3. FONCTIONS et applications



THÉORIE DES ENSEMBLES

1. Axiomatique de Zermelo-Freankel

1.1. Cardinaux

1.2. Produit cartésien

1.3. Bornes

2. Opérations ensemblistes

2.1. Inclusion

2.2. Intersection

2.3. Réunion

2.4. Différence

2.5. Différence symétrique

2.6. Produit

2.7. Ensemble vide

2.8. Complémentarité

3. Fonctions

3.1. Fonctions surjectives, injectives, bijectives et composées

3.2. Théorème de Cantor-Bernstein

4. Structures algébriques

4.1. Magma

4.2. Monoïde

4.3. Groupe

4.4. Anneau

4.4.1. Sous-anneau

4.5. Corps

4.6. Espaces vectoriels

4.7. Algèbre

5. Homomorphismes

5.1. Isomorphisme, endomorphisme, automorphisme

5.2. Idéal

Définition: En mathématiques, une "application" (ou "fonction") notée f ou A est la donnée de deux ensembles, l'ensemble de départ E et l'ensemble d'arrivée F (ou d'image de E), et d'une relation associant à chaque élément x de l'ensemble de départ un et un seul élément de l'ensemble d'arrivée, que nous appelons "image de x par f " et que nous notons f(x).

Nous appelons "images" les éléments de f(E) et les éléments de E sont appelés les antécédents.

Nous disons alors que f est une application de E dans F notée:

equation   (5.90)

(se rappeler du premier diagramme sagittal présenté au début de ce chapitre), ou encore une application à arguments dans E et valeurs dans F.

Remarque: Le terme "fonction" est souvent utilisé pour les applications à valeurs numériques, réelles ou complexes, c'est-à-dire lorsque l'ensemble d'arrivée est equation ou equation. Nous parlons alors de "fonction réelle", ou de "fonction complexe".

Définitions:

D1. Le "graphe" (ou encore "graphique" ou "représentative") d'une application equation est le sous-ensemble du produit cartésien equationconstitué des couples (x,f(x)) pour x variant dans E. La donnée du graphe de f détermine son ensemble de départ (par projection sur la première composante souvent notée x) et son image (par projection sur la seconde composante souvent notée y).

D2. Si le triplet equation est une fonction où E et F sont deux ensembles et equation est un graphe et donc E et F sont respectivement la source et le but de f. Le "domaine de définition" ou "ensemble de départ" de f est :

equation = equation   (5.91)

D3. Etant donnés trois ensembles E, F et G (non vides), toute fonction de equation vers G est appelée "loi de composition" de equation à valeurs dans G.

D4. Une "loi de composition interne" (ou simplement "loi interne") dans E est une loi de composition de equation à valeurs dans E (cas E=F=G). 

Remarque: La soustraction dans equation n'est pas une loi de composition interne bien qu'elle fasse partie des quatre opérations élémentaires apprises à l'école. Par contre l'addition sur equation en est biens une.

D5. Une "loi composition externe" (ou simplement "loi externe") dans E est une loi de composition de equation à valeurs dans E, où F est un ensemble distinct de E. En général, F est un corps, dit "corps de scalaires"

exempleExemple:

Dans le cas d'un espace vectoriel (voir définition beaucoup plus bas) la multiplication d'un vecteur (dont les composantes se basent sur un ensemble donné) par un réel est une loi de composition externe.

Remarque: Une loi de composition externe à valeurs dans E est aussi appelée "action de F sur E". L'ensemble F est alors le domaine d'opérateurs. On dit aussi que F opère sur E (ayez en tête l'exemple des vecteurs précédemment cité)

D6. Nous appelons "image de f", et nous notons Im(f), le sous-ensemble défini par :

equation   (5.92)

Ainsi, "L'image" d'une application equation est la collection des f(x) pour x parcourant E , c'est un sous-ensemble de F.

Et nous appelons "noyau de f", et nous notons Ker(f), le sous-ensemble très important en mathématiques défini par :

equation   (5.93)

Selon la figure (il faut bien comprendre ce concept de noyau car nous le réutiliserons de nombreuses fois pour démontrer des théorèmes ayant des applications pratiques importantes) :

equation
  (5.94)

Remarques:

R1. Ker(f) provient de l'allemand "Kern", signifiant tout simplement "noyau". En anglais, le noyau se dit aussi "kernel", signifiant "amande" dans le civil.

