4.16. FONCTION GAMMA




COURS DE STATISTIQUES


1. Echantillons
2. Moyennes
2.1. Moyenne arithmétique
2.2. Médiane
2.3. Moyenne quadratique
2.4. Moyenne harmonique
2.5. Moyenne géométrique
2.6. Moyenne mobile/glissante
2.7. Moyenne pondérée
2.8. Moyenne fonctionnelle
2.9 Propriétés des moyennes
3. Types de variables
3.1. Variables discrètes
3.1.2. Espérance discrète
3.1.3. Variance discrète
3.1.4. Variable centrée réduite
3.1.5. Covariance discrète
3.1.6. Coefficient de corrélation
3.2. Variables continues
3.2.1. Densité de probabilité
3.2.2. Espérance continue
3.2.3. Variance continue
4. Fonctions de distributions
4.1. Fonction discrète uniforme
4.2. Fonction de Bernoulli
4.3. Fonction Géométrique
4.4. Fonction Binomiale
4.5. Fonction hypergéométrique
4.6. Fonction multinomiale
4.7. Fonction de Poisson
4.8. Fonction de Gauss-Laplace/Loi Normale
4.8.1. Somme de deux variables aléatoires normales
4.8.2. Produit de deux variables aléatoires normales
4.8.3. Loi Normale Centré Réduite
4.8.4. Droite de Henry
4.9. Fonction Log-Normale
4.10. Fonction uniforme continue
4.11. Fonction triangulaire
4.12. Fonction de Pareto
4.13. Fonction exponentielle
4.14. Fonction de Cauchy
4.15. Fonction bêta
4.16. Fonction gamma
4.17. Fonction de khi-deux
4.18. Fonction de Student
4.19. Fonction de Fisher-Snedecor
4.20. Fonction de Benford
5. Estimateurs de vraisemblance
5.1. Estimateurs de la loi Normale
5.2. Estimateur de la loi de Poisson
5.3. Estimateur de la loi de Binomiale
5.4. Estimateurs de la loi de Weibull
6. Intervalles de confiance
6.1.1. I.C. sur la moyenne avec avec variance théorique connue
6.2.2. I.C. sur la variance avec avec moyenne théorique connue
6.3.3. I.C. sur la variance avec avec moyenne empirique connue
6.4.4. I.C. sur la moyenne avec avec moyenne empirique connue
7. Loi faible des grands nombres
7.1.1. Inégalité de Markov
7.2.2. Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
8. Fonction caractéristique
9. Théorème central limite
10. Tests d'adéquations (tests d'hypothèses)
10.1. Analyse de la variance (ANOVA à un facteur)
10.2. Test d'ajustement du khi-deux
11. Calculs d'erreurs
11.1. Incertitudes relatives et absolues
11.2. Erreurs statistiques
11.3. Propagation des erreurs
11.4. Chiffres significatifs

La fonction Gamma d'Euler étant connue, considérons deux paramètres equation et définissons la "fonction Gamma" (ou "loi Gamma") comme étant donnée par la relation :

equation   (7.421)

En faisant le changement de variables equation nous obtenons :

equation   (7.422)

et pouvons alors écrire la relation sous une forme plus classique que nous trouvons fréquemment dans les ouvrages :

equation   (7.423)

et c'est sous cette forme que nous retrouvons cette fonction dans MS Excel sous le nom LOI.GAMMA( ) et pour sa réciproque par LOI.GAMMA.INVERSE( ).

Remarques:

R1. Si equation alors equation et equation nous retombons sur la loi exponentielle.

R2. Si equation la distribution s'appelle alors la "fonction d'Erlang".

Ensuite, nous vérifions avec un raisonnement similaire en tout point celui de fonction bêta que equation est une fonction de distribution :

equation   (7.424)

exempleExemple:

Tracé de la fonction pour equation en rouge, equation en vert, equation en noir, equation en bleu, equation en magenta :

equation
  (7.425)

et tracé de la fonction de distribution et répartition pour la fonction Gamma de paramètre equation:

equationequation
  (7.426)

La fonction Gamma a par ailleurs pour espérance (moyenne):

equation   (7.427)

et pour variance :

equation   (7.428)

Démontrons une propriété de la fonction Gamma qui nous servira à démontrer plus tard dans ce chapitre lors de notre étude de l'analyse de la variance et des intervalles de confiance sur des petits échantillons une autre propriété extrêmement importante de la loi du khi-deux.

