4.10. FONCTION UNIFORME CONTINUE




COURS DE STATISTIQUES


1. Echantillons
2. Moyennes
2.1. Moyenne arithmétique
2.2. Médiane
2.3. Moyenne quadratique
2.4. Moyenne harmonique
2.5. Moyenne géométrique
2.6. Moyenne mobile/glissante
2.7. Moyenne pondérée
2.8. Moyenne fonctionnelle
2.9 Propriétés des moyennes
3. Types de variables
3.1. Variables discrètes
3.1.2. Espérance discrète
3.1.3. Variance discrète
3.1.4. Variable centrée réduite
3.1.5. Covariance discrète
3.1.6. Coefficient de corrélation
3.2. Variables continues
3.2.1. Densité de probabilité
3.2.2. Espérance continue
3.2.3. Variance continue
4. Fonctions de distributions
4.1. Fonction discrète uniforme
4.2. Fonction de Bernoulli
4.3. Fonction Géométrique
4.4. Fonction Binomiale
4.5. Fonction hypergéométrique
4.6. Fonction multinomiale
4.7. Fonction de Poisson
4.8. Fonction de Gauss-Laplace/Loi Normale
4.8.1. Somme de deux variables aléatoires normales
4.8.2. Produit de deux variables aléatoires normales
4.8.3. Loi Normale Centré Réduite
4.8.4. Droite de Henry
4.9. Fonction Log-Normale
4.10. Fonction uniforme continue
4.11. Fonction triangulaire
4.12. Fonction de Pareto
4.13. Fonction exponentielle
4.14. Fonction de Cauchy
4.15. Fonction bêta
4.16. Fonction gamma
4.17. Fonction de khi-deux
4.18. Fonction de Student
4.19. Fonction de Fisher-Snedecor
4.20. Fonction de Benford
5. Estimateurs de vraisemblance
5.1. Estimateurs de la loi Normale
5.2. Estimateur de la loi de Poisson
5.3. Estimateur de la loi de Binomiale
5.4. Estimateurs de la loi de Weibull
6. Intervalles de confiance
6.1.1. I.C. sur la moyenne avec avec variance théorique connue
6.2.2. I.C. sur la variance avec avec moyenne théorique connue
6.3.3. I.C. sur la variance avec avec moyenne empirique connue
6.4.4. I.C. sur la moyenne avec avec moyenne empirique connue
7. Loi faible des grands nombres
7.1.1. Inégalité de Markov
7.2.2. Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
8. Fonction caractéristique
9. Théorème central limite
10. Tests d'adéquations (tests d'hypothèses)
10.1. Analyse de la variance (ANOVA à un facteur)
10.2. Test d'ajustement du khi-deux
11. Calculs d'erreurs
11.1. Incertitudes relatives et absolues
11.2. Erreurs statistiques
11.3. Propagation des erreurs
11.4. Chiffres significatifs

Soient equation. Nous définissons la fonction de distribution de la "fonction uniforme" (ou "loi uniforme") par la relation :

equation   (7.344)

Nous avons donc pour fonction de répartition:

equation

Il s'agit bien d'une fonction de distribution car elle vérifie (intégrale simple) :

equation   (7.345)

La fonction uniforme a par ailleurs pour espérance (moyenne) :

equation   (7.346)

et pour variance en utilisant la formule de Huyghens : 

equation   (7.347)

equation signifie qu'en dehors du domaine de définition [a,b] la fonction de distribution est nulle. Nous retrouverons ce type de notation dans certaines autres fonctions de distribution.

exempleExemple:

Tracé de la fonction de distribution et respectivement de répartition pour la loi Uniforme de paramètres equation:

equation equation
  (7.348)

Remarque: Cette fonction est souvent utilisée en simulation dans les entreprises pour signaler que la variable aléatoire a des probabilités égales d'avoir une valeur comprise dans un certain intervalle (typiquement dans les rendements de portefeuilles ou encore dans l'estimation des durées des projets). Le meilleur exemple d'application étant à nouveau le logiciel CrystalBall ou @Risk qui s'intègre dans MS Project.

Voyons un résultat intéressant de la loi Uniforme continue (et qui s'applique à la discrète aussi en fait...).

Souvent j'entends des gestionnaires (qui se jugent de haut niveau) dire que comme une mesure à une probabilité égale d'avoir lieu dans un intervalle fermé donné, alors la somme de deux variables aléatoires indépendantes du même type aussi!

Or nous allons démontrer ici que ce n'est pas (si quelqu'un a une démonstration plus élégante je suis preneur)!