R2. Normalement les notations Im et Ker sont réservées aux homomorphismes de groupes, d'anneaux, de corps et aux applications linéaires entre espaces vectoriels ou modules etc.... (voir plus loin). Nous n'avons normalement pas l'habitude de les utiliser pour des applications quelconques entre ensembles quelconques. Mais bon...ça fait rien.

Les applications peuvent avoir une quantité phénoménale de propriétés dont voici celles qui font partie des connaissances générales du physicien (pour plus de renseignements sur ce qu'est une fonction, voir le chapitre traitant de l'Analyse Fonctionnelle).

Soit f une application d'un ensemble E à un ensemble F alors nous avons les propriétés suivantes :

P1. Une application est dite "surjective" si :

Tout élément y de F est l'image par f d'au moins (nous insistons sur le "au moins") un élément de E. Nous disons encore que c'est une "surjection" de E dans F. Il découle de cette définition, qu'une applicationequation est surjective si et seulement si equation. En d'autres termes, nous écrivons aussi cette définition ainsi :

equation   (5.95)

ce qui s'illustre par:

equation
  (5.96)

P2. Une application est dite "injective" si :

Tout élément y de F est l'image par f d'au plus (nous insistons sur le "au plus") un seul élément de E. Nous disons encore que f est une injection de E dans F. Il résulte de cette définition, qu'une applicationequation est injective si et seulement si les relations equation et equation impliquent equation autrement dit : une application pour laquelle deux éléments distincts ont des images distinctes est dite injective. Ou encore, une application est injective si l'une aux moins des propriétés équivalentes suivantes est vérifiée :

P2.1 equation

P2.2 equation

P2.3 equation l'équation en x, equation a au plus une solution dans E

Tout cela s'illustrant par:

equation
  (5.97)

P3. Une application est dite "bijective" si :

Une application f de E dans F est à la fois surjective et injective. Dans ce cas, nous avons que pour tout élément y de F de l'équation equation admet dans E une unique (ni "au plus", ni "au moins") pré-image x.  Ce que nous écrivons aussi :

equation   (5.98)

ce qui s'illustre par:

equation
  (5.99)

Nous sommes ainsi tout naturellement amené à définir une nouvelle application de F dans E, appelée "fonction réciproque" de f et notée equation , qui a tout élément y de F, fait correspondre l'élément x de E pré-image (ou solution) unique de l'équation equation. Autrement dit:

equation   (5.100)

L'existence d'une application réciproque implique que le graphique d'une application bijective (dans l'ensemble des réels...) et celui de son application réciproque sont symétriques par rapport à la droite d'équation equation

Effectivement, nous remarquons que si equation est équivalent à equation. Ces équations impliquent que le point (x, y) est sur le graphique de f si et seulement si le point (y, x) est sur le graphique de equation.

exempleExemple:

Prenons le cas d'une station de vacances où un groupe de touristes doit être logé dans un hôtel. Chaque façon de répartir ces touristes dans les chambres de l'hôtel peut être représentée par une application de l'ensemble des touristes vers l'ensemble des chambres (à chaque touriste est associée une chambre).

- Les touristes souhaitent que l'application soit injective, c'est-à-dire que chacun d'entre eux ait une chambre individuelle. Cela n'est possible que si le nombre de touristes ne dépasse pas le nombre de chambres.

- L'hôtelier souhaite que l'application soit surjective, c'est-à-dire que chaque chambre soit occupée. Cela n'est possible que s'il y a au moins autant de touristes que de chambres.

- S'il est possible de répartir les touristes de telle sorte qu'il y en ait un seul par chambre, et que toutes les chambres soient occupées : l'application sera alors à la fois injective et surjective nous dirons qu'elle est bijective.

Remarques:

R1. Il vient des définitions ci-dessus qu'une application f est bijective (ou "biunivoque") dans l'ensemble des réels si et seulement si toute droite horizontale coupe la représentation graphique de la fonction en un seul point. Nous pouvons donc amener à faire la seconde remarque suivante :

R2. Une application qui vérifie le test de la droite horizontale est continument croissante ou décroissante en tout point de son domaine de définition.

P4. Une application est dite "fonction composée" si :

Soit equation une application de E dans F et equation une fonction de F dans G. L'application qui associe à chaque élément x de l'élément de E, equation de G s'appelle "application composée" de equation et de equation et se note equation.

