2. TYPES DE NOMBRES



Les nombres en mathématique

1. Bases numériques

2. Types de nombres

2.1. Nombres entiers

2.1.1. Axiomes de Peano

2.1.2. Nombres pairs, impairs et parfaits

2.1.3. Nombres premiers

2.2. Nombres entiers relatifs

2.3. Nombres rationnels

2.4. Nombres irrationnels

2.5. Nombres réels

2.5.1. Nombres transfinis

2.6. Nombres complexes

2.6.1. Transformations dans le plan

2.7. Nombres quaternions

2.7.1. Interprétation matricielle

2.7.2. Rotations

2.8. Nombres algébriques et transcendants

2.9. Nombres abstraits

2.9.1. Alphabet Grec

2.9.2. Domaine de définition

Il existe en mathématiques une très grande variété de nombres (naturels, rationnels, réels, irrationnels, complexes, p-adiques, quaternions, transcendants, algébriques, constructibles...) puisque le mathématicien peut à loisirs en créer en ayant uniquement à poser les axiomes (règles) de manipulations de ceux-ci (cf. chapitre de Théorie Des Ensembles).

Cependant, il y en a quelques uns que nous retrouvons plus souvent que d'autres et certains qui servent de base de construction à d'autres et qu'il conviendrait de définir suffisamment rigoureusement (sans aller dans les extrêmes) pour pouvoir savoir de quoi nous parlerons lorsque nous les utiliserons.

2.1. Nombres ENTIERS NATURELS

L'idée du "nombre entier" (nombre pour lequel il n'y a pas de chiffres après la virgule) est le concept fondamental de la mathématique et nous vient à la vue d'un groupement d'objets de même espèce (un mouton, un autre mouton, encore un autre, etc.). Lorsque la quantité d'objets d'un groupe est différente de celle d'un autre groupe nous parlons alors de groupe numériquement supérieur ou inférieur quelque soit l'espèce d'objets contenus dans ces groupes. Lorsque la quantité d'objets d'un ou de plusieurs groupes est équivalente, nous parlons alors "d'égalité". A chaque objet correspond le nombre "un" ou "unité" noté "1".

Pour former des groupements d'objets, nous pouvons opérer ainsi : à un objet, ajouter un autre objet, puis encore un et ainsi de suite... chacun des groupements, au point de vue de sa collectivité, est caractérisé par un nombre. Il résulte de là qu'un nombre peut être considéré comme représentant un groupement d'unités tel que chacune de ces unités corresponde à un objet de la collection.

Définition: Deux nombres sont dits "égaux" si à chacune des unités de l'un nous pouvons faire correspondre une unité de l'autre et inversement. Si ceci ne se vérifie pas alors nous parlons "d'inégalité".

Prenons un objet, puis un autre, puis au groupement formé, ajoutons encore un objet et ainsi de suite. Les groupements ainsi constitués sont caractérisés par des nombres qui, considérés dans le même ordre que les groupements successivement obtenus, constituent la "suite naturelle" notée equation et notée :

equation   (2.14)

Remarque: La présence du 0 (zéro) dans notre définition de equation est discutable étant donné qu'il n'est ni positif ni négatif. C'est la raison pour laquelle dans certains ouvrages vous pourrez trouver une définition de equation sans le 0.

Les constituants de cet ensemble peuvent être définis par (nous devons cette définition au mathématicien Gottlob) les propriétés (avoir lu au préalable le chapitre de Théorie Des Ensembles est recommandé...) suivantes :

P1. 0 (lire "zéro") est le nombre d'éléments (défini comme une relation d'équivalence) de tous les ensembles équivalents à (en bijection avec) l'ensemble vide.

P2. 1 (lire "un") est le nombre d'éléments de tous les ensembles équivalents à l'ensemble dont le seul élément est 1.

P3. 2 (lire "deux") est le nombre d'éléments de tous les ensembles équivalents à l'ensemble dont tous les éléments sont 0 et 1.

P4. En général, un nombre entier est le nombre d'éléments de tous les ensembles équivalents à l'ensemble des nombres entiers le précédent!