Démonstration:

Considérons deux variables aléatoires indépendantes X et Y suivante une loi uniforme dans un intervalle fermé [0,a]. Nous cherchons donc la densité de leur somme qui sera notée:

equation   (7.349)

Nous avons alors:

equation   (7.350)

avec la variable:

equation   (7.351)

Pour calculer la loi de la somme, rappelons que nous savons qu'en termes discrets cela équivaut faire le produit conjoint des probabilités (cf. chapitre de Probabilités) d'apparition des deux variables continues (se rappeler le même genre de calcul sous forme discrète!)

C'est-à-dire:

equation   (7.352)

Comme equation si equation et sinon 0 alors le produit de convolution précédent se réduit à:

equation   (7.353)

L'intégrant vaut par définition 0 sauf lorsque par construction equation où il vaut alors 1.

Intéressons nous alors aux bornes de l'intégrale dans ce dernier cas qui est bien évidemment le seul qui est intéressant....

Faisons d'abord un changement de variables en posant:

equation   (7.354)

d'où:

equation   (7.355)

L'intégrale s'écrit alors dans alors dans cet intervalle après ce changement de variable:

equation   (7.356)

En se rappelant comme vu au début que equation, alors nous avons immédiatement si equation et equation que l'intégrale est nulle.

Nous allons considérer deux cas pour cet intervalle car la convolution de ces deux fonctions rectangulaires peuvent se distingueront à la situation où dans un premier temps elles se croisent (s'emboîtent), c'est-à-dire où equation, et ensuite s'éloignent l'une de l'autre, c'est-à-dire equation.

- Dans le premier cas (emboîtement) où equation:

equation   (7.357)

où nous avons changé la borne inférieure à 0 car de toute façon equation est nulle pour toute valeur négative (et lorsque equation, equation est justement négatif ou nul!).

- Dans le deuxième cas (déboîtement) où equation:

equation   (7.358)

où nous avons changé la borne supérieur à a car de toute façon equation est nulle pour toute valeur supérieure (et lorsque equation, z est justement plus grand que a).

Donc au final, nous avons:

equation   (7.359)

equationC.Q.F.D.

Il s'agit d'un cas particulier, volontairement simplifié, de la loi triangulaire que nous allons voir de suite.

Ce résultat (qui peut sembler contre intuitif) se vérifie en quelques secondes avec un tableur comme MS Excel en utilisant la fonction ALEA.ENTRE.BORNES( ) et la fonction FREQUENCE( ).

4.11. FONCTION TRIANGULAIRE

Soit equation. Nous définissons la "fonction triangulaire" (ou "loi triangulaire") par construction selon les deux fonctions de distribution suivantes:

equation   (7.360)

a est souvent assimilé à la valeur optimiste, c la valeur attendue (le mode) et b la valeur pessimiste.

C'est effectivement la seule manière de l'écrire si le lecteur garde à l'esprit que le triangle de base c-a doit avoir une hauteur h valant 2/(c-a) telle que sa surface totale soit égale à l'unité (nous allons de suite le montrer).

exempleExemple:

Tracé de la fonction de distribution et répartition pour la fonction triangulaire de paramètres (a,c,b)=(0,3,5):

equation equation
  (7.361)

La pente de la première droite (croissante de gauche) est donc bien évidemment:

 equation   (7.362)

et la pente de la deuxième droite (décroissante à droite):

equation   (7.363)

Cette fonction est une fonction de distribution si elle vérifie:

equation   (7.364)

Il s'agit dans ce cas de l'aire du triangle qui rappelons-le est simplement la base multipliée par la hauteur le tout divisé par 2 (cf. chapitre sur les Formes Géométriques):

equation = 1   (7.365)

Remarque: Cette fonction est beaucoup utilisée en gestion de projet dans le cadre de l'estimation des durées des tâches ou encore en simulations industrielles. La valeur a correspondant à la valeur optimiste, la valeur c à la valeur attendue (mode) et la valeur b à la valeur pessimiste. Le meilleur exemple d'application étant à nouveau le logiciel CrystalBall ou @Risk qui s'intègre dans MS Project.

La fonction triangulaire a par ailleurs une espérance (moyenne) :

equation   (7.366)

et pour variance :

equation   (7.367)

on remplace equation par l'expression obtenue précédemment et on simplifie (c'est de l'algèbre élémentaire pénible...) :

equation   (7.368)

Nous pouvons montrer que la somme de deux variables aléatoires indépendantes chacune de loi uniforme sur [a,b] suit une loi uniforme sur [2a,2b] mais si elles n'ont pas les mêmes bornes, alors leur somme donne une loi triangulaire.


page suivante : 4.12. Fonction de Pareto