8. FONCTION CARACTÉRISTIQUE




COURS DE STATISTIQUES


1. Echantillons
2. Moyennes
2.1. Moyenne arithmétique
2.2. Médiane
2.3. Moyenne quadratique
2.4. Moyenne harmonique
2.5. Moyenne géométrique
2.6. Moyenne mobile/glissante
2.7. Moyenne pondérée
2.8. Moyenne fonctionnelle
2.9 Propriétés des moyennes
3. Types de variables
3.1. Variables discrètes
3.1.2. Espérance discrète
3.1.3. Variance discrète
3.1.4. Variable centrée réduite
3.1.5. Covariance discrète
3.1.6. Coefficient de corrélation
3.2. Variables continues
3.2.1. Densité de probabilité
3.2.2. Espérance continue
3.2.3. Variance continue
4. Fonctions de distributions
4.1. Fonction discrète uniforme
4.2. Fonction de Bernoulli
4.3. Fonction Géométrique
4.4. Fonction Binomiale
4.5. Fonction hypergéométrique
4.6. Fonction multinomiale
4.7. Fonction de Poisson
4.8. Fonction de Gauss-Laplace/Loi Normale
4.8.1. Somme de deux variables aléatoires normales
4.8.2. Produit de deux variables aléatoires normales
4.8.3. Loi Normale Centré Réduite
4.8.4. Droite de Henry
4.9. Fonction Log-Normale
4.10. Fonction uniforme continue
4.11. Fonction triangulaire
4.12. Fonction de Pareto
4.13. Fonction exponentielle
4.14. Fonction de Cauchy
4.15. Fonction bêta
4.16. Fonction gamma
4.17. Fonction de khi-deux
4.18. Fonction de Student
4.19. Fonction de Fisher-Snedecor
4.20. Fonction de Benford
5. Estimateurs de vraisemblance
5.1. Estimateurs de la loi Normale
5.2. Estimateur de la loi de Poisson
5.3. Estimateur de la loi de Binomiale
5.4. Estimateurs de la loi de Weibull
6. Intervalles de confiance
6.1.1. I.C. sur la moyenne avec avec variance théorique connue
6.2.2. I.C. sur la variance avec avec moyenne théorique connue
6.3.3. I.C. sur la variance avec avec moyenne empirique connue
6.4.4. I.C. sur la moyenne avec avec moyenne empirique connue
7. Loi faible des grands nombres
7.1.1. Inégalité de Markov
7.2.2. Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
8. Fonction caractéristique
9. Théorème central limite
10. Tests d'adéquations (tests d'hypothèses)
10.1. Analyse de la variance (ANOVA à un facteur)
10.2. Test d'ajustement du khi-deux
11. Calculs d'erreurs
11.1. Incertitudes relatives et absolues
11.2. Erreurs statistiques
11.3. Propagation des erreurs
11.4. Chiffres significatifs

Avant de donner une démonstration à la manière ingénieur du théorème central limite, introduisons d'abord la conception de "fonction caractéristique" qui tient une place centrale en statistiques.

D'abord, rappelons que la transformée de Fourier est donnée dans sa version physicienne par (cf. chapitre de Suites et Séries) la relation:

equation   (7.143)

Rappelons que la transformation de Fourier est un analogue de la théorie des séries de Fourier pour les fonctions non périodiques, et permet de leur associer un spectre en fréquences.

Nous souhaitons maintenant démontrer que si:

equation alors equation   (7.144)

En d'autres termes, nous cherchons une expression simplifiée de la transformée de Fourier de la dérivée de f(x).

Démonstration:

Nous partons donc de:

equation   (7.145)

Une intégration par parties donne :

equation   (7.146)

En imposant que,  f tend vers zéro à l'infini, nous avons alors:

equation   (7.147)

et:

equation   (7.148)

C'est la premier résultat dont nous avions besoin.

equationC.Q.F.D.

Maintenant, démontrons que si:

equation alors equation   (7.149)

Démonstration:

Nous partons donc de:

equation   (7.150)

C'est le deuxième résultat dont nous avions besoin.

equationC.Q.F.D.

Maintenant effectuons le calcul de la transformée de Fourier de la loi Normale centrée-réduite (ce choix n'est pas innocent...) :

equation   (7.151)

Nous savons que cette dernière relation est trivialement solution de l'équation différentielle (ou bien elle vérifie) :

equation   (7.152)

en prenant la transformée de Fourier des deux côté de l'égalité, nous avons en utilisant les deux résultats précédents:

equation alors equation   (7.153)
equation alors equation

Nous avons:

equation   (7.154)

Ou encore:

equation   (7.155)

Donc après intégration:

equation   (7.156)

Nous avons:

equation   (7.157)

Nous avons démontré lors de notre étude de la loi Normale que:

equation   (7.158)

Donc:

equation   (7.159)

Nous avons alors (résultat important!):

equation   (7.160)

Introduisons maintenant la fonction caractéristique telle que définie par les statisticiens:

equation   (7.161)

qui est un outil analytique important et puissant permettant d'analyser une somme de variables aléatoires indépendantes. De plus, cette fonction contient toutes les informations caractéristiques de la variable aléatoire X.

Remarque: La notation n'est pas innocente puisque le E[...] représente une espérance de la fonction de densité par rapport à l'exponentielle complexe.

Donc la fonction caractéristique de la variable aléatoire normale centrée réduite de distribution:

equation   (7.162)

devient simple à déterminer car:

equation   (7.163)

raison pour laquelle la fonction caractéristique de la loi Normale centrée réduite est souvent assimilée à une simple transformée de Fourier.

Et grâce au résultat précédent:

equation   (7.164)

Donc:

equation   (7.165)

qui est le résultat dont nous avons besoin pour le théorème central limite.

Mais avant cela, regardons d'un peu plus près cette fonction caractéristique:

equation   (7.166)

En développement de MacLaurin nous avons (cf. chapitre Suites et Séries) et en changeant un peu les notations:

equation   (7.167)

et en intervertissant la somme et l'intégrale, nous avons:

equation   (7.168)

Cette fonction caractéristique contient donc tous les moments (terme général utilisé pour l'écart-type et l'espérance) de X.


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