THÉORIE DES ENSEMBLES



THÉORIE DES ENSEMBLES

1. Axiomatique de Zermelo-Freankel

1.1. Cardinaux

1.2. Produit cartésien

1.3. Bornes

2. Opérations ensemblistes

2.1. Inclusion

2.2. Intersection

2.3. Réunion

2.4. Différence

2.5. Différence symétrique

2.6. Produit

2.7. Ensemble vide

2.8. Complémentarité

3. Fonctions

3.1. Fonctions surjectives, injectives, bijectives et composées

3.2. Théorème de Cantor-Bernstein

4. Structures algébriques

4.1. Magma

4.2. Monoïde

4.3. Groupe

4.4. Anneau

4.4.1. Sous-anneau

4.5. Corps

4.6. Espaces vectoriels

4.7. Algèbre

5. Homomorphismes

5.1. Isomorphisme, endomorphisme, automorphisme

5.2. Idéal

Lors de notre étude des nombres, des opérateurs, et de théorie des nombres (dans les chapitres du même nom), nous avons assez souvent utilisé les termes "groupes", "anneaux", "corps", "homomorphisme", etc. et continuerons par la suite à le faire encore de nombreuses fois. Outre le fait que ces concepts soient d'une extrême importance, permettant de faire des démonstrations ou de construire des concepts mathématiques indispensables à l'étude de la physique théorique contemporaine (physique quantique des champs, théories des cordes, modèle standard,...), ils permettent de comprendre les composants et les propriétés de base de la mathématique et de ses opérateurs en rangeant ceux-ci par catégories distinctes. Ainsi, choisir de mettre la théorie des ensembles en tant que cinquième chapitre de ce site est un choix tout à fait discutable puisque rigoureusement c'est par là que tout commence... Cependant, nous avions besoin d'exposer quand même la théorie de la démonstration ne serait-ce que pour les notations et les méthodes dont il sera fait usage ici.

Par ailleurs, lors de l'enseignement des mathématiques modernes dans le secondaire, voire primaire (années 70), on introduisit le langage des ensembles et l'étude préalable des relations binaires pour une approche plus rigoureuse de la notion de fonctions et d'applications (voir la définition plus loin) et de la mathématique en générale.

Définition: Nous parlons de "diagramme sagittal" (ou de "schéma sagittal" du latin sagitta = flèche) pour tout schéma représentant une correspondance entre les composantes de deux ensembles reliés totalement ou partiellement par un ensemble de flèches.

exempleExemple:

La représentation graphique d'une fonction définie de l'ensemble E={-3,-2,-1,0,1,2,3} vers l'ensemble F={0,1,2,3,...9} conduirait au diagramme sagittal ci-dessous :

equation
  (5.1)

Une relation de E dans E fournirait un diagramme sagittal du type :

equation
  (5.2)

Le bouclage de chaque élément montrant une "relation réflexive" et la présence systématique d'une flèche retour indiquant une "relation symétrique".

Cependant le choix d'introduire la théorie des ensembles dans les classes d'école a une raison aussi un peu autre. Au fait, dans un souci de rigueur interne (in extenso : non liées à la réalité), une très grande partie des mathématiques a été reconstruite à l'intérieur d'un seul cadre axiomatique, dénommé donc "théorie des ensembles", dans le sens où chaque concept mathématique (autrefois indépendant des autres) est ramené à une définition dont tous les constituants logiques proviennent de ce même cadre : elle est considérée comme fondamentale. Ainsi, la rigueur d'un raisonnement effectué au sein de la théorie des ensembles est garantie par le fait que le cadre est "non-contradictoire" ou "consistant". Voyons les définitions qui construisent ce cadre.

Définitions:

D1. Nous appelons "ensemble" toute liste, collection ou rassemblement d'objets bien définis, explicitement ou implicitement.

D2. Un "Univers" U est un objet dont les constituants sont des ensembles.

