5. HOMOMORPHISMES



THÉORIE DES ENSEMBLES

1. Axiomatique de Zermelo-Freankel

1.1. Cardinaux

1.2. Produit cartésien

1.3. Bornes

2. Opérations ensemblistes

2.1. Inclusion

2.2. Intersection

2.3. Réunion

2.4. Différence

2.5. Différence symétrique

2.6. Produit

2.7. Ensemble vide

2.8. Complémentarité

3. Fonctions

3.1. Fonctions surjectives, injectives, bijectives et composées

3.2. Théorème de Cantor-Bernstein

4. Structures algébriques

4.1. Magma

4.2. Monoïde

4.3. Groupe

4.4. Anneau

4.4.1. Sous-anneau

4.5. Corps

4.6. Espaces vectoriels

4.7. Algèbre

5. Homomorphismes

5.1. Isomorphisme, endomorphisme, automorphisme

5.2. Idéal

Le concept d'homomorphismes (du grec homoios = semblable et morphê = forme) a été défini par les mathématiciens car permettant de mettre en évidence des propriétés remarquables des fonctions en particulier avec leurs structures, leur noyau, et de ce que nous appelons les "idéaux" (voir plus loin). Ils nous permettront ainsi d'identifier une structure algébrique d'une autre.

Définitions:

D1. Si equation et equation sont deux magmas (peu importe la notation utilisé pour les lois internes), une application f de A dans B est un "homomorphisme de magma" ou "morphisme de magma" (par abus de langage nous écrivons parfois aussi "homorphisme" par flegme) si :

equation   (5.162)

en d'autres termes, si l'image d'un composé dans A est le composé des images dans B.

D2. Si equation et equation sont deux monoïdes, une application f de A dans B est un "homomorphisme de monoïde" si :

equation   (5.163)

equation sont les éléments neutres respectifs des monoïdes A,B.

D3. Si A, B sont deux anneaux, un "homomorphisme d'anneaux" (très important pour le chapitre de Cryptographie!) de A dans B est une application equation telle que nous ayons pour tout equation :

equation   (5.164)

equation sont les éléments neutres des anneaux A, B par rapport à la multiplication.

Soit equation un homomorphisme d'anneaux. Alors :

P1. equation

P2. equation

P3. Si a est une unité de A, alors f(a) est une unité de B et equation

Démonstrations:

DM1. Par equation, nous avons equation. En ajoutant equation des deux côtés de l'égalité, nous obtenons equation

DM2. La propriété P2 découle aussi de equation et de la propriété P1. En effet, nous avons equation. En additionnant equation aux deux côtés de la dernière égalité, nous obtenons equation.

DM3. Soient equation tel que equation. Alors par equation et equation, nous avons equation et de même equation ce qui montre que f(b) est l'inverse de f(a) si b est l'inverse de a.

equationC.Q.F.D.

Montrons maintenant qu'un homomorphisme d'anneaux equation est injectif si et seulement si l'élément 0 est la seule pré-image de 0 (et donc réciproquement), ce qui se note techniquement:

equation   (5.165)

c'est-à-dire que le noyau est trivial.

Démonstration:

La condition est clairement nécessaire. Montrons qu'elle est suffisante :

Nous supposons donc que equation. Soit equation tel que equation. Alors comme nous avons un homorophisme d'anneaux nous pouvons écrire:

equation   (5.166)

qui implique que equation donc que equation .

Ce qui montre que f est injectif si c'est un homorphisme et que et que equation en est effectivement une condition suffisante.

equationC.Q.F.D.

D4. Soient equation et equation , deux groupes et f une application equation. Nous disons que f est un "homomorphisme de groupe" si (nous pourrions tout aussi bien mettre * au lieu de + dans le premier groupe et + au lieu de * dans le deuxième groupe, la définition resterait la même en remplaçant simplement les opérateurs respectifs!):

equation   (5.167)

equation sont les éléments neutres respectifs des groupes A,B . Nous remarquons que la seule différence entre un homorphisme d'anneau et un homorphisme de groupe est que ce dernier à deux lois au lieu d'une et nous y rajoutons le concept d'inverse.

Ceci dit, la troisième proposition ci-dessus est en fait une conséquence de la définition composée uniquement des deux premières lignes. Effectivement, considérons un homomorphisme f entre les groupes equationet equation avec equation et equation respectivement les éléments neutres de A et B.

Nous avons alors:

equation   (5.168)

d'où:

equation   (5.169)

et donc:

equation   (5.170)

D5. Soient f une application equationd'un corps vers un autre. Nous disons que f est un "homomorphisme de corps" si f est un homomorphisme d'anneaux...

Effectivement, le fait que l'homomorphisme de corps soit le même que celui d'un anneau tient juste au fait que la différence entre les deux structures est que les éléments du corps sont tous inversibles (aucune loi ou propriété de loi ne diffère entre les deux selon leur définition).

