SÉRIES DE BESSEL



COURS SUR LES SUITES ET SÉRIES

1. Suites

1.1. Suites arithmétiques

1.2. Suites harmoniques

1.3. Suites géométriques

1.4. Suites de Cauchy

1.5. Suite de Fibonacci

2. Séries

2.1. Séries de Gauss

2.1.1. Nombres et polynômes de Bernoulli

2.2. Séries arithmétiques

2.3. Séries géométriques

2.3.1. Fonction zêta et identité d'Euler

2.4. Séries de Taylor et MacLaurin

2.4.1. Séries de Taylor de fonctions à 2 variables réelles

2.4.2. Reste de Lagrange

2.5. Séries de Fourier

2.5.1. Coefficients de Fourier

2.5.2. Puissance d'un signal

2.5.3. Transformée de Fourier

2.6. Fonctions de Bessel

2.6.1. Fonction de Bessel d'ordre zéro

2.6.2. Fonction de Bessel d'ordre N

2.6.3. Fonction de Bessel-Neumann du second type d'ordre zéro

2.6.4. Équation différentielle de Bessel d'ordre N

3. Critères de convergence

3.1. Test de l'intégrale

3.2. Règle d'Alembert

3.3. Règle de Cauchy

3.4. Théorème de Leibniz

3.5. Convergence absolue

3.6. Théorème du point fixe

Les fonctions de Bessel sont très utiles dans de nombreux domaines de pointe de la physique faisant intervenir des équations différentielles délicates à résoudre. Les domaines dans lesquelles nous les trouvons le plus souvent sont la calorimétrie (conduction de la chaleur), la physique nucléaire (physique de réacteurs), et la mécanique des fluides. 

Ces séries sont cependant très peu détaillées dans les écoles universitaires et il est souvent du rôle de l'élève de chercher les compléments d'informations dont il a besoin sur le sujet dans la bibliothèque de son école. Nous avons voulu présenter  ici les développements permettant d'éviter cette démarche tout en restant chez soi devant son ordinateur (de plus les livres sur le sujet sont assez rares...).

Remarque: Nous parlons habituellement par abus de langage des "fonctions de Bessel" au lieu des "séries de Bessel".

Il existe une quantité non négligeable de fonctions de Bessel mais nous allons nous restreindre à l'étude de celles qui sont les plus utilisées en physique.

FONCTION DE BESSEL D'ORDRE ZÉRO

La fonction connue sous le nom de "fonction de Bessel d'ordre zéro", est définie par la série de puissances:

equation   (11.249)

C'est lors de l'étude des propriétés de dérivation et d'intégration que Bessel a trouvé que cette série de puissance est une solution à une équation différentielle que l'on retrouve assez fréquemment en physique. C'est pourquoi elle porte son nom.

Si equation représente le r-ème terme de la série, nous voyons aisément que:

equation   (11.250)

qui tend vers zéro quand equation, quelque soit la valeur de x. Cela a pour conséquence que la série converge pour toutes les valeurs de x. Comme il s'agit d'une série de puissance positive, la fonction equation et toutes ses dérivées sont continues pour toutes valeurs de x, réelles ou complexes.

FONCTION DE BESSEL D'ORDRE N

La fonction equation, connue sous le nom de "fonction de Bessel d'ordre n", est définie, lorsque n est un entier positif, par la série de puissance:

equation   (11.251)

qui converge pour toutes valeurs de x, réelles ou complexes.

equation
  (11.252)

En particulier, pour equation nous avons:

equation   (11.253)

et quand equation:

equation   (11.254)

Nous pouvons noter que equation est une fonction paire de x quand n est paire, et impaire quand n est impaire (cf. chapitre d'Analyse Fonctionnelle).

