvons cependant nous poser la question à propos de certains sous-ensembles de equation.

exempleExemples:

E1. Considérons la région rectangulaire illustrée dans la figure (a) (et en perspective dans la figure (c)) ci-dessous :

equation
  (5.158)

Ce sous-ensemble de equation n'est pas un espace vectoriel car, entre autres, la propriété d'opération interne du groupe abélien n'est pas satisfaite. En effet, si nous prenons deux vecteurs à l'intérieur du rectangle et que nous les additionnons, il se peut que le résultat sorte du rectangle. Par contre, il est facile de voir que la droite (infinie) illustrée dans la figure (b) respecte toutes les propriétés énumérées précédemment et, par conséquent, défini un espace vectoriel. Notons bien, cependant, que cette droite se doit de passer par l'origine, sinon la propriété d'élément neutre du groupe abélien ne serait pas respectée (l'élément neutre n'existant plus).

E2. Un autre exemple d'un espace vectoriel est l'ensemble equation des polynômes de degré deux ou moins (cf. chapitre de Calcul Algébrique). Par exemple, deux éléments de cet espace sont :

equation   (5.159)

Cet ensemble respecte les 10 propriétés d'un espace vectoriel. En effet, si nous additionnons deux polynômes de degré deux ou moins, nous obtenons un autre polynôme de degré deux ou moins. Nous pouvons aussi multiplier un polynôme par un scalaire sans changer l'ordre (ou degré) de celui-ci, etc. Nous pouvons donc représenter un polynôme par des vecteurs dont les termes sont les coefficients du polynôme.

Mentionnons que nous pouvons aussi former des espaces vectoriels avec des ensembles de fonctions plus générales que des polynômes. Il importe seulement de respecter les dix propriétés fondamentales d'un espace vectoriel !

Ainsi défini, un espace vectoriel E sur K est une action de equation sur equation qui est compatible avec la loi de groupe (par extension un "automorphisme" - voir la définition plus loin - sur equation).

Définition: Soit E un espace vectoriel, nous appelons "sous-espace vectoriel" (SEV) F de E un sous-ensemble de E si et seulement si :

equation   (5.160)

4.7. ALGÈBRES

Une "C-algèbre A" où C est un corps commutatif, est un ensemble A muni de deux lois de composition internes + (addition) et equation (produit) et d'une loi externe equation (multiplication) à domaine d'opérateurs C (produit par un scalaire) si et seulement si :

equation   (5.161)

exempleExemples:

E1. Pour reprendre un exemple dans la lignée de celui sur les exemples vectoriels, l'espace euclidien equation muni de l'addition (+), de la multiplication equation et du produit vectoriel equation est une equation-algèbre non associative et non commutative notée equation.

E2. equation est une equation-algèbre (un nombre complexe pouvant être vu comme un vecteur à deux composantes selon ce que nous avons dans le chapitre des Nombres).


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