4.18. FONCTION DE STUDENT




COURS DE STATISTIQUES


1. Echantillons
2. Moyennes
2.1. Moyenne arithmétique
2.2. Médiane
2.3. Moyenne quadratique
2.4. Moyenne harmonique
2.5. Moyenne géométrique
2.6. Moyenne mobile/glissante
2.7. Moyenne pondérée
2.8. Moyenne fonctionnelle
2.9 Propriétés des moyennes
3. Types de variables
3.1. Variables discrètes
3.1.2. Espérance discrète
3.1.3. Variance discrète
3.1.4. Variable centrée réduite
3.1.5. Covariance discrète
3.1.6. Coefficient de corrélation
3.2. Variables continues
3.2.1. Densité de probabilité
3.2.2. Espérance continue
3.2.3. Variance continue
4. Fonctions de distributions
4.1. Fonction discrète uniforme
4.2. Fonction de Bernoulli
4.3. Fonction Géométrique
4.4. Fonction Binomiale
4.5. Fonction hypergéométrique
4.6. Fonction multinomiale
4.7. Fonction de Poisson
4.8. Fonction de Gauss-Laplace/Loi Normale
4.8.1. Somme de deux variables aléatoires normales
4.8.2. Produit de deux variables aléatoires normales
4.8.3. Loi Normale Centré Réduite
4.8.4. Droite de Henry
4.9. Fonction Log-Normale
4.10. Fonction uniforme continue
4.11. Fonction triangulaire
4.12. Fonction de Pareto
4.13. Fonction exponentielle
4.14. Fonction de Cauchy
4.15. Fonction bêta
4.16. Fonction gamma
4.17. Fonction de khi-deux
4.18. Fonction de Student
4.19. Fonction de Fisher-Snedecor
4.20. Fonction de Benford
5. Estimateurs de vraisemblance
5.1. Estimateurs de la loi Normale
5.2. Estimateur de la loi de Poisson
5.3. Estimateur de la loi de Binomiale
5.4. Estimateurs de la loi de Weibull
6. Intervalles de confiance
6.1.1. I.C. sur la moyenne avec avec variance théorique connue
6.2.2. I.C. sur la variance avec avec moyenne théorique connue
6.3.3. I.C. sur la variance avec avec moyenne empirique connue
6.4.4. I.C. sur la moyenne avec avec moyenne empirique connue
7. Loi faible des grands nombres
7.1.1. Inégalité de Markov
7.2.2. Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
8. Fonction caractéristique
9. Théorème central limite
10. Tests d'adéquations (tests d'hypothèses)
10.1. Analyse de la variance (ANOVA à un facteur)
10.2. Test d'ajustement du khi-deux
11. Calculs d'erreurs
11.1. Incertitudes relatives et absolues
11.2. Erreurs statistiques
11.3. Propagation des erreurs
11.4. Chiffres significatifs

La "fonction de Student" (ou "loi de Student") de paramètre k est définie par la relation :

equation   (7.456)

avec k étant le degré de liberté de la loi du khi-deux sous jacente à la construction de la fonction de Student comme nous allons le voir.

Indiquons qu'elle peut aussi être obtenue dans MS Excel à l'aide des fonctions LOI.STUDENT( ) et sa réciproque par LOI.STUDENT.INVERSE( ).

Il s'agit bien d'une fonction de distribution car elle vérifie également (reste à démontrer directement mais bon comme nous allons le voir elle est le produit de deux fonctions de distribution donc indirectement...) :

equation   (7.457)

Voyons la démonstration la plus simple pour justifier la provenance de la loi de Student et qui nous sera en même temps très utile dans l'inférence statistique et l'analyse de la variance plus loin.

Pour cette démonstration, rappelons que:

R1. Si X, Y sont deux variables aléatoires indépendantes de densités respectives equation, la loi du couple (X,Y) possède une densité f vérifiant (axiome des probabilités!):

equation   (7.458)

R2. La loi N(0,1) est donnée par (voir plus haut):

equation   (7.459)

R3. La loi equation est donnée par (voir précédemment):

equation   (7.460)

pour equation et equation.

R4. La fonction equation est définie pour tout equation par (cf. chapitre de Calcul Différentiel et Intégral):

equation   (7.461)

et vérifie (cf. chapitre de Calcul Différentiel et Intégral):

equation   (7.462)

pour equation.

Ces rappels étant faits, considérons maintenant X une variable aléatoire suivant la loi N(0,1) et Y une variable aléatoire suivant la loi equation.

