1. AXIOMATIQUE DE ZERMELO-FRAENKEL



THÉORIE DES ENSEMBLES

1. Axiomatique de Zermelo-Freankel

1.1. Cardinaux

1.2. Produit cartésien

1.3. Bornes

2. Opérations ensemblistes

2.1. Inclusion

2.2. Intersection

2.3. Réunion

2.4. Différence

2.5. Différence symétrique

2.6. Produit

2.7. Ensemble vide

2.8. Complémentarité

3. Fonctions

3.1. Fonctions surjectives, injectives, bijectives et composées

3.2. Théorème de Cantor-Bernstein

4. Structures algébriques

4.1. Magma

4.2. Monoïde

4.3. Groupe

4.4. Anneau

4.4.1. Sous-anneau

4.5. Corps

4.6. Espaces vectoriels

4.7. Algèbre

5. Homomorphismes

5.1. Isomorphisme, endomorphisme, automorphisme

5.2. Idéal

L'axiomatique de Zermelo-Fraenkel, abrégée "axiomatique ZF-C", présentée ci-dessous a été formulée par Ernst Zermelo puis précisée par Adolf Abraham au début du 20ème siècle et complétée par l'axiome du choix (d'où le C majuscule dans ZF-C). Elle est considérée comme la plus naturelle dans le cadre de la théorie des ensembles.

Remarque: Il existe bien d'autres axiomatiques, basées sur le concept plus général de "classe", comme celle développée par von Neumann, Bernays et Gödel (pour les notations, voir le chapitre traitant de la Théorie De La Démonstration).

Strictement et techniquement parlant, les axiomes de ZF sont des énoncés du calcul des prédicats du premier ordre (cf. chapitre de Théorie De La Démonstration) égalitaire dans un langage ayant un seul symbole primitif pour l'appartenance (relation binaire). Ce qui suit doit donc seulement être perçu comme une tentative d'exprimer en français la signification attendue de ces axiomes.

A1. Axiome d'extensionalité:

Deux ensembles sont égaux si, et seulement si ils ont les mêmes éléments. C'est ce que nous notons :

equation   (5.12)

Donc A et B sont égaux si tout élément x de A appartient aussi à B et tout élément x de B appartient aussi à A.

A2. Axiome de l'ensemble vide: 

L'ensemble vide existe, nous le notons:

equation   (5.13)

et il n'a aucun élément, son cardinal vaut donc 0.

En réalité cet axiome peut être déduit à partir d'un autre axiome que nous verrons un peu plus loin mais il est pratique à introduire en tant que tel par commodité pédagogique dans les petites classes.

A3. Axiome de la paire:

Si A et B sont deux ensembles, alors, il existe un ensemble C contenant A et B et eux seuls comme éléments. Cet ensemble C se note alors {A, B}.

Du point de vue des ensembles considérés comme des éléments cela donne:

equation   (5.14)

Cet axiome montre aussi l'existence du "singleton" (single=seul) d'un ensemble noté :

{X}   (5.15)

qui est un ensemble dont le seul élément est X (donc de cardinal unitaire). Il suffit pour cela d'appliquer l'axiome en posant l'égalité entre A et B.

A4. Axiome de la somme (dit aussi "axiome de l'union" ou encore "axiome de la réunion"):

Cet axiome permet de construire la réunion d'un ensemble, dit de façon plus commune la réunion de d'un famille quelconque d'un ensemble, est un ensemble.

Autrement dit, il existe pour tout ensemble quelconque, un ensemble qui contient exactement les éléments de tout élément de l'ensemble. La formalisation (peu intuitive) de cet axiome est la suivante:

equation   (5.16)

C'est-à-dire qu'étant donné un ensemble quelconque A, il existe un ensemble B tel que, pour tout ensemble C quelconque, C est élément de B si et seulement s'il existe un ensemble D tel que D soit un élément A et que C soit un élément de D.

