2.5. NOMBRES RÉELS



Les nombres en mathématique

1. Bases numériques

2. Types de nombres

2.1. Nombres entiers

2.1.1. Axiomes de Peano

2.1.2. Nombres pairs, impairs et parfaits

2.1.3. Nombres premiers

2.2. Nombres entiers relatifs

2.3. Nombres rationnels

2.4. Nombres irrationnels

2.5. Nombres réels

2.5.1. Nombres transfinis

2.6. Nombres complexes

2.6.1. Transformations dans le plan

2.7. Nombres quaternions

2.7.1. Interprétation matricielle

2.7.2. Rotations

2.8. Nombres algébriques et transcendants

2.9. Nombres abstraits

2.9.1. Alphabet Grec

2.9.2. Domaine de définition

Définition: La réunion des nombres rationnels et irrationnels donne "l'ensemble des nombres réels".

Ce que nous notons:

equation   (2.50)

Remarque: Les mathématiciens dans leur rigueur habituelle ont différentes techniques pour définir les nombres réels. Ils utilisent pour cela des propriétés de la topologie (entre autres) et en particulier les suites de Cauchy mais c'est une autre histoire qui dépasse le cadre formel du présent chapitre.

Nous sommes évidemment amenés à nous poser la question si equation est dénombrable ou non. La démonstration est assez simple.

Démonstration:

Par définition, nous avons vu plus haut qu'il doit y avoir une bijection entre  equation et equation pour dire que equation soit dénombrable.

Pour simplifier, nous allons montrer que l'intervalle [0,1[ n'est alors pas dénombrable. Ceci impliquera bien sûr par extension que equation ne l'est pas!

Les éléments de cet intervalle sont représentés par des suites infinies entre 0 et 9 (dans le système décimal) :

- Certaines de ces suites sont nulles à partir d'un certain rang, d'autres non

- Nous pouvons donc identifier [0,1[ à l'ensemble de toutes les suites (finies ou infinies) d'entiers compris entre 0 et 9

n°1

equation

equation

equation

equation

...

equation

...

n°2

equation

equation

equation

equation

...

equation

...

n°3

equation

equation

equation

equation

...

equation

...

n°4

equation

equation

equation

equation

...

equation

...

n°5

equation

equation

equation

equation

...

equation

...

n°6

equation

equation

equation

equation

...

equation

...

 

...

           
   

...

         
     

...

       

k

equation

equation

equation

equation

...

equation

...

           

...

 
Tableau: 2.2  - Identification et classement de nombres réels

Si cet ensemble était dénombrable, nous pourrions classer ces suites (avec une première, une deuxième, etc.). Ainsi, la suite equation serait classée première et ainsi de suite... comme le propose le tableau ci-dessus.

Nous pourrions alors modifier cette matrice infinie de la manière suivante : a chaque élément de la diagonale, rajouter 1, selon la règle : 0+1=1, 1+1=2, 8+1=9 et 9+1=0

n°1

equation+1

equation

equation

equation

...

equation

...

n°2

equation

equation
+1

equation

equation

...

equation

...

n°3

equation

equation

equation
+1

equation

...

equation

...

n°4

equation

equation

equation

equation
+1

...

equation

...

n°5

equation

equation

equation

equation

...

equation

...

n°6

equation

equation

equation

equation

...

equation

...

 

...

           
   

...

         
     

...

       

k

equation

equation

equation

equation

...

equation

...

           

...

 
Tableau: 2.3  - Identification et classement de nombres réels

Alors considérons la suite infinie qui se trouve sur la diagonale :

- Elle ne peut être égale à la première car elle s'en distingue au moins par le premier élément

- Elle ne peut être égale à la deuxième car elle s'en distingue au moins par le deuxième élément

- Elle ne peut être égale à la troisième car elle s'en distingue au moins par le troisième élément

et ainsi de suite... Elle ne peut donc être égale à aucune des suites contenues dans ce tableau!

Donc, quel que soit le classement choisi des suites infinies de 0...9, il y en a toujours une qui échappe à ce classement! C'est donc qu'il est impossible de les numéroter... tout simplement parce qu'elles ne forment pas un ensemble dénombrable.

equationC.Q.F.D.

La technique qui nous a permis d'arriver à ce résultat est connue sous le nom de "procédé diagonal de Cantor" (car similaire à celle utilisée pour l'équipotence entre ensemble naturel et rationnel) et l'ensemble des nombres réels est dit avoir "la puissance du continu" de par le fait qu'il est indénombrable.

Remarque: Nous supposerons intuitif pour le lecteur que tout nombre réel peut être approché infiniment près par un nombre rationnel (pour les nombres irrationnels il suffit de s'arrêter à un nombre de décimales données et d'en trouver le rationnel correspondant). Les mathématiciens disent alors que equation est "dense" dans equation et notent cela :

equation   (2.51)

2.5.1. NOMBRES TRANSFINIS

Nous nous retrouvons donc avec un "infini" des nombres réels qui est différent de celui des nombres naturels. Cantor osa alors ce que personne n'avait osé depuis Aristote : la suite des entiers positifs est infinie, l'ensemble equation , est donc un ensemble qui  a une infinité dénombrable d'éléments, alors il affirma que le cardinal (cf. chapitre de Théorie Des Ensembles) de cet ensemble était un nombre qui existait comme tel sans que l'on utilise le symbole fourre tout equation, il le nota:

equation   (2.52)

Ce symbole est la première lettre de l'alphabet hébreu, qui se prononce "aleph zéro". Cantor allait appeler ce nombre étrange, un nombre "transfini".

