2.3. Nombres RATIONNELS



Les nombres en mathématique

1. Bases numériques

2. Types de nombres

2.1. Nombres entiers

2.1.1. Axiomes de Peano

2.1.2. Nombres pairs, impairs et parfaits

2.1.3. Nombres premiers

2.2. Nombres entiers relatifs

2.3. Nombres rationnels

2.4. Nombres irrationnels

2.5. Nombres réels

2.5.1. Nombres transfinis

2.6. Nombres complexes

2.6.1. Transformations dans le plan

2.7. Nombres quaternions

2.7.1. Interprétation matricielle

2.7.2. Rotations

2.8. Nombres algébriques et transcendants

2.9. Nombres abstraits

2.9.1. Alphabet Grec

2.9.2. Domaine de définition

L'ensemble equation à aussi un défaut. Ainsi, la division de deux nombres dans equation n'a également pas toujours un résultat dans equation (les nombres fractionnaires n'y existent pas). Nous disons alors dans le langage de la théorie des ensembles que: la division n'est pas une opération interne dans equation.

Nous pouvons ainsi définir un nouvel ensemble qui contient tous les nombres qui peuvent s'écrire sous forme de "fraction", c'est-à-dire du rapport d'un dividende et d'un diviseur. Quand un nombre peut se mettre sous cette forme, nous disons que c'est une "nombre fractionnaire":

equation   (2.31)

Une fraction peut être employée pour exprimer une partie, ou une part, de quelque chose
(d'un objet, d^'une distance, d'un terrain, d'une somme d'argent…).

Par définition, "l'ensemble des nombres rationnels" est donné par:

equation   (2.32)

et où p et q sont des entiers sans facteurs communs (autrement dit la fraction p/q est écrite sous forme irréductible).

Nous supposerons par ailleurs comme évident que :

equation   (2.33)

La logique de la création de l'ensemble des nombres rationnels est similaire à celle des entiers relatifs. Effectivement, les mathématiciens ont souhaité faire de l'ensemble des nombres relatifs un "groupe" par rapport à la loi de multiplication et de division (cf. chapitre de Théorie Des Ensembles).

De plus, contrairement à l'intuition, l'ensemble des nombres entiers et nombres rationnels sont équipotents. Nous pouvons nous persuader de cette équipotence en rangeant comme le fit Cantor, les rationnels dans un premier temps de la façon suivante:

equation
  (2.34)

Ce tableau est construit de telle manière que chaque rationnel n'apparaît qu'une seule fois (au sens de sa valeur décimale) par diagonale d'où le nom de la méthode : "diagonale de Cantor".

Si nous éléminons de chaque diagonale les rationnels qui apparaissent plus d'une fois (les "fractions équivalentes") pour ne garder plus que ceux qui sont irréductibles (donc ceux dont le PGCD du numérateur et dénominateur est égal à 1), nous pouvons alors ainsi grâce à cette distinction définir une application equation qui est injective (deux rationnels distincts admettent des rangs distincts) et surjective (à toute place sera inscrit un rationnel). 

L'application f est donc bijective: equation et equation sont donc bien équipotents !

La définition un peu plus rigoureuse (et donc moins sympathique) de equation se fait à partir de equation en procédant comme suit (il est intéressant d'observer les notations utilisées) :

Sur l'ensemble equation, qu'il faut lire comme étant l'ensemble construit à partir de deux éléments entiers relatifs dont on exclut le zéro pour le deuxième, on considère la relation R entre deux couples d'entiers relatifs définie par :

equation   (2.35)

Nous vérifions facilement ensuite que R est une relation d'équivalence (cf. chapitre sur les Opérateurs) sur equation.

L'ensemble des classes d'équivalences pour cette relation R noté alors equationest par définition equation. C'est-à-dire que nous posons alors plus rigoureusement :

equation   (2.36)

La classe d'équivalence de equation est explicitement notée par:

equation   (2.37)

conformément à la notation que tout le monde a l'habitude d'employer.