Le symbole " equation " est appelé "rond". Ainsi, la relation précédente ce lit "psi rond phy". Ainsi:

equation   (5.101)

Soit, de plus, equation une application de G dans H. Nous vérifions aussitôt que l'opération de composition est associative:

equation   (5.102)

Cela nous permet d'omettre les parenthèses et d'écrire plus simplement: equation

Dans le cas particulier où equation serait une application de E dans E, nous notons equation l'application composée equation (k fois).

Ce qui est important dans ce que nous venons de voir dans ce chapitre, c'est que toutes les propriétés définies et énoncées ci-dessus sont applicables aux ensembles de nombres.

Voyons en un exemple très concret et très puissant:

3.2. THÉORÈME DE CANTOR-BERNSTEIN

Attention. Ce théorème, dont le résultat peut sembler évident, n'est pas forcément simple à aborder (son formalisme mathématique n'est pas très esthétique...). Nous vous conseillons de lire très lentement et de vous imaginer les diagrammes sagittaux dans la tête lors de la démonstration.

Voici l'hypothèse à démontrer: Soit X et  Y deux ensembles. S'il existe une injection (voir la définition d'une fonction injective ci-dessus) de X vers Y et une autre de Y vers X, alors les deux ensembles sont en bijection (voir la définition d'une fonction bijective ci-dessus). Il s'agit donc aussi d'une relation antisymétrique.

Ce qui s'illustre par:

equation
  (5.103)

Pour la démonstration, nous avons besoin en toute rigueur de démontrer au préalable un lemme (évident à nouveau intuitivement...) dont l'énoncé est le suivant :

Soit X, Y, Z trois ensembles tels que equation. Si X et Y sont en bijection, alors X et Z sont en bijection.

Une exemple d'application de ce lemme est l'ensemble des nombres naturels et des nombres rationnels qui sont en bijection. Dès lors, l'ensemble des entiers relatifs est en bijection avec l'ensemble des nombres naturels puisque:

equation   (5.104)

Démonstration:

D'abord, au niveau formel, créons une fonction f  telle quelle soit bijective:

equation   (5.105)

Nous avons besoin maintenant de définir l'ensemble A par les images de l'union des fonctions des fonctions f (du genre f(f(f...))) ) des pré-images de l'ensemble Z dont nous excluons les éléments de X (ce que nous notons: Z-X ).

En d'autres termes (si la première forme n'est pas claire...) nous définissons l'ensemble A comme étant l'union des images de (Z-X) par les applications equation Ce que nous noterons donc:

equation   (5.106)

Nous avons alors bien évidemment (faire un schéma de tête des diagrammes sagittaux peut aider à ce niveau là...):

equation   (5.107)

Nous pouvons démontrer élégamment cette dernière relation:

equation
  (5.108)

(sympathique n'est-ce pas...).

Comme Z peut être partitionné en equation et equation, nous posons comme une définition l'application g telle que:

equation   (5.109)

tel que pour toute pré-image a nous ayons:

equation   (5.110)

(rappelez-vous de la définition des applications notées "f") et:

equation   (5.111)

L'application g est alors bijective car ses restrictions à equation et equation, (qui forment une partition) sont f et l'identité qui sont par définition bijectives.

Finalement il existe bien, par construction, une bijection entre X et Z.

equationC.Q.F.D.

Reprenons les hypothèses du théorème de Cantor-Bernstein:

Soit equation une injection de X vers Y et equation une injection de Y vers X

Nous avons alors:

equation et  equation   (5.112)

donc:

equation   (5.113)

Comme equation est injective, X et equation sont par définition en bijection et de même, comme equation est injective, equation et equation sont en bijection (là il est bon de relire...).

Donc: X et equation sont eux aussi en bijection.

En utilisant le lemme sur equation et X , il vient donc que equationest en bijection equationce qui nous donne avec ceux que nous avons vu juste précédemment, que puisque aussi equation et equation sont en bijection, alors que equationest en bijection avec equation,  alors X et Y sont en injection (ouf! c'est beau mais c'est aussi vicieux que simple).

equationC.Q.F.D.

Ce théorème s'interprète de la manière suivante : Si nous pouvons compter une partie d'un ensemble avec la totalité des éléments d'un autre ensemble, et réciproquement, alors ils ont le même nombre d'éléments. Ce qui est évident pour des ensembles finis. Ce théorème généralise alors cette notion pour des ensembles infinis et c'est là sa force!

À partir de là, ce théorème représente l'une des briques de base pour généraliser la notion de tailles d'ensembles à des ensembles infinis.


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