Un petit exemple particulier ne fera peut-être pas de mal... :

equation   (5.17)

Nos voyons que conformément à l'axiome, chaque D est un élément de A et que chaque C est un élément de D et ce pour chaque C appartenant à B. De même si nous prenons:

equation   (5.18)

L'ensemble B est donc noté:

equation   (5.19)  

ou:

equation   (5.20)

A5. Axiome des parties (dit aussi "axiome de l'ensemble des parties") : 

Il exprime que pour tout ensemle A, l'ensemble de ses parties P(A) existe.

Donc a tout ensemble A, nous pouvons associer un ensemble B qui contient exactement les parties (in extenso les sous-ensembles) C du premier:

equation   (5.21)

Nous avons vu un tel exemple déjà plus haut avec equation:

equation   (5.22)

A6. Axiome de l'infini:

Cet axiome exprime le fait qu'il existe un ensemble infini.

Pour le formaliser, nous disons qu'il existe un ensemble, dit "ensemble autosuccesseur" K contenant equation (l'ensemble vide) tel que si x appartient à K, alors equation appartient également à K :

K est autosuccesseur : equation   (5.23)

Cet axiome exprime donc que l'ensemble des entiers existe. Effectivement, equation est ainsi le plus petit ensemble autosuccesseur, au sens de l'inclusion equation et par convention nous notons (où nous construisons l'ensemble des naturels) :

equation   (5.24)

A7. Axiome de régularité (dit aussi "axiome de fondation"): 

Le but principal de cet axiome est d'éliminer la possibilité d'avoir A comme élément de lui-même.

Ainsi, pour tout ensemble non vide A, il existe un ensemble B qui est élément de A tel qu'aucun élément de A ne soit élément de B (il faut bien différencier le niveau du langage utilisé, un ensemble et ses éléments n'ont pas le même statut) ce que nous notons :

equation   (5.25)

En conséquence :

equation   (5.26)

Démonstration:

En effet, soit A un ensemble tel que equation. Considérons le singleton{A}, ensemble dont le seul élément est A. D'après l'axiome de fondation, nous devons avoir un élément de ce singleton qui n'a aucun élément en commun avec lui. Mais le seul élément possible est A lui-même, c'est-à-dire que nous devons avoir:

equation   (5.27)

Or par hypothèse, equation et par constructionequation. Donc equation, ce qui contredit l'assertion précédente. Donc :

equation   (5.28)

equationC.Q.F.D.

A8. Axiome de remplacement (dit aussi "schéma de remplacement"): 

Cet axiome exprime le fait que si une formule f est une fonctionelle alors pour tout ensemble A, il existe un ensemble B constitué exactement des images des éléments A par cette fonction.

Soit, de manière un peu plus formelle, que soit l'ensemble A d'éléments a et la relation binaire f (qui est donc en toute généralité une fonctionnelle), il existe un ensemble B constitué des éléments b tel que f(a,b) soit vraie. Si f est une fonction où b est non libre cela signifie alors que:

equation et equation   (5.29)

De manière technique nous écrivons cet axiome sous la forme:

equation   (5.30)

Donc pour tout ensemble A et tout élément qu'il contient, il existe un et un seul b défini par la fonctionelle f tel qu'il existe un ensemble B où pour tout élément a appartenant à l'ensemble A il existe un b appartenant à l'ensemble B défini par la fonctionnelle f.

Voyons un exemple avec le prédicat binaire suivant qui pour la valeur de tout a de A détermine la valeur de tout b de B:

equation   (5.31)

Donc de la connaissance que a vaut 1 nous en dérivons que b vaut 2 et de manière similaire (in extenso par remplacement) si a vaut 3, nous en dérivons que b vaut 4.

Nous voyons bien au travers de ce petit exemple la relation forte qu'il y a à considérer le prédicat P comme une fonction naïve! Par ailleurs, comme il y une infinité possible de fonctions f, le schéma de remplacement est considéré comme une infinité d'axiomes.

A9. Axiome de sélection (dit aussi "schéma de compréhension"):

Cet axiome exprime simplement que pour tout ensemble A et toute propriété P exprimable dans le langage de la théorie des ensembles, l'ensemble des éléments de A qui satisfont la propriété P existe.