La construction de l'ensemble des entiers naturels s'est faite de la manière la plus naturelle et cohérente qui soit. Les naturels doivent leur nom à ce qu'ils avaient pour objet, aux prémices de leur existence, de dénombrer des quantités et des choses de la nature ou qui intervenaient dans la vie de l'homme. L'originalité de l'ensemble réside dans la manière empirique dont il s'est construit car il ne résulte pas réellement d'une définition mathématique, mais davantage d'une prise de conscience par l'homme du concept de quantité dénombrable, de nombre et de lois qui traduisent des relations entre eux.

La question de l'origine de equation est dès lors la question de l'origine des mathématiques. Et de tout temps des débats confrontant les pensées des plus grands esprits philosophiques ont tenté d'élucider ce profond mystère, à savoir si les mathématiques sont une pure création de l'esprit humain ou si au contraire l'homme n'a fait que redécouvrir une science qui existait déjà dans la nature. Outre les nombreuses questions philosophiques que cet ensemble peut susciter, il n'en est pas moins intéressant d'un point de vue exclusivement mathématique. Du fait de sa structure, il présente des propriétés remarquables qui peuvent se révéler d'une grande utilité lorsque l'on pratique certains raisonnements ou calculs.

Remarquons immédiatement que la suite naturelle des nombres entiers est illimitée (cf. chapitre de Théorie Des Nombres) mais dénombrable (nous verrons cela plus bas), car, à un groupement d'objets qui se trouve représenté par un certain nombre n, il suffira d'ajouter un objet pour obtenir un autre groupement qui sera défini par un nombre entier immédiatement supérieur n + 1.

Définition: Deux nombres entiers qui différent d'une unité positive sont dits "consécutifs".

2.1.1. AXIOMES DE PEANO

Lors de la crise des fondements des mathématiques, les mathématiciens ont bien évidemment cherché à axiomatiser l'ensemble equation et nous devons l'axiomatisation actuelle à Peano et à Dedekind.

Les axiomes de ce système comportent les symboles < et = pour représenter les relations "plus petit" et "égal" (cf. chapitre sur les Opérateurs). Ils comprennent d'autre part les symboles 0 pour le nombre zéro et s pour représenter le nombre "successeur". Dans ce système, 1 est noté:

equation   (2.15)

dit "successeur de zéro", 2 est noté:

equation   (2.16)

Les axiomes de Peano qui construisent equation sont les suivants (voir le chapitre de la Théorie de la Démonstration pour certains symboles) :

A1. 0 est un entier naturel (permet de poser que equation n'est pas vide).

A2. Tout entier naturel a un successeur, noté s(n).

Donc s est une application injective, c'est- à-dire :

equation   (2.17)

si deux successeurs sont égaux, ils sont les successeurs d'un même nombre.

A3. equation, le successeur d'un entier naturel n'est jamais égal à zéro (ainsi equation à un premier élément)

A4. equation, "axiome de récurrence" qui se doit se lire de la manière suivante : si l'on démontre qu'une propriété est vraie pour un x et son successeur, alors cette propriété est vraie pout tout x.

Donc l'ensemble de tous les nombres vérifiant les 4 axiomes sont : 

equation   (2.18)

Remarque: Les axiomes de Peano permettent de construire très rigoureusement les deux opérations de base de l'arithmétique que sont l'addition et la multiplication (cf. chapitre sur les Opérateurs) et ainsi tous les autres ensembles que nous verrons par la suite.

2.1.2. NOMBRES PAIRS, IMPAIRS ET PARFAITS

En arithmétique, étudier la parité d'un entier, c'est déterminer si cet entier est ou non un multiple de deux. Un entier multiple de deux est un entier pair, les autres sont les entiers impairs.

Définitions:

D1. Les nombres obtenus en comptant par deux à partir de zéro, (soit 0, 2, 4, 6, 8, ...) dans cette suite naturelle sont appelés "nombres pairs".

Le equation nombre pair est donné par la relation :

equation   (2.19)

D2. Les nombres que nous obtenons en comptant par deux à partir de un (soit 1, 3, 5, 7,... ) dans cette suite naturelle s'appellent "nombres impairs".

Le equation nombre impair est donné par :

equation   (2.20)

Remarque: Nous appelons "nombres parfaits", les nombres égaux à la somme de leurs diviseurs entiers strictement plus petits qu'eux mêmes (concept que nous verrons en détail plus tard) comme par exemple: 6=1+2+3 et 28=1+2+4+7+14.

