4.14. FONCTION DE CAUCHY




COURS DE STATISTIQUES


1. Echantillons
2. Moyennes
2.1. Moyenne arithmétique
2.2. Médiane
2.3. Moyenne quadratique
2.4. Moyenne harmonique
2.5. Moyenne géométrique
2.6. Moyenne mobile/glissante
2.7. Moyenne pondérée
2.8. Moyenne fonctionnelle
2.9 Propriétés des moyennes
3. Types de variables
3.1. Variables discrètes
3.1.2. Espérance discrète
3.1.3. Variance discrète
3.1.4. Variable centrée réduite
3.1.5. Covariance discrète
3.1.6. Coefficient de corrélation
3.2. Variables continues
3.2.1. Densité de probabilité
3.2.2. Espérance continue
3.2.3. Variance continue
4. Fonctions de distributions
4.1. Fonction discrète uniforme
4.2. Fonction de Bernoulli
4.3. Fonction Géométrique
4.4. Fonction Binomiale
4.5. Fonction hypergéométrique
4.6. Fonction multinomiale
4.7. Fonction de Poisson
4.8. Fonction de Gauss-Laplace/Loi Normale
4.8.1. Somme de deux variables aléatoires normales
4.8.2. Produit de deux variables aléatoires normales
4.8.3. Loi Normale Centré Réduite
4.8.4. Droite de Henry
4.9. Fonction Log-Normale
4.10. Fonction uniforme continue
4.11. Fonction triangulaire
4.12. Fonction de Pareto
4.13. Fonction exponentielle
4.14. Fonction de Cauchy
4.15. Fonction bêta
4.16. Fonction gamma
4.17. Fonction de khi-deux
4.18. Fonction de Student
4.19. Fonction de Fisher-Snedecor
4.20. Fonction de Benford
5. Estimateurs de vraisemblance
5.1. Estimateurs de la loi Normale
5.2. Estimateur de la loi de Poisson
5.3. Estimateur de la loi de Binomiale
5.4. Estimateurs de la loi de Weibull
6. Intervalles de confiance
6.1.1. I.C. sur la moyenne avec avec variance théorique connue
6.2.2. I.C. sur la variance avec avec moyenne théorique connue
6.3.3. I.C. sur la variance avec avec moyenne empirique connue
6.4.4. I.C. sur la moyenne avec avec moyenne empirique connue
7. Loi faible des grands nombres
7.1.1. Inégalité de Markov
7.2.2. Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
8. Fonction caractéristique
9. Théorème central limite
10. Tests d'adéquations (tests d'hypothèses)
10.1. Analyse de la variance (ANOVA à un facteur)
10.2. Test d'ajustement du khi-deux
11. Calculs d'erreurs
11.1. Incertitudes relatives et absolues
11.2. Erreurs statistiques
11.3. Propagation des erreurs
11.4. Chiffres significatifs

Soient X,Y deux variables aléatoires indépendantes suivant des lois Normales centrées réduites (variance unité et espérance nulle). La fonction de densité est donc donnée par :

equation   (7.386)

La variable aléatoire :

equation   (7.387)

(la valeur absolue intervient dans l'intégrale lors du changement variable) suit une caractéristique appelée "fonction de Cauchy" (ou "loi de Cauchy") ou encore "loi de Lorentz".

Déterminons sa fonction de densité f. Pour cela, rappelons que f est déterminée par la relation (générale):

equation   (7.388)

Donc (application du calcul intégral élémentaire) :

equation   (7.389)

dans le cas où f est continue.

Etant donné que X et Y sont indépendantes, la fonction de densité du vecteur aléatoire est donnée par un des axiomes des probabilités (cf. chapitre de Probabilités) :

equation   (7.390)

Donc :

equation   (7.391)

où donc equation.

Cette dernière intégrale devient :

equation   (7.392)

Faisons le changement de variable equation dans l'intégrale intérieure. Nous obtenons :

equation   (7.393)

Donc :

equation   (7.394)

C'est maintenant que la valeur absolue va nous être utile pour écrire :

equation   (7.395)

Pour la première intégrale nous avons :

equation   (7.396)

Il ne reste donc plus que la seconde intégrale et en faisant le changement de variable equation, nous obtenons :

equation   (7.397)

Ce que nous noterons par la suite (afin de respecter les notations optées jusqu'à présent) :

equation   (7.398)

et qui n'est d'autre que la fonction de Cauchy.

Il s'agit par ailleurs bien d'une fonction de distribution car elle vérifie (cf. chapitre de Calcul Différentiel et Intégral):

equation   (7.399)

exempleExemple:

Tracé de la fonction de distribution:

equation
  (7.400)

La fonction de Cauchy a pour espérance (moyenne) :

equation  (7.401)

Attention !!! Les calculs précédents ne donnent pas zéro au fait car la soustraction d'infinis est non pas nul mais indéterminé ! La loi de Cauchy n'admet donc pas d'espérance rigoureusement parlant!

Ainsi, même si nous pouvons bricoler une variance :

equation   (7.402)

celle-ci est absurde et n'existe rigoureusement parlant pas puisque la l'espérance n'existe pas...!

4.15. LOI BÊTA

Rappelons d'abord que la fonction Gamma d'Euler est définie par la relation (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral):

equation   (7.403)

Nous avons démontré (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) qu'une propriété non triviale de cette fonction est que:

equation    (7.404)

Posons maintenant:

equation   (7.405)

où :

equation   (7.406)

En faisant le changement de variables :

equation   (7.407)

nous obtenons :

equation   (7.408)

Pour l'intégrale interne nous utilisons maintenant la substitution equation et nous trouvons alors:

equation   (7.409)

La fonction B qui apparaît dans l'expression ci-dessus est appelée "fonction bêta" et nous avons donc :

equation   (7.410)

Maintenant que nous avons défini ce qu'était la fonction bêta, considérons deux paramètres equation et considérons la relation particulière ci-dessous comme étant la "fonction de distribution Bêta" ou "loi bêta" (il existe plusieurs formulations de la loi bêta donc une très importante qui est étudiée en détails dans le chapitre de Techniques de Gestion):

equation   (7.411)

où:

equation   (7.412)

Nous vérifions d'abord que que equation est bien une fonction de distribution (sans trop aller dans les détails...):

equation   (7.413)

Maintenant, nous calculons qu'elle est son espérance (moyenne) :

equation   (7.414)

en utilisant la relation:

equation   (7.415)

et sa variance :

equation   (7.416)

En sachant que equation et que equation nous trouvons :

equation   (7.417)

et donc :

equation   (7.418)

exempleExemple:

Tracé de la fonction pour equation en rouge, equation en vert, equation en noir, equation en bleu, equation en magenta, equation en cyan, equation en gris, equation en turquoise, equation en jaune, equation en couleur or :

equation
  (7.419)

et tracé de la fonction de distribution et répartition de la loi bêta de paramètres equation:

equationequation
  (7.420)


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