4.2. FONCTION DE BERNOULLI




COURS DE STATISTIQUES


1. Echantillons
2. Moyennes
2.1. Moyenne arithmétique
2.2. Médiane
2.3. Moyenne quadratique
2.4. Moyenne harmonique
2.5. Moyenne géométrique
2.6. Moyenne mobile/glissante
2.7. Moyenne pondérée
2.8. Moyenne fonctionnelle
2.9 Propriétés des moyennes
3. Types de variables
3.1. Variables discrètes
3.1.2. Espérance discrète
3.1.3. Variance discrète
3.1.4. Variable centrée réduite
3.1.5. Covariance discrète
3.1.6. Coefficient de corrélation
3.2. Variables continues
3.2.1. Densité de probabilité
3.2.2. Espérance continue
3.2.3. Variance continue
4. Fonctions de distributions
4.1. Fonction discrète uniforme
4.2. Fonction de Bernoulli
4.3. Fonction Géométrique
4.4. Fonction Binomiale
4.5. Fonction hypergéométrique
4.6. Fonction multinomiale
4.7. Fonction de Poisson
4.8. Fonction de Gauss-Laplace/Loi Normale
4.8.1. Somme de deux variables aléatoires normales
4.8.2. Produit de deux variables aléatoires normales
4.8.3. Loi Normale Centré Réduite
4.8.4. Droite de Henry
4.9. Fonction Log-Normale
4.10. Fonction uniforme continue
4.11. Fonction triangulaire
4.12. Fonction de Pareto
4.13. Fonction exponentielle
4.14. Fonction de Cauchy
4.15. Fonction bêta
4.16. Fonction gamma
4.17. Fonction de khi-deux
4.18. Fonction de Student
4.19. Fonction de Fisher-Snedecor
4.20. Fonction de Benford
5. Estimateurs de vraisemblance
5.1. Estimateurs de la loi Normale
5.2. Estimateur de la loi de Poisson
5.3. Estimateur de la loi de Binomiale
5.4. Estimateurs de la loi de Weibull
6. Intervalles de confiance
6.1.1. I.C. sur la moyenne avec avec variance théorique connue
6.2.2. I.C. sur la variance avec avec moyenne théorique connue
6.3.3. I.C. sur la variance avec avec moyenne empirique connue
6.4.4. I.C. sur la moyenne avec avec moyenne empirique connue
7. Loi faible des grands nombres
7.1.1. Inégalité de Markov
7.2.2. Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
8. Fonction caractéristique
9. Théorème central limite
10. Tests d'adéquations (tests d'hypothèses)
10.1. Analyse de la variance (ANOVA à un facteur)
10.2. Test d'ajustement du khi-deux
11. Calculs d'erreurs
11.1. Incertitudes relatives et absolues
11.2. Erreurs statistiques
11.3. Propagation des erreurs
11.4. Chiffres significatifs

Si nous avons affaire à une observation binaire alors la probabilité d'un événement reste constant d'une observation à l'autre s'il n'y a pas d'effet mémoire (autrement dit: une somme de variables de Bernoulli, deux à deux indépendantes).

Nous appelons ce genre d'observations où la variable aléatoire à valeurs 0 ou 1, avec probabilité (1-p), p respectivement, des "essais de Bernoulli" avec "événements contraires à probabilités contraires". 

Ainsi, une variable aléatoire X suit une "fonction de Bernoulli" (ou "loi de Bernoulli") si elle ne peut prendre que les valeurs 0 ou 1, associées aux probabilités q et p de sorte que equation et:

equation   (7.166)

L'exemple classique d'un tel processus est le jeu de pile de face ou de tirage avec remise. Il est inutile de vérifier formellement que la probabilité cumulée est unitaire...

Remarquons que par extension, si nous considérons N événements où nous obtenons dans un ordre particulier k fois une des issues possible (réussite) et N-k l'autre (échec), alors la probabilité d'obtenir une telle série (de k réussites et N-k échecs ordonnées dans un ordre particulier) sera donnée par:

 equation   (7.167)

conformément à ce que nous avions vu obtenu en combinatoire dans le chapitre de Probabilités!

exempleExemple:

Tracé de la fonction pour equation :

equation
  (7.168)

La fonction de Bernoulli a donc pour espérance (moyenne):

equation   (7.169)

et pour variance (nous utilisons la formule de Huyghens démontrée plus haut):

equation   (7.170)

Remarque: L'exemple ci-dessus n'est certes par pertinent mais nous verrons dans le chapitre de Techniques De Gestion que la fonction de Bernoulli apparaît naturellement au début de notre étude des files d'attentes.

FONCTION GÉOMÉTRIQUE

La loi géométrique ou "loi de Pascal" consiste dans une épreuve de type Bernoulli, dont la probabilité de succès est p et celle d'échec equation sont constantes, que nous renouvelons de manière indépendante jusqu'au premier succès.

Si nous appelons X la variable aléatoire donnant le rang du premier succès la probabilité que equation est alors (cas particulier de la fonction de Bernoulli):

equation   (7.171)

avec equation.

Cette loi a pour espérance:

equation   (7.172)

Or, cette dernière relation s'écrit aussi (car c'est une simple série géométrique):

equation   (7.173)

Effectivement, nous avons démontré dans le chapitre sur les Suites et Séries que :

equation   (7.174)

En prenant la limite lorsque equation nous obtenons :

equation   (7.175)

car equation.

Ensuite, il suffit de dériver les deux membres de l'égalité par rapport à q et nous obtenons :

equation   (7.176)

Nous avons donc le nombre moyen d'essais X qu'il faut faire pour arriver au premier succès:

equation   (7.177)

Calculons maintenant la variance en rappelant comme à chaque fois que (formule de Huyghens):

equation   (7.178)

Commençons donc par calculer equation :

equation
  (7.179)

Le dernier terme de cette expression est l'équivalent de l'espérance calculée précédemment. Soit :

equation   (7.180)

Il reste à calculer :

equation   (7.181)

Nous avons :

equation   (7.182)

Or en dérivant l'égalité :

equation   (7.183)

Nous obtenons :

equation   (7.184)

Par conséquent :

equation   (7.185)

Donc :

equation   (7.186)

Pour finir :

equation   (7.187)

exemple Exemple:

E1. Vous essayez, tard dans la nuit et dans l'obscurité, d'ouvrir une serrure au moyen d'un trousseau de 5 clés, sans porter attention, car vous êtes un peu fatigué (ou un peu éméché...) vous essayez chaque clé. Sachant qu'une seule convient, quelle est la probabilité d'utiliser la bonne clé au k-ème essai?

equation   (7.188)

E2. Tracé de la fonction de distribution et répartition pour la fonction Géométrique de paramètre equation:

equation equation
  (7.189)

Déterminons maintenant la fonction de répartition de la loi géométrique. Nous partons donc de:

equation   (7.190)

nous avons alors par définition la probabilité que l'expérience réussisse dans les n premiers essais:

equation   (7.191)

avec n entier valant 0...1...2, etc.

Posons:

equation   (7.192)

Nous avons alors:

equation   (7.193)

page suivante : 4.4. Fonction Binomiale