4.12. FONCTION DE PARETO




COURS DE STATISTIQUES


1. Echantillons
2. Moyennes
2.1. Moyenne arithmétique
2.2. Médiane
2.3. Moyenne quadratique
2.4. Moyenne harmonique
2.5. Moyenne géométrique
2.6. Moyenne mobile/glissante
2.7. Moyenne pondérée
2.8. Moyenne fonctionnelle
2.9 Propriétés des moyennes
3. Types de variables
3.1. Variables discrètes
3.1.2. Espérance discrète
3.1.3. Variance discrète
3.1.4. Variable centrée réduite
3.1.5. Covariance discrète
3.1.6. Coefficient de corrélation
3.2. Variables continues
3.2.1. Densité de probabilité
3.2.2. Espérance continue
3.2.3. Variance continue
4. Fonctions de distributions
4.1. Fonction discrète uniforme
4.2. Fonction de Bernoulli
4.3. Fonction Géométrique
4.4. Fonction Binomiale
4.5. Fonction hypergéométrique
4.6. Fonction multinomiale
4.7. Fonction de Poisson
4.8. Fonction de Gauss-Laplace/Loi Normale
4.8.1. Somme de deux variables aléatoires normales
4.8.2. Produit de deux variables aléatoires normales
4.8.3. Loi Normale Centré Réduite
4.8.4. Droite de Henry
4.9. Fonction Log-Normale
4.10. Fonction uniforme continue
4.11. Fonction triangulaire
4.12. Fonction de Pareto
4.13. Fonction exponentielle
4.14. Fonction de Cauchy
4.15. Fonction bêta
4.16. Fonction gamma
4.17. Fonction de khi-deux
4.18. Fonction de Student
4.19. Fonction de Fisher-Snedecor
4.20. Fonction de Benford
5. Estimateurs de vraisemblance
5.1. Estimateurs de la loi Normale
5.2. Estimateur de la loi de Poisson
5.3. Estimateur de la loi de Binomiale
5.4. Estimateurs de la loi de Weibull
6. Intervalles de confiance
6.1.1. I.C. sur la moyenne avec avec variance théorique connue
6.2.2. I.C. sur la variance avec avec moyenne théorique connue
6.3.3. I.C. sur la variance avec avec moyenne empirique connue
6.4.4. I.C. sur la moyenne avec avec moyenne empirique connue
7. Loi faible des grands nombres
7.1.1. Inégalité de Markov
7.2.2. Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
8. Fonction caractéristique
9. Théorème central limite
10. Tests d'adéquations (tests d'hypothèses)
10.1. Analyse de la variance (ANOVA à un facteur)
10.2. Test d'ajustement du khi-deux
11. Calculs d'erreurs
11.1. Incertitudes relatives et absolues
11.2. Erreurs statistiques
11.3. Propagation des erreurs
11.4. Chiffres significatifs

La "fonction de Pareto" (ou "loi de Pareto") est la formalisation du principe des 80-20. Cet outil d'aide à la décision détermine les facteurs (environ 20%) cruciaux qui influencent la plus grande partie (80%) de l'objectif.

Remarque: Cette loi est un outil fondamental et basique en gestion de la qualité (cf. chapitre de Génie Industriel et Techniques de Gestion). Elle est aussi utilisée en réassurance. La théorie des files d'attente s'est intéressée à cette distribution, lorsque des recherches des années 90 ont montré que cette loi régissait aussi au nombre de grandeurs observées dans le trafic internet (et plus généralement sur tous les réseaux de données à grande vitesse).

Une variable aléatoire est dite par définition suivre une loi de Pareto si sa fonction de répartition est donnée par :

equation   (7.369)

avec x qui doit être supérieur ou égal à xm.

La fonction de densité (fonction de distribution) de Pareto est alors :

equation   (7.370)

avec equation et equation (donc equation).

La distribution de Pareto est donc définie par deux paramètres, xm et k (nommé "index de Pareto").

C'est par ailleurs bien une fonction de distribution puisque étant connue sa fonction de répartition:

equation   (7.371)

L'espérance (moyenne) est donnée par:

 equation   (7.372)

si equation. Si equation, l'espérance n'existe pas.

Pour calculer la variance, en utilisant la relation :

equation   (7.373)

Nous avons :

equation   (7.374)

si equation. Si equation, equation n'existe pas.

Donc si equation :

equation   (7.375)

Si equation, la variance n'existe pas.

exempleExemple:

Tracé de la fonction de distribution et répartition pour la fonction de Pareto de paramètre equation:

equationequation
  (7.376)

Remarque: Il faut noter que lorsque equation la distribution s'approche de equation où equation est la fonction Delta de Dirac.

4.13. FONCTION EXPONENTIELLE

Nous définissons la "fonction exponentielle" (ou "loi exponentielle") par la relation de fonction de distribution suivante :

equation   (7.377)

avec equation qui comme nous allons de suite le montrer n'est au fait que l'inverse de la moyenne.

Remarques:

R1. Cette fonction se retrouve fréquemment en physique nucléaire (désintégrations) ou encore en physique quantique ainsi qu'en fiabilité (maintenance préventive).

R2. Nous pouvons obtenir cette loi dans MS Excel avec la fonction LOI.EXPONENTIELLE( ).

Il s'agit par ailleurs bien d'une fonction de distribution car elle vérifie :

 equation   (7.378)

La fonction exponentielle a pour espérance (moyenne) en utilisant l'intégration par parties: 

equation    (7.379)

et pour variance nous utilisons à nouveau equation et il ne nous reste plus qu'à calculer :

equation   (7.380)

Un changement de variable equation conduit à :

equation   (7.381)

Une double intégration par parties donne :

equation   (7.382)

D'où equation il vient dès lors :

equation   (7.383)

Donc l'écart-type (racine carrée de la variance pour rappel) et la moyenne ont exactement la même expression!

exempleExemple:

Tracé de la fonction de distribution et répartition pour la fonction exponentielle de paramètre equation:

equationequation
  (7.384)

Déterminons maintenant la fonction de répartition de la loi exponentielle:

equation   (7.385)

Remarque: Nous verrons plus loin que la fonction de distribution exponentielle n'est qu'un cas particulier d'une fonction plus générale qui est la fonction du Khi-Deux, cette dernière aussi n'étant qu'un cas particulier d'une fonction encore plus générale qui est la fonction Gamma.

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