Donc de manière plus formelle, à tout ensemble A et toute condition ou proposition P(x), il correspond un ensemble B dont les éléments sont exactement les éléments x de A pour lesquels P(x) est vraie. C'est ce que nous notons :

equation   (5.32)

De manière plus complète et rigoureuse nous avons en réalité pour toute fonctionelle f ne comportant pas a comme variable libre:

equation   (5.33)

C'est typiquement l'axiome qui nous sert à construire l'ensemble des nombres pairs:

equation   (5.34)

ou à démontrer l'existence de l'ensemble vide (et qui rend cacud l'axiome de l'ensemble vide) car il suffit de poser qu'il existe un ensemble satisfaisant la propriété:

equation   (5.35)

et ce quelque soit l'ensemble A. Et seulement l'ensemble vide satisfait cette propriété de par l'axiome de sélection.

Le respect des conditions très strictes de cet axiome permet d'éliminer les paradoxes de la "théorie naïve des ensembles", comme le paradoxe de Russel ou le paradoxe de Cantor qui ont invalidé la théorie naïve des ensembles.

Considérons par exemple l'ensemble R de Russell de tous les ensembles qui ne s'auto-contiennent pas (notez bien que nous donnons une propriété de R sans expliciter quel est cet ensemble) :

equation   (5.36)

Le problème est de savoir si R se contient ou non. Si equation, alors, R s'auto-contient, et, par définition equation et inversement. Chaque possibilité est donc contradictoire.

Si maintenant nous désignons par C l'ensemble de tous les ensembles (l'Universel de Cantor), nous avons en particulier :

equation   (5.37)

ce qui est impossible (i.e. par exemple avec la puissance du continu de l'ensemble de réels), d'après le théorème de Cantor.

Ces "paradoxes" (ou "antinomies syntaxiques") proviennent d'un non respect des conditions d'application de l'axiome de sélection : pour définir E (dans l'exemple de Russel), il doit exister une proposition P qui porte sur l'ensemble R, qui doit être explicitée. La proposition définissant l'ensemble de Russell ou celui de Cantor n'indique pas quel est l'ensemble E. Elle est donc invalide!

Un exemple fort sympathique et fort connu (c'est la raison pour laquelle nous le présentons) permet de mieux comprendre (il s'agit du paradoxe de Russel) :

Un jeune étudiant se rendit un jour chez son barbier. Il engagea la conversation et lui demanda s'il avait de nombreux concurrents dans sa jolie cité. De manière apparemment innocente, le barbier lui répondit :"Je n'ai aucune concurrence. En effet, de tous les hommes de la cité, je ne rase évidemment pas ceux qui se rasent eux-mêmes, mais j'ai le bonheur de raser tous ceux qui ne se rasent pas eux-mêmes."

En quoi donc, une telle affirmation si simple put-elle mettre en défaut la logique de notre jeune étudiant si malin ?

La réponse est en effet innocente, jusqu'au moment ou nous décidons de l'appliquer au cas du barbier :

Se rase-t-il lui-même, oui ou non ?

Supposons qu'il se rase lui-même : il entre dans la catégorie de ceux qui se rasent eux-mêmes, dont le barbier a précisé qu'il ne les rasait évidemment pas. Donc il ne rase pas lui-même.

Très bien ! Supposons alors qu'il ne se rase pas lui-même : il entre alors dans la catégorie de ceux qui ne se rasent pas eux-mêmes, dont le barbier a précisé qu'il les rasait tous. Donc il se rase lui-même.

Finalement, ce malheureux barbier est dans une position étrange : s'il se rase lui-même, il ne se rase pas, et s'il ne se rase pas lui-même, il se rase. Cette logique est autodestructrice, stupidement contradictoire, rationnellement irrationnelle.