2.1.3. NOMBRES PREMIERS

Définition: Un "nombre premier" est un entier possédant exactement 2 diviseurs (ces deux diviseurs sont donc "1" et le nombre lui-même). Dans le cas où il y a plus de 2 diviseurs on parle de "nombre composé".

Voici l'ensemble des nombres premiers inférieurs à 60:

{2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59}

Remarque: A noter que la définition de nombre premier exclut le chiffre "1" de l'ensemble des nombres premiers car il a un unique diviseur (lui-même) et pas deux comme le veut la définition.

Nous pouvons nous demander s'il existe une infinité de nombres premiers ? La réponse est positive et en voici une démonstration (parmi tant d'autres) par l'absurde.

Démonstration:

Supposons qu'il existe qu'un nombre fini de nombres premiers qui seraient :

equation   (2.21)

Nous formons un nouveau nombre à partir du produit de tous les nombres premiers auquel nous ajoutons "1":

equation   (2.22)

Selon notre hypothèse initiale et le théorème fondamental de l'arithmétique (cf. chapitre de Théorie Des Nombres) ce nouveau nombre devrait être divisible par l'un des nombres premiers existants selon:

equation   (2.23)

Nous pouvons effectuer la division:

equation   (2.24)

Le premier terme se simplifie, car equation est dans le produit. Nous notons E cet entier:

equation   (2.25)

Or, q et E sont deux entiers, donc equation doit être un entier. Mais equation est par définition supérieur à 1. Donc equation n'est pas un entier.

Il y a alors contradiction et nous en concluons que les nombres premiers ne sont pas en nombre fini, mais infini.

equationC.Q.F.D.

Remarques:

R1. equation (le produit des n premiers nombres premiers) est appelé "primorielle n".

R2. Nous renvoyons le lecteur au chapitre de Cryptographie de la section d'Informatique Théorique pour étudier quelques propriétés remarquables des nombres premiers dont la non moins fameuse fonction phi d'Euler (ou appelé aussi "fonction indicatrice").

R3. L'étude des nombres premiers est un sujet immensément vaste et certains théorèmes y relatifs sortent largement du cadre d'étude de ce site.

2.2. NOMBRES entiers RELATIFS

L'ensemble equation à quelques défauts que nous n'avons pas énoncés tout à l'heure. Par exemple, la soustraction de deux nombres dans equation n'a pas toujours un résultat dans equation (les nombres négatifs n'y existent pas). Autre défaut, la division de deux nombres dans equation n'a également pas toujours un résultant dans equation (les nombres fractionnaires n'y existent pas).

Nous pouvons dans un premier temps résoudre le problème de la soustraction en ajoutant à l'ensemble des entiers naturels, les entiers négatifs (concept révolutionnaire pour ceux qui en sont à l'origine) nous obtenons "l'ensemble des entiers relatifs" noté equation (pour "Zahl" de l'allemand) :

equation   (2.26)

L'ensemble des entiers naturels est donc inclus dans l'ensemble des entiers relatifs. C'est ce que nous notons sous la forme :

  equation   (2.27)

et nous avons par définition (c'est une notation qu'il faut apprendre) : 

equation   (2.28)

Cet ensemble a été créé à l'origine pour faire de l'ensemble des entiers naturels un objet que nous appelons un "groupe" (cf. chapitre Théorie Des Ensembles) par rapport à l'addition.

Définition: Nous disons qu'un ensemble E est un "ensemble dénombrable", s'il est équipotent à equation. C'est-à-dire s'il existe une bijection de (cf. chapitre Théorie Des Ensembles) equation sur E. Ainsi, grosso modo, deux ensembles équipotents ont "autant" d'éléments au sens de leurs cardinaux (cf. chapitre de Théorie Des Ensembles), ou tout au moins la même infinité.

L'objectif de cette remarque est de faire comprendre que les ensembles equation sont dénombrables.

Démonstration:

Montrons que equation est dénombrable en posant :

equation et equation   (2.29)

pour tout entier equation. Ceci donne l'énumération suivante:

0,-1,1,-2,2,-3,3, ...   (2.30)

de tous les entier relatifs à partir des entiers naturles seuls.

equationC.Q.F.D.


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