Comme nous le savons, la fonction de densité d'une variable aléatoire suivant une fonction Gamma de paramètres equation est :

equation   (7.429)

avec (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) la fonction Gamma d'Euler :

equation   (7.430)

Par ailleurs, quand une variable aléatoire suite une fonction Gamma nous la notons:

equation   (7.431)

Soit X, Y deux variables indépendantes. Montrons que si equation et equation alors :

equation   (7.432)

Notons f la fonction de densité du couple (X,Y), equation la fonction de densité de X et equation la fonction de densité de Y. Vu que X, Y  sont indépendantes, nous avons :

equation   (7.433)

pour tout equation.

Soit equation. La fonction de répartition de Z est alors :

equation   (7.434)

equation.

Remarque: Nous appelons un tel calcul une "convolution" et les statisticiens ont souvent à manipuler de telles entités ayant à travailler sur des nombreuses variables aléatoires qu'il faut sommer ou même multiplier.

En simplifiant :

equation   (7.435)

Nous effectuons le changement de variable suivant :

equation   (7.436)

Le jacobien est alors (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) :

equation   (7.437)

Donc avec la nouvelle borne d'intégration equation nous avons:

equation   (7.438)

Si nous notons g la fonction de densité de Z nous avons :

equation   (7.439)

Par suite :

equation   (7.440)

equation et equation étant nulles lorsque leur argument est négatif, nous pouvons changer les bornes d'intégration :

equation pour equation   (7.441)

Calculons g :

equation   (7.442)

Après le changement de variable equation nous obtenons :

equation   (7.443)

B est la fonction bêta que nous avons vu plus haut dans notre étude la fonction de distribution bêta. Or nous avons aussi démontré la relation :

equation   (7.444)

Donc :

equation   (7.445)

Ce qui finalement nous donne :

equation   (7.446)

Ce qui montre que bien que si deux variables aléatoires suivent une fonction Gamma alors leur somme aussi tel que :

equation   (7.447)

donc la fonction Gamma est stable par addition de même que le sont toutes les lois qui découlent de la loi gamma et que nous allons aborder ci-après.

4.17. FONCTION DE KHI-DEUX (OU DE PEARSON)

La "fonction de Khi-Deux" (appelée aussi "loi du Khi-Deux" ou encore "loi de Pearson") n'est qu'un cas particulier de la fonction de distribution Gamma dans le cas où equation et equation, avec k entier positif :

equation   (7.448)

Cette relation qui relie la loi du khi-deux à la loi Gamma est important dans MS Excel car la fonction LOI.KHIDEUX( ) donne le seuil de confiance et non la loi de distribution. Il faut alors utiliser la fonction LOI.GAMMA( ) avec les paramètres donnés ci-dessus (à part qu'il faut prendre l'inverse de 1/2, soit 2 comme paramètre) pour avoir la fonction de distribution et de répartition.

Tous les calculs faits auparavant s'appliquent et nous avons alors immédiatement:

equation   (7.449)

exempleExemple:

Tracé de la fonction pour equation en rouge, equation en vert, equation en noir, equationen bleu :

equation
  (7.450)

et tracé de la fonction de distribution et respectivement de répartition pour la loi du khi-deux pour equation:

equationequation
  (7.451)

Dans la littérature, il est de tradition de noter :

equation ou equation   (7.452)

pour indiquer que la distribution de la variable aléatoire X est la loi du khi-deux. Par ailleurs il est courant de nommer le paramètre k "degré de liberté" et de l'abréger "ddl".

La fonction khi-deux découle donc de la loi gamma et par ailleurs en prenant equation nous retrouvons aussi la loi exponentielle (voir plus haut) pour equation :

equation   (7.453)

Par ailleurs, puisque (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral):

equation   (7.454)

la loi du khi-deux avec k égal à l'unité peut s'écrire sous la forme :

equation   (7.455)


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