Vient alors l'axiome de sélection : Nous excluons le barbier de l'ensemble des personnes auxquelles s'applique la déclaration. Car en réalité, le problème vient du fait que le barbier est un élément de l'ensemble de tous les hommes de la cité. Ainsi, ce qui s'applique à tous les hommes ne s'applique pas au cas individuel du barbier.

A10. Axiome du choix:

Étant donné un ensemble A d'ensembles non vides mutuellement disjoints, il existe un ensemble B (l'ensemble de choix pour A) contenant exactement un élément pour chaque membre de A.

Indiquons cependant que la question de l'axiomatisation et donc des fondements se trouva quand même ébranlée de deux questions à l'époque de leur construction: quels axiomes valides doivent être choisis et dans un système d'axiomes les mathématiques sont-elles cohérentes (ne risque-t-on pas de voir apparaître une contradiction)?

La première question fut soulevée d'abord par l'hypothèse du continu: si nous pouvons mettre deux ensembles de nombres en correspondance terme à terme, ils ont le même nombre d'éléments (cardinal). Nous pouvons mettre en correspondance les entiers avec les rationnels comme nous l'avons démontré dans le chapitre sur les Nombres, ils ont donc même cardinal, nous ne pouvons par contre mettre en correspondance les entiers avec les réels. La question est alors de savoir s'il y a un ensemble dont le nombre d'éléments serait situé entre les deux ou pas? Cette question est importante pour construire la théorie classique de l'analyse et les mathématiciens choisissent en général de dire qu'il n'y en a pas, mais nous pouvons aussi dire le contraire.

En fait l'hypothèse du continu est liée de manière plus profonde à l'axiome du choix qui peut aussi être formulé de la manière suivante: si C est une collection d'ensembles non vides alors nous pouvons choisir un élément de chaque ensemble de la collection. Si C a un nombre fini d'éléments ou un nombre dénombrable d'éléments, l'axiome semble assez évident: nous pouvons ranger les ensembles de C en les numérotant, et le choix d'un élément dans chaque ensemble est simple. Là où ça se complique c'est lorsque l'ensemble C a la puissance du continu: comment choisir des éléments s'il n'y pas la possibilité de les numéroter?

Finalement en 1938 Kurt Gödel montre que la théorie des ensembles est cohérente sans l'axiome du choix et sans l'hypothèse du continu aussi bien qu'avec! Et pour clore tout ça Paul Cohen montre en 1963 que l'axiome du choix et l'hypothèse du continu ne sont pas liés.

1.1. CARDINAUX

Définition: Des ensembles sont dits "équipotents" s'il existe une bijection (correspondance biunivoque) entre ces ensembles. Nous disons qu'ils ont alors même "cardinal".

Ainsi, plus rigoureusement, un cardinal (qui quantifie le nombre d'éléments contenus dans l'ensemble) est une classe d'équivalence (cf. chapitre sur les Opérateurs) pour la relation d'équipotence.

Remarque: Cantor est le principal créateur de la théorie des ensembles, sous une forme que nous qualifions aujourd'hui de "théorie naïve des ensembles". Mais, à côté de considérations élémentaires, sa théorie comportait des niveaux d'abstraction élevés. La vraie nouveauté de la théorie de Cantor, c'est qu'elle permet de parler de l'infini. Par exemple, une idée importante de Cantor a justement été de définir l'équipotence.

Si nous écrivons equation en tant qu'égalité de cardinaux, nous entendons alors par là qu'il existe deux ensembles équipotents A et B tels que :

equation  et equation   (5.38)

Les cardinaux peuvent donc êtres comparés. L'ordre ainsi défini est une relation d'ordre total (cf. chapitre sur les Opérateurs) entre les cardinaux (la preuve que la relation d'ordre est totale utilise l'axiome du Choix et la preuve qu'elle soit antisymétrique est connue sous le nom de théorème de Cantor-Bernstein que nous démontrons d'ailleurs plus bas).

Dire que equation signifie dans un vocabulaire simple que A est équipotent à une partie propre de B, mais B n'est équipotent à aucune partie propre de A. Si Les mathématiciens diraient que le Card(A) est plus petit ou égal au Card(B) si il existe une injection de A dans B.

