2. OPÉRATIONS ENSEMBLISTES



THÉORIE DES ENSEMBLES

1. Axiomatique de Zermelo-Freankel

1.1. Cardinaux

1.2. Produit cartésien

1.3. Bornes

2. Opérations ensemblistes

2.1. Inclusion

2.2. Intersection

2.3. Réunion

2.4. Différence

2.5. Différence symétrique

2.6. Produit

2.7. Ensemble vide

2.8. Complémentarité

3. Fonctions

3.1. Fonctions surjectives, injectives, bijectives et composées

3.2. Théorème de Cantor-Bernstein

4. Structures algébriques

4.1. Magma

4.2. Monoïde

4.3. Groupe

4.4. Anneau

4.4.1. Sous-anneau

4.5. Corps

4.6. Espaces vectoriels

4.7. Algèbre

5. Homomorphismes

5.1. Isomorphisme, endomorphisme, automorphisme

5.2. Idéal

Nous pouvons construire à partir d'au moins trois ensembles A,B,C, l'ensemble des opérations (dont nous devons les notations à Dedekind) existant dans la théorie des ensembles (très utiles dans l'étude des probabilités et statistiques). 

Remarque: Certaines des notations présentes ci-dessous se retrouveront fréquemment dans des théorèmes complexes, il est donc nécessaire de bien comprendre de quoi il en retourne.

Ainsi, nous pouvons construire les opérations ensemblistes suivantes :

2.1. INCLUSIONS

Dans le cas le plus simple, nous définissons "l'inclusion" par :

equation   (5.53)

En langage non spécialisé voici qu'il faut lire : A est "inclus" (ou "fait partie", ou encore est un "sous-ensemble") dans B alors pour tout x appartenant à A chacun des ces x appartient aussi à B.

equation
  (5.54)

De ceci il en découle les propriétés suivantes:

P1. Si equationet equation alors cela implique equation=equation et réciproquement

P2. Si equation et equation alors cela implique equation

2.2. INTERSECTION

Dans le cas le plus simple, nous avons :

equation   (5.55)

En langage non spécialisé voici qu'il faut lire : "L'intersection" des ensembles A et B consiste en l'ensemble des éléments qui se trouvent à la fois dans A et dans B.

equation
  (5.56)

Plus généralement, si equation est une famille d'ensembles indexés par equation, l'intersection des equation est notée :

equation   (5.57)

Cette intersection est donc définie explicitement par :

equation   (5.58)

C'est-à-dire que l'intersection de la famille d'ensembles indexés comprend tous les x qui se trouvent dans chaque ensemble de tous les ensembles de la famille.

Soit deux ensembles A et B, nous disons qu'ils sont "disjoints" si et seulement si:

equation   (5.59)

Par ailleurs, si :

equation   (5.60)

Les mathématiciens notent cela :

equation   (5.61)

et l'appellent "union disjointe"

Définition: Une collection equation d'ensembles non vides forment une "partition" d'un ensemble A si les propriétés suivantes sont vérifiées :

P1. equation et equation

P2. equation

exempleExemples:

E1. L'ensemble des nombres pairs et l'ensemble des nombres impairs forment une partition de equation.

E2. La loi d'intersection equation est une loi commutative (voir plus loin la définition du concept de "loi") telle que:

equation   (5.62)

2.3. RÉUNION/UNION

Dans le cas le plus simple, nous avons :

equation   (5.63)

En langage non spécialisé voici ce qu'il faut lire: La "réunion" ou "union" des ensembles A et B consiste en l'ensemble des éléments qui se trouvent dans A et en plus dans B.

equation
  (5.64)

Plus généralement, si equation est une famille d'ensembles indexés par equation, l'union des equationest notée equation. Cette réunion est définie par:

equation   (5.65)

C'est-à-dire que la réunion de la famille d'ensembles indexés comprend tous les x pour lesquels il existe un ensemble indexé par i tel que x soit inclus dans cet ensemble equation.

Nous avons les propriétés de distributivité suivantes:

equation   (5.66)

equation   (5.67)

La loi de réunion  equation est une loi commutative (voir plus loin la définition du concept de "loi") telle que:

equation   (5.68)

Nous appelons par ailleurs "lois d'idempotences" les relations (précisons cela pour la culture générale):

equation   (5.69)

et "lois d'absorptions" les lois:

equation   (5.70)

Les lois de réunion et d'intersection sont associatives telles que:

equation   (5.71)

et distributives telles que:

equation   (5.72)

2.4. DIFFÉRENCE

Dans le cas le plus simple, nous avons :

equation   (5.73)

En langage non spécialisé voici ce qu'il faut lire : La "différence" des ensembles A et B consiste en l'ensemble des éléments qui se trouvent uniquement dans A (et qui excluent donc les éléments de B).

equation
  (5.74)

Si nous nous rappelons du concept de "cardinal" (voir plus haut), nous avons avec les opérations précédemment définies, la relation suivante:

equation   (5.75)

d'où si equation :

equation   (5.76)

2.5. DIFFÉRENCE SYMÉTRIQUE

Soit E un ensemble. Pour tout equation nous définissons la différence symétrique equation entre A et B par :

equation   (5.77)

En langage non spécialisé voici que qu'il faut lire: La "différence symétrique" des ensembles A et B consiste en l'ensemble des éléments qui se trouvent uniquement dans A et de ceux se trouvant uniquement dans B (nous laissons donc de côté les éléments qui sont communs).

equation
  (5.78)

Les propriétés triviales sont les suivantes :

P1. equation

P2. equation

P3. equation

2.6. PRODUIT

Dans le cas le plus simple, nous avons :

equation   (5.79)

En langage non spécialisé voici que qu'il faut lire: "l'ensemble produit" (à ne pas confondre avec la multiplication ou le produit vectoriel) de deux ensembles A et B est l'ensemble des couples tels que:

equation   (5.80)

L'ensemble produit des réels equation par exemple forme le plan où chaque élément est défini par une abscisse et son ordonnée.

2.8. COMPLÉMENTARITÉ

Dans le cas le plus simple, nous avons :

equation   (5.81)

En langage non spécialisé voici que qu'il faut lire : Le "complémentaire" est défini comme en prenant B un ensemble et A un sous-ensemble de B alors le complémentaire de A dans B est l'ensemble des éléments qui sont dans B mais pas dans A.

Par exemple, dans la figure ci-dessous nous avons le complémentaire de A par rapport à U qui est indiqué en gris (s'il est seul il s'agit donc de l'univers seul qui l'entoure).

equation
  (5.82)

Une autre notation très importante de la complémentarité qu'on retrouve parfois dans la littérature est la suivante:

equationou equation   (5.83)

ou dans le cas particulier à droit si dessus, nous pourrions aussi écrire B/A (la notation equation serait rarement utilisée car elle peut prêter à confusion dans certaines situations).

Nous avons comme propriétés pour tout equation inclus dans B :

equation   (5.84)

equation   (5.85)

Voici quelques lois triviales relatives aux compléments:

equation   (5.86)

Il existe d'autres lois très importantes en logique booléenne. Si nous considérons trois ensembles A, B, C comme représentés ci-dessous:

equation
  (5.87)

nous avons donc:

equation   (5.88)

et les fameuses "lois de De Morgan" sous forme ensembliste (cf. chapitre de Systèmes Logiques Formels) et qui sont données par les relations :

equation   (5.89)


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