Montrons maintenant que tout homomorphisme de corps est injectif ("homomorphisme injectif") en se rappelant que plus haut nous avons démontré que tout homomorphisme d'anneaux l'était!

Démonstration:

Si a est différent de 0 et equation (nous utilisons ici la propriété que les éléments d'un corps sont inversibles!) alors:

equation   (5.171)

Donc lorsque a est différent de zéro f(a) est différent de 0 lorsque ce qui prouve que equation et donc que f est injective.

equationC.Q.F.D.

D6. Soient A et B deux K-ev et equation une application de A dans B. Nous disons que f est une "application linéaire" ou "homomorphisme d'espaces vectoriels" si :

equation   (5.172)

et nous notons L(A,B) l'ensemble des applications linéaires.

Remarques:

R1. Nous avions déjà défini plus haut le concept d'application linéaire mais n'avions pas précisé que les deux ensembles A et B étaient des K-ev.

R2. L'application linéaire est appelée "forme linéaire" si et seulement si equation

D7. Si l'homomorphisme est bijectif nous dirons alors que f est un "isomorphisme". S'il existe un isomorphisme entre A et B, nous disons que A et B sont "isomorphes" et nous noterons cela equation.

Remarque: L'isomorphisme permet au fait d'identifier deux ensembles munis d'une structure algébrique identique (que ce soit groupe, anneau, etc.) mais dont les éléments sont nommés d'une façon différente.

D8. Si l'homomorphisme f est une application uniquement interne, nous dirons alors que f est un "endomorphisme" (en d'autres termes, nous avons un endomorphisme si dans la définition de l'homorphisme nous avons A=B)

Remarque: Si nous avons un endomorphisme f de E, f est donc restreint à Im(f). Donc le terme "endomorphisme" veut juste dire que l'application f arrive dans E et pas qu'elle touche tous les éléments de E. Nous avons equation et pas forcément equation car dans ce dernier cas nous disons que f est surjective comme nous l'avons déjà vu.

D9. Si l'endomorphisme f est en plus bijectif (donc en d'autres termes si l'homomorphisme est un endomorphisme et un isomorphisme), nous dirons alors que f est un "automorphisme"

5.2. IDÉAL

Définition: Soit A un anneau commutatif. Un sous-ensemble equation est un "idéal" si :

P1. equation pour tout equation

P2. equation pour tout equation et tout equation

En d'autres termes, un idéal est un sous-ensemble fermé pour l'addition et stable par multiplication par un élément quelconque de A.

exempleExemple:

L'ensemble des nombres pairs est par un exemple d'idéal de l'ensemble des nombres naturels.

Remarque: Les idéaux equationet equation sont appelé les "idéaux triviaux".

Pour savoir si un idéal est égal à tout l'anneau, il est utile d'utiliser la propriété suivante qui spécifie que si A est un anneau et I un idéal de A, alors si equation nous avons equation.

Démonstration:

Ceci résulte de la propriété P2 de la définition d'un idéal :

Pour tout equation, nous avons equation car equation.

equationC.Q.F.D.

Un premier exemple d'idéal est donné par le noyau d'un homomorphisme d'anneaux. Effectivement, démontrons que le noyau d'un homomorphisme equation est un idéal de R.

Démonstration:

Soient equation. Alors :

equation   (5.173)

ce qui montre que equation. Soit equation, alors :

equation   (5.174)

ce qui montre que equation.

equationC.Q.F.D.

Proposition : Soit A un anneau et soit equation. Le sous-ensemble :

equation   (5.175)

noté equation ou aA, est un idéal (nous allons voir un exemple concret après la prochaine définition).

Définitions:

D1. Un idéal equation d'un anneau A est dit "idéal principal" s'il existe equation tel que equation.

D2. Un anneau dont tous les idéaux sont principaux est dit "anneau principal".

Montrons maintenant que l'anneau equation est principal (car tous ses idéaux sont principaux).

Démonstration:

Soit I un idéal de equation (il est facile d'en choisir un : par exemples tous les multiples de 2 ou de 3, etc.). Soit equation le plus petit entier positif non nul de I. Nous allons montrer que equation:

Soit a un élément quelconque de I. La division euclidienne nous permet d'écrire :

equation   (5.176)

avec equation (nous l'avons déjà démontré).

Mais comme equation et que equation, par la définition d'un idéal, nous avons equation (la somme ou différences des éléments d'un idéal appartenant à l'idéal). Par choix de r (étant inférieur à r) ceci implique que equation et donc que equation.

Ainsi tout élément de I est un multiple de r et donc :

equation   (5.177)

equationC.Q.F.D.