Nous avons vu lors de notre étude des nombres, en particulier des nombres transfinis, qu'un ensemble équipotent (ou en bijection) à equation était dit "ensemble dénombrable".

Voyons cette notion un petit peu plus dans les détails:

Soit A un ensemble, s'il existe un entier n tel qu'il y ait au moins à chaque élément de A un correspondant dans l'ensemble {1,2,...n}(au fait rigoureusement il s'agit d'une bijection... concept que nous définirons plus tard) nous disons alors que le cardinal de A, noté Card(A), est de "cardinal fini" et vaut n.

Dans le cas contraire, nous disons que l'ensemble A est de "cardinal infini" et nous posons :

equation    (5.39)

Un ensemble A est donc "dénombrable" s'il existe une bijection entre A et equation. Un ensemble de nombre A est "au plus dénombrable" s'il existe une bijection entre A et une partie equation. Un ensemble au plus dénombrable est donc soit de cardinal fini, soit dénombrable.

Nous vérifions dès lors les propositions suivantes:

P1. Une partie d'un ensemble dénombrable est au plus dénombrable.

P2. Un ensemble contenant un ensemble non-dénombrable n'est lui aussi pas dénombrable

P3. Le produit de deux ensembles dénombrables est dénombrable

Remarque: Nous pouvons restreindre un ensemble de nombres par rapport à l'élément nul et aux éléments négatifs ou positifs qu'il contient et dès lors nous notons (exemple pour l'ensemble des réels):

equation   (5.40)

Ces notions étant analogues pour equation (l'ensemble des nombres complexe n'état pas ordonné, la deuxième et troisième ligne ne s'y applique pas).

Donc tout sous-ensemble infini de equation est équipotent à equation lui-même. En particulier, il y a autant d'entier naturels pairs que d'entiers naturels quelconques (utiliser la bijection equation) de equation vers P, où P désigne l'ensemble des entiers naturels pairs), autant d'entiers relatifs que d'entiers naturels, autant d'entiers relatifs que de nombres rationnels (voir le chapitre traitant des nombres pour les démonstrations).

Nous pouvons donc écrire:

equation   (5.41)

et plus généralement, toute partie infinie de equation est dénombrable.

Un résultat important: tout ensemble infini possède donc une partie infinie dénombrable.

Puisque nous avons démontré dans le chapitre traitant des nombres que l'ensemble des réels avait la "puissance du continu" et que l'ensemble des nombres naturels était de cardinal transfini equation, Cantor souleva la question s'il existait un cardinal transfini entre equation et le cardinal de equation? Autrement dit, existe-il un ensemble infiniment grand qui serait intermédiaire entre l'ensemble des nombres entiers et l'ensemble des réels?

Le problème se posa en notant bien évidemment equation le cardinal de equation et (nouveauté) equation le cardinal de equation et en proposant de démontrer ou de contredire que:

equation   (5.42)

selon la loi combinatoire qui donne le nombre d'éléments de l'ensemble que l'on peut obtenir à partir de tous les sous-ensembles d'un ensemble (tel que nous l'avons démontré précédemment).

Le reste de sa vie, Cantor essaya, en vain, de démontrer ce résultat que l'on nomma "l'hypothèse du continu". Il n'y réussit pas et sombra dans la folie. En 1900, au congrès international des mathématiciens, Hilbert estima qu'il s'agissait là d'un des 23 problèmes majeurs qui devraient êtres résolus au 20ème siècle.

Ce problème se résout d'une façon assez étonnante. D'abord, en 1938, un des plus grands logiciens du 20ème siècle, Kurt Gödel, démontra que l'hypothèse de Cantor n'était pas réfutable, c'est-à-dire qu'on ne pourrait jamais démontrer qu'elle était fausse. Puis en 1963, le mathématicien Paul Cohen boucla la boucle. Il démontra qu'on ne pourrait jamais non plus démontrer qu'elle était vraie !!! Nous ne pouvons conclure à juste raison que Cantor avait perdu la raison à chercher à démontrer un problème qui ne pouvait pas l'être.

