4.6. FONCTION MULTINOMIALE




COURS DE STATISTIQUES


1. Echantillons
2. Moyennes
2.1. Moyenne arithmétique
2.2. Médiane
2.3. Moyenne quadratique
2.4. Moyenne harmonique
2.5. Moyenne géométrique
2.6. Moyenne mobile/glissante
2.7. Moyenne pondérée
2.8. Moyenne fonctionnelle
2.9 Propriétés des moyennes
3. Types de variables
3.1. Variables discrètes
3.1.2. Espérance discrète
3.1.3. Variance discrète
3.1.4. Variable centrée réduite
3.1.5. Covariance discrète
3.1.6. Coefficient de corrélation
3.2. Variables continues
3.2.1. Densité de probabilité
3.2.2. Espérance continue
3.2.3. Variance continue
4. Fonctions de distributions
4.1. Fonction discrète uniforme
4.2. Fonction de Bernoulli
4.3. Fonction Géométrique
4.4. Fonction Binomiale
4.5. Fonction hypergéométrique
4.6. Fonction multinomiale
4.7. Fonction de Poisson
4.8. Fonction de Gauss-Laplace/Loi Normale
4.8.1. Somme de deux variables aléatoires normales
4.8.2. Produit de deux variables aléatoires normales
4.8.3. Loi Normale Centré Réduite
4.8.4. Droite de Henry
4.9. Fonction Log-Normale
4.10. Fonction uniforme continue
4.11. Fonction triangulaire
4.12. Fonction de Pareto
4.13. Fonction exponentielle
4.14. Fonction de Cauchy
4.15. Fonction bêta
4.16. Fonction gamma
4.17. Fonction de khi-deux
4.18. Fonction de Student
4.19. Fonction de Fisher-Snedecor
4.20. Fonction de Benford
5. Estimateurs de vraisemblance
5.1. Estimateurs de la loi Normale
5.2. Estimateur de la loi de Poisson
5.3. Estimateur de la loi de Binomiale
5.4. Estimateurs de la loi de Weibull
6. Intervalles de confiance
6.1.1. I.C. sur la moyenne avec avec variance théorique connue
6.2.2. I.C. sur la variance avec avec moyenne théorique connue
6.3.3. I.C. sur la variance avec avec moyenne empirique connue
6.4.4. I.C. sur la moyenne avec avec moyenne empirique connue
7. Loi faible des grands nombres
7.1.1. Inégalité de Markov
7.2.2. Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
8. Fonction caractéristique
9. Théorème central limite
10. Tests d'adéquations (tests d'hypothèses)
10.1. Analyse de la variance (ANOVA à un facteur)
10.2. Test d'ajustement du khi-deux
11. Calculs d'erreurs
11.1. Incertitudes relatives et absolues
11.2. Erreurs statistiques
11.3. Propagation des erreurs
11.4. Chiffres significatifs

La loi binomiale concerne le nombre de succès dans N épreuves de Bernoulli indépendantes donnant chacune un résultat binaire, comme dans le jeu de pile ou face. La loi multinomiale est une généralisation de celle-ci, applicable par exemple à N jets d'un dé à six faces. Contrairement à ces exemples simples, les différentes possibilités ne sont en plus généralement pas équiprobables.

Considérons une approche à nouveau par l'exemple :

Soit l'espace des événements equation muni d'une probabilité equation. Nous tirons n fois de suite avec remise un élément de equation avec la probabilité equation. Quelle est la probabilité d'obtenir le nombre 1, equation fois le nombre 2, equation fois, sur une suite d'un tirage de n éléments.

Remarque: Cela équivaut à l'étude d'un tirage avec remise (cf. chapitre de Probabilités) avec contraintes sur les occurrences. Donc sans contraintes nous verrons par l'exemple que nous retombons sur un tirage avec remise simple.

Nous avons vu dans le chapitre de Probabilités, que si nous prenons un ensemble d'événements ayant plusieurs issues, alors les différentes combinaisons de suites que nous pouvons obtenir en prenant p éléments choisis parmi n est:

equation   (7.230)

Il y a donc :

equation  (7.231)

façons différentes d'obtenir equation fois un certain événement. Ensuite, en associant ce que nous avons vu pour la loi binômiale il vient:

Il y a ensuite : 

equation  (7.232)

façons différentes d'obtenir equation un second événement  puisque dans l'ensemble de la suite, de n éléments déjà equation on été tirés ce qui fait qu'il n'en reste plus equation sur lesquels nous pouvons obtenir les equation voulus.

Nous avons alors selon la loi binômiale:

equation   (7.233)

et:

equation   (7.234)

Alors nous avons dans le cas particulier de deux séries d'uplets:

equation   (7.235)

et comme:

equation   (7.236)

il vient:

equation   (7.237)

Ainsi, par récurrence nous avons la probabilité probabilité P recherchée appelée "fonction Multinomiale" (ou "loi Multinomiale") et donnée par :

equation   (7.238)

dans des logiciels comme MS Excel, le terme:

equation   (7.239)

appelé "coefficient multinomial" est disponible sous le nom de la fonction MULTINOMIALE( ).

exempleExemples:

E1. Nous lançons un dé non-pipé 12 fois. Quelle est la probabilité que les six faces apparaissent le même nombre de fois (mais pas nécessairement conséctivement!):

equation   (7.240)

où nous voyons bien que m correspond au nombre de groupes de réussites.

E2. Nous lançons un dé non-pipé 12 fois. Quelle est la probabilité qu'une seule et unique face apparaisse 12 fois (donc que le "1" apparaisse 12 fois de suite, ou le "2", ou le "3", etc.):

equation   (7.241)

Nous retrouvons donc avec ce dernier exemple un résultat connu de la binomiale.


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