SÉRIES ARITHMÉTIQUES



COURS SUR LES SUITES ET SÉRIES

1. Suites

1.1. Suites arithmétiques

1.2. Suites harmoniques

1.3. Suites géométriques

1.4. Suites de Cauchy

1.5. Suite de Fibonacci

2. Séries

2.1. Séries de Gauss

2.1.1. Nombres et polynômes de Bernoulli

2.2. Séries arithmétiques

2.3. Séries géométriques

2.3.1. Fonction zêta et identité d'Euler

2.4. Séries de Taylor et MacLaurin

2.4.1. Séries de Taylor de fonctions à 2 variables réelles

2.4.2. Reste de Lagrange

2.5. Séries de Fourier

2.5.1. Coefficients de Fourier

2.5.2. Puissance d'un signal

2.5.3. Transformée de Fourier

2.6. Fonctions de Bessel

2.6.1. Fonction de Bessel d'ordre zéro

2.6.2. Fonction de Bessel d'ordre N

2.6.3. Fonction de Bessel-Neumann du second type d'ordre zéro

2.6.4. Équation différentielle de Bessel d'ordre N

3. Critères de convergence

3.1. Test de l'intégrale

3.2. Règle d'Alembert

3.3. Règle de Cauchy

3.4. Théorème de Leibniz

3.5. Convergence absolue

3.6. Théorème du point fixe

Nous avons démontré plus haut que la somme partielle de la série de Gauss (analogue à la somme des termes d'une suite arithmétique de raison r=1) s'écrivait donc:

equation   (11.105)

si nous notons non pas n la valeur n-ème terme mais equation, le développement que nous avions fait pour la série de Gauss nous amène alors à:

equation   (11.106)

et si nous notons le premier terme 1 de la Série de Gauss par equation, nous avons alors:

equation   (11.107)

ce qui nous donne la somme partielle des n-termes d'une suite arithmétique de raison r quelconque (ou plus simplement : la somme partielle de la série arithmétique de raison r)

Remarque: Le lecteur aura observé que la raison r n'apparaît pas dans la relation. Effectivement, en reprenant (toujours) le même développement fait que pour la série de Gauss, le terme r se simplifie.

SÉRIES GÉOMÉTRIQUES

De même, avec un somme géométrique où nous avons pour rappel:

equation   (11.108)

nous avons donc:

equation   (11.109)

La dernière relation s'écrit (après simplification):

equation   (11.110)

et si equation, nous avons:

equation   (11.111)

ce qui peut s'écrire en factorisant equation:

equation   (11.112)

exempleExemple:

Soit la suite de raison q=2 suivante:

equation   (11.113)

pour calculer la somme des quatre premiers termes equation, nous prenons la puissance de 2 équivalent equation (le zéro n'étant pas pris en compte). Nous obtenons alors bien equation.

FONCTION ZÊTA ET IDENTITÉ D'EULER

L'allemand Riemann a baptisé "zêta" une fonction déjà étudiée avant lui, mais qu'il examine lorsque la valeur est un nombre complexe (cf. chapitre sur les Nombres). Cette fonction se présente comme une série de puissances inverses de nombres entiers. C'est la série:

equation   (11.114)

Remarque: Il est traditionnel de noter s la variable dont dépend cette série.

Cette série a une propriété intéressante mais si l'on reste dans le cadre des puissances entières positives et non nulles:

equation   (11.115)

quand equation nous avons alors:

equation   (11.116)

Si nous faisons equation, nous obtenons la somme des puissances inverses de 2 et de mêmes avec equation tel que:

equation   (11.117)

Si nous faisons le produit de ces deux expressions, nous obtenons la somme des puissances de toutes les fractions dont le dénominateur est un nombre produit de 2 et de 3:

equation   (11.118)

Si nous prenons tous les nombres premiers à gauche, nous obtiendrons à droite tous les nombres entiers, puisque tout entier est produit de nombres premiers selon le théorème fondamental de l'arithmétique (cf. chapitre de Théorie Des Nombres), et c'est l'identité fondamentale d'Euler : ce que nous appelons maintenant la "fonction zêta de Riemann" est à la fois un produit fini et la somme des puissances inverse de tous les entiers:

equation   (11.119)

En notation condensée, "l'identité d'Euler" est:

equation   (11.120)

p sont les nombres premiers.


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