Nous supposons X et Y indépendantes et nous considérons la variable aléatoire (c'est à l'origine l'étude historique de la loi de Student dans le cadre de l'inférence statistique qui a amené à poser cette variable dont nous justifierons l'origine plus loin):

equation   (7.463)

Nous allons montrer T suit une loi de Student de paramètre n.

Démonstration:

Notons F et f  les fonctions de répartition et de densité de T et  equation,f  les fonctions de densité de X, Y  et (X,Y) respectivement. Nous avons alors pour tout equation:

equation   (7.464)

où:

equation   (7.465)

la valeur imposée positive et non nulle de y étant due au fait qu'elle est sous une racine et en plus au dénominateur.

Ainsi:

equation   (7.466)

où comme X suit une loi N(0,1):

equation   (7.467)

est la fonction de répartition de la loi Normale centrée réduite.

Nous obtenons alors la fonction de densité de T en dérivant F:

equation   (7.468)

car (la dérivée d'une fonction est égale à sa dérivée multipliée par sa dérivée intérieure):

equation   (7.469)

Donc:

equation   (7.470)

En faisant le changement de variable:

equation   (7.471)

nous obtenons:

equation   (7.472)

ce qui est bien la loi de Student de paramètre n.

equationC.Q.F.D.

Voyons maintenant quelle est l'espérance de la loi de Student:

equation   (7.473)

Nous avons:

equation   (7.474)

Mais equation existe si et seulement si equation. En effet pour equation:

equation   (7.475)

et:

equation   (7.476)

Tandis que pour equation nous avons:

equation   (7.477)

Ainsi pour equation, l'espérance n'existe pas.

Donc pour equation:

equation   (7.478)

Voyons maintenant la valeur de la variance. Nous avons donc:

equation   (7.479)

Discutons de l'existence de equation. Nous avons trivialement:

equation   (7.480)

X suit une loi normale centrée réduite donc:

equation   (7.481)

Pour ce qui est de equation nous avons:

equation   (7.482)

où nous avons fait le changement de variable equation.

Mais l'intégrale définissant equation converge seulement si equation.

Donc equation existe si et seulement si equation et vaut alors selon les propriétés de la loi Gamma d'Euler démontrées dans le chapitre de Calcul Différentiel et Intégral:

equation   (7.483)

Ainsi pour equation:

equation   (7.484)

Il est par ailleurs important de remarque que cette loi est symétrique par rapport à 0!

exempleExemple:

Tracé de la fonction de distribution et répartition pour la fonction de Student de paramètre equation:

equationequation
  (7.485)

4.19. FONCTION DE FISHER

La "fonction de Fisher" (ou "loi de Fisher-Snedecor") de paramètres k et l est définie par la relation:

equation   (7.486)

si equation . Les paramètres k et l sont des entiers positifs et correspondent aux degrés de liberté des deux lois du khi-deux sous-jacentes. Cette distribution est souvent notée equation ou F(k,l) et peut être obtenue dans MS Excel par la fonction LOI.F( ).

Il s'agit bien d'une fonction de distribution car elle vérifie également (reste à démontrer directement mais bon comme nous allons le voir elle est le produit de deux fonctions de distribution donc indirectement...) :

 equation   (7.487)

Voyons la démonstration la plus simple pour justifier la provenance de la loi de Fisher et qui nous sera en même temps très utile dans l'inférence statistique et l'analyse de la variance plus loin.

Pour cette démonstration, rappelons que:

R1. La loi equation est donnée par (voir plus haut):

equation   (7.488)

pour equation et equation.

R2. La fonction equation est définie pour tout equation par (cf. chapitre de Calcul Différentiel et Intégral):

equation   (7.489)

Soit X, Y deux variables aléatoires indépendantes suivant respectivement les loisequation et equation .

Nous considérons la variable aléatoire:

equation   (7.490)

Nous allons donc montrer que la loi de T  est la loi de Fisher-Snedecor de paramètres n, m.

Notons pour cela F et f  les fonctions de répartition et de densité de T et  equation, f  les fonctions de densité de X, Y  et (X,Y) respectivement.  Nous avons pour tout equation:

equation   (7.491)

où:

equation   (7.492)

où les valeurs positives imposées proviennent de l'origine d'une loi du khi-deux pour x et y.

Ainsi :

equation   (7.493)

Nous obtenons la fonction de densité de T en dérivant F. D'abord la dérivée intérieure:

equation   (7.494)

Ensuite en explicitant puisque:

equation et equation   (7.495)

nous avons alors:

equation   (7.496)

En faisant le changement de variable:

equation   (7.497)

nous obtenons :

equation   (7.498)

equationC.Q.F.D.


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