4.9. FONCTION LOG-NORMALE




COURS DE STATISTIQUES


1. Echantillons
2. Moyennes
2.1. Moyenne arithmétique
2.2. Médiane
2.3. Moyenne quadratique
2.4. Moyenne harmonique
2.5. Moyenne géométrique
2.6. Moyenne mobile/glissante
2.7. Moyenne pondérée
2.8. Moyenne fonctionnelle
2.9 Propriétés des moyennes
3. Types de variables
3.1. Variables discrètes
3.1.2. Espérance discrète
3.1.3. Variance discrète
3.1.4. Variable centrée réduite
3.1.5. Covariance discrète
3.1.6. Coefficient de corrélation
3.2. Variables continues
3.2.1. Densité de probabilité
3.2.2. Espérance continue
3.2.3. Variance continue
4. Fonctions de distributions
4.1. Fonction discrète uniforme
4.2. Fonction de Bernoulli
4.3. Fonction Géométrique
4.4. Fonction Binomiale
4.5. Fonction hypergéométrique
4.6. Fonction multinomiale
4.7. Fonction de Poisson
4.8. Fonction de Gauss-Laplace/Loi Normale
4.8.1. Somme de deux variables aléatoires normales
4.8.2. Produit de deux variables aléatoires normales
4.8.3. Loi Normale Centré Réduite
4.8.4. Droite de Henry
4.9. Fonction Log-Normale
4.10. Fonction uniforme continue
4.11. Fonction triangulaire
4.12. Fonction de Pareto
4.13. Fonction exponentielle
4.14. Fonction de Cauchy
4.15. Fonction bêta
4.16. Fonction gamma
4.17. Fonction de khi-deux
4.18. Fonction de Student
4.19. Fonction de Fisher-Snedecor
4.20. Fonction de Benford
5. Estimateurs de vraisemblance
5.1. Estimateurs de la loi Normale
5.2. Estimateur de la loi de Poisson
5.3. Estimateur de la loi de Binomiale
5.4. Estimateurs de la loi de Weibull
6. Intervalles de confiance
6.1.1. I.C. sur la moyenne avec avec variance théorique connue
6.2.2. I.C. sur la variance avec avec moyenne théorique connue
6.3.3. I.C. sur la variance avec avec moyenne empirique connue
6.4.4. I.C. sur la moyenne avec avec moyenne empirique connue
7. Loi faible des grands nombres
7.1.1. Inégalité de Markov
7.2.2. Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
8. Fonction caractéristique
9. Théorème central limite
10. Tests d'adéquations (tests d'hypothèses)
10.1. Analyse de la variance (ANOVA à un facteur)
10.2. Test d'ajustement du khi-deux
11. Calculs d'erreurs
11.1. Incertitudes relatives et absolues
11.2. Erreurs statistiques
11.3. Propagation des erreurs
11.4. Chiffres significatifs

Nous disons qu'une variable aléatoire positive X suit une "fonction log-normale" (ou "loi log-normale") de paramètresequation (moment de la loi log-Normale), si et seulement si en posant:

equation   (7.326)

nous voyons que y suit une fonction de probabilité cumulée de type loi Normale de moyenne equation et de variance equation (moments de la loi Normale).

La fonction de densité de X pour equation est alors (cf. chapitre de Calcul Intégral) :

equation   (7.327)

qui peut être calculée dans MS Excel avec la fonction LOI.LOGNORMALE( ) ou pour la réciproque par LOI.LOGNORNALE.INVERSE( ).

Ce type de scénario se retrouve fréquemment en physique, dans les techniques de maintenance ou encore en finance des marchés dans le modèle de pricing des options (voir ces chapitres respectifs du site pour des exemples concrets). Il y a par ailleurs une remarque importante relativement à la loi log-normale dans le traitement plus loin du théorème central limite!

Montrons que la fonction de probabilité cumulée correspond bien à une loi Normale si nous faisons le changement de variable mentionné précédemment:

equation   (7.328)

en posant:

equation   (7.329)

et :

equation    (7.330)

nous avons bien:

equation   (7.331)

L'espérance (moyenne) de X est donnée alors par (le logarithme népérien n'étant pas défini pour equation nous bornons l'intégrale à partir de zéro) :

equation   (7.332)

où nous avons effectué le changement de variable :

equation   (7.333)

L'expression :

equation   (7.334)

étant par ailleurs égale à :

equation   (7.335)

la dernière intégrale devient donc :

equation   (7.336)

Rappelons que la variance de X est définie par :

equation   (7.337)

Calculons equation en procédant de manière similaire aux développements précédents:

equation   (7.338)

où nous avons encore une fois le changement de variable:

equation   (7.339)

et où nous avons transformé l'expression :

equation   (7.340)

sous la forme:

equation   (7.341)

Donc :

equation   (7.342)

exempleExemple:

Tracé de la fonction de distribution et répartition pour la fonction Log-Normale de paramètres equation:

equation equation
  (7.343)


page suivante : 4.10. Fonction uniforme continue