En dérivant la fonction equationet en comparant le résultat avec la série equation, nous voyons sans trop de peine que:

equation   (11.255)

Nous trouvons également sans trop de difficulté, la relation suivante:

equation   (11.256)

En utilisant le fait que:

 equation    (11.257)

et en l'incluant dans la précédente relation, nous trouvons:

equation   (11.258)

ou écrit autrement:

equation   (11.259)

equation est donc une solution de l'équation différentielle du second ordre:

equation   (11.260)

ou écrit autrement:

 equation     (11.261)

ou encore:

equation   (11.262)

Une solution à une équation de Bessel de paramètre n qui n'est pas un multiple de equation est appelé "fonction de Bessel du second type". Supposons que u est une telle fonction et posons equation; alors d'après la relation:

equation   (11.263)

nous avons:

equation et equation   (11.264)

En multipliant la première relation  par v et la seconde par u et après soustraction, nous obtenons:

equation   (11.265)

nous avons donc également:

equation   (11.266)

nous pouvons donc écrire:

equation   (11.267)

effectivement car si nous développons, nous trouvons:

equation   (11.268)

Pour que l'égalité:

 equation   (11.269)

soit satisfaite, nous avons:

equation   (11.270)

En divisant par equation, nous avons:

equation   (11.271)

ce qui est équivalent à:

equation   (11.272)

de suite, par intégration il vient:

equation   (11.273)

A est une constante. Consécutivement nous avons, puisque equation:

equation   (11.274)

où rappelons-le, A et B sont des constantes, et equation si u n'est pas un multiple de equation par définition.

Si dans la dernière relation, equation est remplacé par son expression en termes de série nous avons:

equation   (11.275)

dès lors:

equation   (11.276)

consécutivement si nous posons:

equation   (11.277)

equation est une fonction de Bessel particulière du second type appelée "fonction de Bessel-Neumann du second type d'ordre nul".

Identiquement au fait que equation quand equation, l'expression equation à cause du terme equationquand x est petit tend vers equation quand equation.

Finalement, il vient de ce que nous avons vu précédemment que equation et equationsont des solutions indépendantes de l'équation différentielle:

equation   (11.278)

La solution générale étant donc:

equation   (11.279)

A,B sont des constantes arbitraires et equation afin que equation soit réel.

Si nous remplaçons x par kx, où k est une constante, l'équation différentielle devient:

equation   (11.280)

en multipliant le tout par equation, nous trouvons la forme générale de l'équation différentielle:

equation   (11.281)

dont la solution générale est:

equation   (11.282)

equation afin que equation soit réel quand equation.

Au fait, les fonctions de Bessel viennent des solutions de l'équation différentielle étudiée précédemment et solutionnées par la méthode de Frobenius. Posons:

equation   (11.283)

et faisons la substitution:

equation   (11.284)

en substituant dans Ly, nous obtenons:

equation   (11.285)

Choisissons maintenant les equation afin de satisfaire l'équation différentielle tel que:

equation   (11.286)

Dès lors, à moins que equation soit un entier négatif, nous avons:

equation   (11.287)

En substituant ces valeurs dans la relation:

equation   (11.288)

nous obtenons:

equation   (11.289)

dès lors:

equation   (11.290)

si nous posons equation dans l'avant-dernière relation, nous obtenons:

equation   (11.291)

ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE DE BESSEL D'ORDRE N

Nous avons défini les séries de Bessel comme étant :

equation   (11.292)

Posons :

equation   (11.293)

et dérivons ainsi :

equation   (11.294)

Mais nous avons aussi :

equation   (11.295)

Par soustraction :

equation   (11.296)

Ce qui donne finalement :

equation   (11.297)

Ce qui s'écrit également :

equation   (11.298)

Qui est appelé "l'équation différentielle de Bessel d'ordre n" ou plus simplement "équation de Bessel". Au fait, la plupart des écoles ou sites Internet donnent cette équation différentielle comme une définition et pourtant il est clair qu'il y a raisonnement rigoureux derrière cette équation.

La solution est donc du type :

equation   (11.299)

ce qui s'écrit encore parfois en utilisant la fonction gamma d'Euler :

equation   (11.300)

Il s'ensuite que :

equation   (11.301)

et donc que equationest solution de cette équation différentielle.


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