Il faut noter que ce que les mathématiciens appellent "univers" n'est pas un ensemble! En fait il s'agit d'un modèle qui satisfait aux axiomes des ensembles.

Effectivement, nous verrons que nous ne pouvons pas parler de l'ensemble de tous les ensembles (ce n'est pas un ensemble), pour désigner l'objet qui est constitué de tous les ensembles ainsi, nous parlons d'univers.

D3. Nous appelons "éléments" ou "membres de l'ensemble" les objets appartenant à l'ensemble et nous notons :

  equation   (5.3)

si p est un élément de l'ensemble A et dans le cas contraire : 

equation   (5.4)

Si B est une "partie" de A, ou sous-ensemble de A, nous notons cela : 

equation  ou equation   (5.5)

dès lors, si pour tout :

equation   (5.6)

Nous identifiions également un ensemble soit en listant ses éléments (pas toujours forcément dénombrable par ailleurs!), soit en donnant la définition de ses éléments (nombres pairs, impaires, diviseurs entiers de..., etc.).

exempleExemples:

E1. equation 

E2. equation

D3. Nous pouvons munir les ensembles d'un certain nombre de relations qui permettent de comparer ses éléments (c'est utile parfois...) ou de comparer certaines de leurs propriétés. Ces relations sont appelées "relations de comparaisons" ou "relations d'ordre" (cf. chapitre sur les Opérateurs).

Remarques:

R1. La structure d'ensemble ordonnée a été mise en place à la base dans le cadre de la théorie des Nombres par Cantor et Dedekind.

R2. Comme nous l'avons démontré dans le chapitre sur les Opérateurs, equation sont totalement ordonnées par les relations usuelles equation. La relation equation, souvent dite "d'ordre strict", n'est pas une relation d'ordre car non réflexive et non antisymétrique (cf. chapitre sur les Opérateurs). Par exemple, dans equation, la relation "a divise b", souvent notée par le symbole " | ", est un ordre partiel.

R3. Si R est un ordre sur E et F est une partie de E, la restriction à F de la relation R est un ordre sur F, dit "ordre induit par R dans F".

R4. Si R est un ordre sur E, la relation R' définie par :

equation   (5.7)

est un ordre sur E, dit "ordre réciproque" de R. L'ordre réciproque de l'ordre usuel equation est l'ordre noté equation ainsi que l'ordre réciproque de l'ordre "a divise b" dans equation est l'ordre "b est multiple de a".

L'ensemble est l'être mathématique de base, dont l'existence est posée : il n'est pas défini en tant que tel, mais par ses propriétés, données par les axiomes. Il fait appel à une procédure humaine : une sorte de fonction de catégorisation, qui permet à la pensée de distinguer plusieurs éléments qualifiés d'indépendants.

Nous pouvons démontrer à partir des ces concepts, que le nombre de sous-ensembles d'un ensemble de cardinal n (nombre d'éléments) est equation:

Il y a d'abord l'ensemble vide equation, soit 0 éléments choisi par n, in extenso equation et ainsi de suite...

Le nombre de sous-ensembles de E correspond donc à la sommation de tous les coefficients binomiaux:

equation   (5.8)

Or, nous avons (cf. chapitre de Calcul Algébrique):

equation   (5.9)

Donc:

equation   (5.10)

exempleExemple:

Considérons l'ensemble equation, nous avons l'ensemble des parties P(S) constitué par :

- "L'ensemble vide" : equation

- Les "singletons" : equation

- Les "duets" : equation

- Lui-même : equation

Tel que:

equation   (5.11)

Ce qui fait bien 8 éléments!

Remarque: L'ordre dans lequel sont différenciés les éléments ne rentre pas en compte lors du comptage des parties de l'ensemble de départ.

En mathématique appliquée, nous travaillerons presque exclusivement avec des ensembles de nombres. Nous nous se restreindrons donc à l'étude des définitions et propriétés de ces derniers.

Maintenant, formalisons les concepts de base permettant de travailler avec les ensembles les plus courants que nous rencontrons dans les cursus scolaires de base.


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