L'acte décisif est d'affirmer qu'il y a, après le fini, un transfini, c'est-à-dire une échelle illimitée de modes déterminés qui par nature sont infinis, et qui cependant peuvent êtres précisés, tout comme le fini, par des nombres déterminés, bien définis et distinguables les uns des autres !!

Après ce premier coup d'audace allant à l'encontre de la plupart des idées reçues depuis plus de deux mille ans, Cantor allait poursuivre sa lancée et établir des règles de calcul, paradoxales à première vue, sur les nombres transfinis. Ces règles se basaient, comme nous l'avons précisé tout à l'heure, sur le fait que deux ensembles infinis sont équivalents s'il existe une bijection entre les deux ensembles.

Ainsi, nous pouvons facilement montrer que l'infini des nombres pairs est équivalent à l'infini des nombres entiers : pour cela, il suffit de montrer qu'à chaque nombre entier, nous pouvons associer un nombre pair, son double, et inversement.

Ainsi, même si les nombres pairs sont inclus dans l'ensemble des nombres entiers, il y en a une infinité equation égal, les deux ensembles sont donc équipotents. En affirmant qu'un ensemble peut être égal à une de ses parties, Cantor va à l'encontre ce qui semblait être une évidence pour Aristote et Euclide: l'ensemble de tous les ensembles est infini ! Cela va ébranler la totalité des mathématiques et va amener à l'axiomatisation de Zermelo-Frankel que nous verrons dans le chapitre de Théorie Des Ensembles.

A partir de ce qui précède, Cantor établit les règles de calculs suivants sur les cardinaux:

equation   (2.53)

À première vue ces règles semblent non intuitives mais en fait elles le sont bien! En effet, Cantor définit l'addition de deux nombres transfinis comme le cardinal de l'union disjointe des ensembles correspondants.

exemple Exemples:

E1. En notant donc equation le cardinal de equation nous avons equation qui est équivalent à dire que nous sommons le cardinal de equation union disjointe equation. Or equation union disjointe equation est équipotent à equation doncequation (il suffit pour s'en convaincre de prendre l'ensembles des entiers pairs et impairs tout deux dénombrables dont l'union disjointe est dénombrable).

E2. Autre exemple trivial : equation correspond au cardinal de l'ensemble equation union un point. Ce dernier ensemble est encore équipotent à equation donc equation.

Nous verrons également lors de notre étude du chapitre de Théorie Des Ensembles que le concept de produit cartésien de deux ensembles dénombrables est tel que nous ayons :

equation   (2.54)

et donc :

equation   (2.55)

De même (cf. chapitre de Théorie Des Ensembles), puisque equation nous avons:

equation   (2.56)

et en identifiant equation à equation (rapport d'un numérateur sur un dénominateur), nous avons immédiatement:

equation   (2.57)

Nous pouvons d'ailleurs démontrer un énoncé intéressant : si nous considérons le cardinal de l'ensemble de tous les cardinaux, il est nécessairement plus grand que tous les cardinaux, y compris lui-même (il vaut mieux avoir lu le chapitre de Théorie Des Ensembles au préalable)! En d'autres termes: le cardinal de l'ensemble de tous les ensembles de A est plur grand que le cardinal de A lui-même.

Ceci implique qu'il n'existe aucun ensemble qui contient tous les ensembles puisqu'il en existe toujours un qui est plus grand (c'est une forme équivalent du fameux ancien paradoxe de Cantor).

Dans un langage technique cela revient à considérer un ensemble non vide A et alors d'énoncer que:

equation   (2.58)

equation est l'ensemble des parties de A (voir le chapitre de Théorie des Ensembles pour le calcul général du cardinal de l'ensemble des parties d'un ensemble dénombrable).

C'est-à-dire par définition de la relation d'ordre < (strictement inférieur), qu'il suffit de montrer qu'il n'existe pas d'application surjectiveequation, en d'autres termes qu'à chaque élément de l'ensemble des parties de A il ne correspond pas au moins une pré-image dans A.

Remarque: equation est par exemple constitué de l'ensemble des nombres impairs, pairs, premiers, et l'ensemble des naturels, ainsi que l'ensemble vide lui-même, etc. equation est donc l'ensemble de toutes les "patates" (pour emprunter le vocabulaire de la petite école...) possibles qui forment equation .

Démonstration (par l'absurde):

L'idée maintenant est de supposer que nous pouvons numéroter chacune des patates de equation avec au moins un élément de A (imaginez cela avec equation ou allez voir l'exemple dans le chapitre de Théorie Des Ensembles). En d'autres termes cela revient à suppoer que equation est surjective et considérons un sous-ensemble E de A tel :

equation   (2.59)

c'est-à-dire l'ensemble d'éléments x de A qui n'appartiennent pas à l'ensemble numéro x (l'élément x n'appartient pas à la patate qu'il numérote... en d'autres termes).

Or, si f est surjective il doit alors exister aussi un equation pour ce sous-ensemble E tel que :

equation   (2.60)

puisque E est aussi une partie de A.

Si equation alors equation mais de par la définition de E , equation et nous avons donc une absurdité de par l'hypothèse de la surjectivité!

equationC.Q.F.D.


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