La démonstration ci-dessus n'utilise que la division euclidienne sur equation. Nous pouvons alors généraliser ce résultat aux anneaux qui possèdent une division euclidienne. Ainsi, par exemple, l'anneau k[X] des polynômes (cf. chapitre de Calcul Algébrique) à coefficients dans un corps k est un anneau principal car il possède une division euclidienne.

Démonstration:

Soit I un idéal de k[X]. Notons d le plus petit degré que puisse avoir un polynôme non nul de I. Si equation alors equation et donc equation. Autrement, soit a(X) un polynôme de degré d. Si equation alors on peut diviser u(X) par a(X). Il existe equation tels que equation et equation. Donc equation ce qui entraîne equation (autrement contradiction avec la minimalité de d). Par suite, equation. Nous venons de montrer que equation

equationC.Q.F.D.

Ainsi, les seuls idéaux de equation sont ceux de la forme equation. De plus si nous avons d et m qui sont des entiers > 1. Alors equation si et seulement si d | m.

Démonstration:

Si d | m alors il existe n avec equation. Soit equation un élément de equation. Alors :

equation   (5.178)

ce qui montre que equation.

Réciproquement, si equation ceci implique que m est de la forme equation et ceci prouve que d divise m.

equationC.Q.F.D.

Démontrons aussi qu'un anneau R est un corps si et seulement s'il ne possède que les idéaux triviaux {0},R.

Démonstration:

Montrons que la condition est nécessaire : Soit I un idéal non nul de R et equation un élément non nul. Par hypothèse (qu'il s'agit d'un corps), il est inversible, c'est-à-dire qu'il existe equation tel que equation. Ceci implique que equation et donc, par un résultat obtenu plus haut equation.

Réciproquement, supposons que tout idéal equation soit l'idéal nul. Alors si equation est un élément non nul de R, l'idéal principal (r) doit être égal à R. Mais ceci implique que equation et dont qu'il existe equation avec equation ce qui montre que r est inversible. L'anneau R est donc un corps.

equationC.Q.F.D.

Cette caractérisation va nous permettre de démontrer facilement que tout homomorphisme partant d'un corps est injectif. Soit que si equation un homomorphisme où R est un corps. Alors f est injectif.

Démonstration:

Nous mettons ensemble ce qui a été vu jusque-là. Nous avons démontré plus haut que le noyau Ker(f) d'un homomorphisme est un idéal. Mais nous avons également démontré plus haut que nous avons soit equation soit equation (car l'anneau R est un corps si et seulement s'il ne possède que les idéaux triviaux).

Mais vu que equation (de par la définition d'un homomorphisme) il s'ensuit qu'il reste equation (puisque nous avons démontré que si A est un anneau et I un idéal de A alors si equation alors equation). Ceci implique par un théorème précédent (où nous avons démontré que si equation l'homomorphisme est injectif) que... f est injective.

equationC.Q.F.D.

Etudions maintenant les homomorphismes dont l'anneau de départ est equation. Soit A un anneau et equation un homomorphisme. Par définition d'un homomorphisme et par ses propriétés, il faut que equation et equation. Mail il faut encore que :

equation   (5.179)

pour tout equation. Ainsi f est complètement déterminé par la donnée de f(1) et est donc unique. Réciproquement, nous montrons que l'application equation définie par :

equation   (5.180)

est un homomorphisme d'anneaux. En résumé. il existe un et un seul homomorphisme de equation dans un anneau quelconque A.

Définition: Soit A un anneau et equation l'unique homomorphisme défini précédemment. Si f est injectif, nous dirons que A est de "caractéristique nulle". Sinon, Ker(f)est un idéal non trivial de equation et comme equation est dès lors principal (comme nous l'avons démontré plus haut) il est de la forme equation avec equation. L'entier m est appelé la "caractéristique de A".

Remarque: Moins formellement, la caractéristique d'un anneau est le plus petit entier positif m tel que equation. S'il n'y en a pas, alors la caractéristique est nulle.

exempleExemple:

L'anneau equation est de caractéristique nulle car l'unique homomorphisme equation est l'identité. Il est donc injectif. Les injections equation montrent que equation (et equation également) sont des corps de caractéristique nulle)

Nous nous proposons maintenant de démontrer que la caractéristique d'un anneau intègre (et en particulier d'un corps) est égale 0 ou à un premier p.

Démonstration:

Nous montrons la contraposée. Soit A un anneau de caractéristique equation avec m non premier. Il existe alors des entiers naturels equation tels que equation. Soit equation l'unique homomorphisme (définir précédemment). Par définition (de l'idéal) de m, nous avons equation mais equation. Mais alors equation ce qui montre que A n'est pas intègre.

equationC.Q.F.D.

Remarque: La réciproque du théorème n'est pas vraie comme le montre l'exemple de l'anneau equation où l'addition et la multiplication se font composante par composante. C'est un anneau de caractéristique nulle mais avec des diviseurs de zéro :

equation   (5.181)