1.2. PRODUIT CARTÉSIEN

Si E et F sont deux ensembles, nous appelons "produit cartésien de E par F" l'ensemble noté equation(à ne pas confondre avec le produit vectoriel) formé de tous les couples possibles equatione est un élément de E et f un élément de F.

Autrement écrit:

equation   (5.43)

Nous remarquons facilement que equation et equation ne sont pas les mêmes ensembles (sauf bien sur si equation).

Nous notons le produit cartésien de E par lui même : 

equation   (5.44)

et nous disons alors equation est "l'ensemble des couples d'éléments de E".

Nous pouvons effectuer le produit cartésien d'une suite d'ensembles equation et ainsi obtenir l'ensemble des n-uplets equationequation.

Dans le cas où tous les ensembles equation sont identiques à E, le produit cartésien equationse note bien évidemment equation. Nous disons alors que equation est "l'ensemble des n-uplets d'éléments de E".

Si E et F sont finis alors le produit cartésien equationest fini. De plus:

equation   (5.45)

De là, nous voyons que si les ensembles equation sont finis alors le produit cartésien equationest aussi fini et nous avons :

equation   (5.46)

En particulier, equation si E est un ensemble fini.

exempleExemples:

E1. Si equation est l'ensemble des nombres réels, equation est alors l'ensemble des couples de réels. Dans le plan rapporté à un repère, tout point M admet des coordonnées qui sont un élément de equation.

E2.  Lorsque nous lançons deux dés dont les faces sont numérotées de 1 à 6, chaque dé peut être symbolisé par l'ensemble equation.  Le résultat d'un lancer est alors un élément de equation. Le cardinal de equation est alors 36.  Il y a donc 36 résultats possibles quand nous lançons 2 dés dont les faces sont numérotées de 1 à 6.

Remarque: La théorie de base des ensembles ainsi que le concept de cardinal sont à la base théorique des logiciels de bases de données relationnelles.

1.3. BORNES

Soit M un ensemble de nombres quelconques de façon à ce que equation (exemple particulier mais fréquent) nous avons comme définitions:

D1. equation est appelé "borne supérieure" ou "majorant" de l'ensemble M, si equation pour equation. Inversement, nous parlons de "borne inférieure" ou de "minorant" (il ne faut donc pas confondre le concept de borne avec le concept d'intervalle!).

D2. Soit equation. equation est appelé "plus petite borne supérieure" noté :

equation  (5.47)

de M si x est une borne supérieure de M et si pour toute borne supérieure equation nous avons equation Inversement, nous parlons de "plus petite borne inférieure" que nous notons:

equation   (5.48)

Les définitions sont équivalentes dans le cadre de l'analyse fonctionnelle (voir chapitre du même nom) puisque les fonctions sont définies sur des ensembles.

Effectivement, Soit f  une fonction dont le domaine de définition I balaie tout equation. Ce que nous notons equation et soit equation.

D1. Nous disons que f présente un "maximum global" en equation si:

equation   (5.49)

D2. Nous disons que f présente un "minimum global" en equation si:

equation   (5.50)

Dans l'un de ces deux cas, nous disons que f présente un "extremum global" en equation (c'est un concept que nous retrouverons souvent en mécanique analytique!).

D3. f est "majorée" s'il existe un réel M tel que equation. Dans ce cas, la fonction possède une borne supérieure de f sur son domaine de définition I notée traditionnellement:

equation   (5.51)

et elle représente donc la plus petite borne supérieure (le plus petit majorant).

D4. f est "minorée" s'il existe un réel M tel que equation. Dans ce cas, la fonction possède une borne inférieure de f sur son domaine de définition I notée traditionnellement:

equation   (5.52)

et elle représente la plus grande borne inférieure (le plus grand minorant).

D5. Nous disons que f  est "bornée" si elle est à la fois majorée et minorée (c'est le cas des fonctions trigonométriques).


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