SÉRIES



COURS SUR LES SUITES ET SÉRIES

1. Suites

1.1. Suites arithmétiques

1.2. Suites harmoniques

1.3. Suites géométriques

1.4. Suites de Cauchy

1.5. Suite de Fibonacci

2. Séries

2.1. Séries de Gauss

2.1.1. Nombres et polynômes de Bernoulli

2.2. Séries arithmétiques

2.3. Séries géométriques

2.3.1. Fonction zêta et identité d'Euler

2.4. Séries de Taylor et MacLaurin

2.4.1. Séries de Taylor de fonctions à 2 variables réelles

2.4.2. Reste de Lagrange

2.5. Séries de Fourier

2.5.1. Coefficients de Fourier

2.5.2. Puissance d'un signal

2.5.3. Transformée de Fourier

2.6. Fonctions de Bessel

2.6.1. Fonction de Bessel d'ordre zéro

2.6.2. Fonction de Bessel d'ordre N

2.6.3. Fonction de Bessel-Neumann du second type d'ordre zéro

2.6.4. Équation différentielle de Bessel d'ordre N

3. Critères de convergence

3.1. Test de l'intégrale

3.2. Règle d'Alembert

3.3. Règle de Cauchy

3.4. Théorème de Leibniz

3.5. Convergence absolue

3.6. Théorème du point fixe

Le physicien a souvent besoin pour résoudre simplement et formellement des problèmes, d'approximer certains "termes" (cf. chapitre de Théorie De La Démonstration) de ses équations. Pour cela, il utilisera les propriétés de certaines séries. 

Il existe, une quantité phénoménale de séries et de théories gravitant autour de ces dernières, mais nous citerons en particulier les séries de Taylor (utilisées un peu partout), les séries de Fourier (théorie du signal et en mécanique ondulatoire) et les séries ou fonctions de Bessel (physique nucléaire) dont nous ferons une étude sommaire ici.

Définition: Soit donnée une suite numérique infinie :

equation   (11.48)

L'expression :

equation   (11.49)

est appelée "série numérique".

Définition: La somme partielle des n premiers termes de la série est appelée "somme partielle" et notée equation :

equation   (11.50)

Si la limite notée S suivante existe et est finie :

equation   (11.51)

nous l'appelons la "somme de la série" et nous disons que la "série converge" (elle est donc de Cauchy). Cependant, si la limite n'existe pas, nous disons que la "série diverge" et n'a pas de somme (pour plus de détails voir le  sous-chapitre plus loin traitant des critères de convergence).

Montrons par ailleurs que si equation est une série numérique convergente alors :

equation   (11.52)

Démonstration:

Nous supposons d'abord que equation est bien une série convergente et notons par S sa limite. Posons :

equation   (11.53)

Alors :

equation   (11.54)

Or, si la série est convergente :

equation   (11.55)

Donc :

equation   (11.56)

equationC.Q.F.D.

Voyons comment calculer la somme partielle des quelques séries classiques :

SÉRIES DE GAUSS

Les séries arithmétiques de Gauss sont  l'expression de la somme de n premiers entiers non nuls élevés à une puissance donnée sous une forme condensée. L'application de cette forme condensée de série à une utilité pratique en physique lorsque l'on souhaite simplifier l'expression de certains résultats.

Gauss avait trouvé une méthode séduisante en 1786 pour déterminer cette expression lorsqu'il avait 9 ans (...):

equation   (11.57)

En simplifiant, nous trouvons facilement:

equation   (11.58)

pour equation.

Nous pouvons continuer ainsi pour des ordres supérieurs (nous les présentons non en tant qu'exercices mais parce que ces relations sont utiles!):

Calculons maintenant la somme des n premiers carrés (toujours non nuls). Posons:

equation   (11.59)

nous savons que (binôme de Newton):

equation

nous pouvons donc écrire et ajouter membre à membre les n égalités suivantes:

equation   (11.60)

Avec quelques manipulations algébriques élémentaires:

equation   (11.61)

d'où:

equation   (11.62)

Finalement:

equation   (11.63)

Terminons avec la somme des n premiers cubes (non nuls). Le principe étant le même que précédemment, nous posons:

equation   (11.64)

Nous savons par ailleurs que (binôme de Newton):

equation   (11.65)

Nous obtenons en faisant varier k de 1 à n, n relations que nous pouvons ajouter membre à membre:

equation   (11.66)

Nous avons donc:

equation   (11.67)

Ce qui donne après développement:

equation   (11.68)

Et après une première simplification:

equation   (11.69)

et une deuxième:

equation   (11.70)

Le résultat final est donc :

equation   (11.71)

ou écrit autrement:

equation   (11.72)

Evidemment, nous pouvons continuer ainsi longtemps mais à partir d'une certaine valeur de l'élévation de la puissance les choses se compliquent un petit peu (de plus, la méthode est un peu longue). Ainsi, un des membres de la famille des Bernoulli (c'était une famille de mathématiciens assez doués...) a montré une relation générale fonctionnant pour n'importe quelle puissance en définissant ce que nous appelons le "polynôme de Bernoulli".

NOMBRES ET POLYNÔMES DE BERNOULLI

Comme nous venons de le voir plus haut il est possible d'exprimer la somme des n premiers entiers non nuls élevés à une puissance donnée selon (les quatre premiers ont été démontrés précédemment) les relations suivantes où nous avons posé equation avec n' le nombre de termes dont nous voulons la somme 0 non compris (d'où le signe négatif que nous n'avions pas plus haut) :

equation   (11.73)

Jacob Bernoulli remarqua ensuite que les polynômes equation avaient la forme :

equation   (11.74)

Dans cette expression, les nombres equation semblent ne pas dépendre de p. Plus généralement, après tâtonnement on remarque que le polynôme peut être écrit sous la forme :

equation   (11.75)

Ce qui donne par identification les "nombres de Bernoulli" :

equation   (11.76)

Par la suite, les mathématiciens dans leurs recherches sont tombés au hasard sur le fait que les nombres de Bernoulli pouvaient être exprimés par la série :

equation avec equation   (11.77)

En d'autres termes, la fonction génératrice des nombres de Bernoulli serait G(z). Si nous développons les premiers termes de cette série  :

equation   (11.78)

Démonstration:

Nous avons vu dans notre étude des nombres complexes (cf. chapitre sur les Nombres) que :

equation   (11.79)

Dès lors :

equation   (11.80)

Posons maintenant :

equation   (11.81)

Nous avons alors :

equation.   (11.82)

Nous voyons (en distribuant) que :

equation   (11.83)

par suite pour que tout cela soit égal à l'unité il faut que :

equation   (11.84)

De la deuxième équation nous tirons :

equation   (11.85)

De la troisième équation nous tirons :

equation   (11.86)

etc.

En continuant ainsi nous montrons que :

equation...   (11.87)

Il est évident que cette méthode nous permet de calculer à la main que les premiers termes de cette série.

Ainsi, en se basant sur :

equation   (11.88)

nous trouvons que les premiers nombres de Bernoulli sont les suivants:

k

equation

0

1

1

−1/2

2

1/6

3

0

4

−1/30

5

0

6

1/42

7

0

8

−1/30

9

0

10

5/66

11

0

12

−691/2730

13

0

14

7/6

Tableau: 11.1  - Nombres de Bernouilli

Le lecteur aura remarqueré que equation lorsque n est impair et différent de 1.

equationC.Q.F.D.

Nous voyons bien par ailleurs, que les valeurs des nombres de Bernoulli ne peuvent pas être décrits simplement. En fait, ce sont essentiellement des valeurs de la fonction ζ de Riemann (voir plus bas) pour des valeurs entières négatives de la variable, et sont associés à des propriétés théoriques profondes qui dépassent le cadre de ce site. Par ailleurs, les nombres de Bernoulli apparaissent également dans le développement en série de Taylor des fonctions tangentes circulaire et hyperbolique, dans la formule d'Euler-MacLaurin ainsi (voir plus bas).

Avec une petite modification, il est possible de définir les "polynômes de Bernoulli" equation par :

equation   (11.89)

avec donc :

equation   (11.90)

Par ailleurs, il est aisé de remarquer que:

equation   (11.91)

et donc il est facile d'en déduire:

equation   (11.92)

Démonstration:

D'un côté nous avons:

equation   (11.93)

et d'un autre nous avons:

equation  (11.94)

Donc:

equation   (11.95)

equationC.Q.F.D.

Et par identification des coefficients nous en déduisons:

equation   (11.96)

et pour equation:

equation   (11.97)

Il est alors aisé de déduire que les equationsont des polynômes de degré k:

equation   (11.98)

Voici un tracé de ces polynômes:

equation
  (11.99)

Ce qui est remarquable c'est qu'à l'aide des polynômes de Bernoulli, nous voyons qu'il est possible d'écrire les equation sous la forme suivante:

equation   (11.100)

Certains écrivent cette relation encore autrement. Effectivement, de la relation précédente, nous pouvons écrire:

equation   (11.101)

Et en utilisant:

equation   (11.102)

Il vient:

equation   (11.103)

Donc nous venons de démontrer:

equation   (11.104)

Cependant, nous pouvons maintenant nous demander ce qu'il advient de la somme partielle de suites arithmétiques et géométriques telles que présentées au début de ce chapitre.


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