Nous vérifions facilement que l'addition et la multiplication qui étaient des opérations définies sur equation passent sans problèmes à equation en posant :

equation   (2.38)

De plus ces opérations munissent equation d'une structure de corps (cf. chapitre de Théorie Des Ensembles) avec equation comme élément neutre additif et equation comme élément neutre multiplicatif. Ainsi, tout élément non nul de equation est inversible, en effet :

equation   (2.39)

ce qui s'écrit aussi plus techniquement :

equation   (2.40)

Remarque: Même si nous aurions envie de définir equation comme étant l'ensemble equationequation représente les numérateurs et equation les dénominateurs des rationnels, ceci n'est pas possible car autrement nous aurions par exemple equation tandis que nous nous attendons à une égalité.

D'où le besoin d'introduire une relation d'équivalence qui nous permet d'identifier, pour revenir à l'exemple précédent, (1,2) et (2,4). La relation R que nous avons définie ne tombe pas du ciel, en effet le lecteur qui a manipulé les rationnels jusqu'à présent sans jamais avoir vu leur définition formelle sait que :

equation   (2.41)

Il est donc naturel de définir la relation R comme nous l'avons fait. En particulier, en ce qui concerne l'exemple ci-dessus, equation car (1,2)R(2,4) et le problème est résolu.

Outre les circonstances historiques de sa mise en place, ce nouvel ensemble se distingue des ensembles d'entiers relatifs car il induit la notion originale et paradoxale de quantité partielle. Cette notion qui à priori n'a pas de sens, trouvera sa place dans l'esprit de l'homme notamment grâce à la géométrie où l'idée de fraction de longueur, de proportion s'illustre plus intuitivement.

2.4. Nombres IRRATIONNELS

L'ensemble des rationnels equation est limité et non suffisant lui aussi. Effectivement, nous pourrions penser que tout calcul mathématique numérique avec les opérations communément connues se réduisent à cet ensemble mais ce n'est pas le cas.

exemple Exemples :

E1. Prenons le calcul de la racine carrée de deux que nous noterons equation . Supposons que cette dernière racine soit un rationnel. Alors s'il s'agit bien d'un rationnel, nous devrions pouvoir l'exprimer comme a/b, où par de par la définition d'un rationnel a et b sont des entiers sans facteurs commun. Pour cette raison, a et b ne peuvent tous les deux êtres pairs. Il y a trois possibilités restantes :

1. a est impair (b est alors pair)

2. a est pair (b est alors impair)

3. a est impair (b est alors impair)

En mettant au carré, nous avons :

 equation  (2.42)

qui peut s'écrire : 

equation   (2.43)

Puisque le carré d'un nombre impair est impair et le carré d'un nombre pair est pair, le cas (1) est impossible, car equation serait impair et equation serait pair.

Le cas (2) est aussi est aussi impossible, car alors nous pourrions écrire equation, où c est un entier quelconque, et donc si nous le portons au carré nous avons equation où nous avons un nombre pair des deux côtés de l'égalité. En remplaçant dans equation nous obtenons après simplification queequation. equation serait impair alors que equation serait pair.

Le cas (3) est aussi impossible, car equation est donc alors impaire et equation est pair (que b soit pair ou impaire!).

Il n'y a pas de solution! C'est donc que l'hypothèse de départ est fausse et qu'il n'existe pas deux entiers a et b tels que equation.

E2. Démontrons, aussi par l'absurde, que le fameux nombre d'Euler e est irrationnel. Pour cela, rappelons que e (cf. chapitre d'Analyse Fonctionnelle) peut aussi être défini par la série de Taylor (cf. chapitre sur les Suites Et Séries):

equation   (2.44)

Alors si e est rationnel, il doit pouvoir s'écrire sous la forme p/q (avec equation, car nous savons que e n'est pas entier). Multiplions les deux côtés de côtés de l'égalité par q! :

equation   (2.45)

Le premier membre q!e serait alors un entier, car par définition de la factorielle:

equation   (2.46)

est un entier.

Les premiers termes du seconde membre de la relation antéprécédente, jusqu'au terme q!/q!=1 sont aussi des entiers car q!/m! se simplifie si q>m. Donc par soustraction nous trouvons :

equation   (2.47)

où la série à droite devrait aussi être un entier!

Après simplification, le second membre de l'égalité devient :

equation   (2.48)

le premier terme de cette somme est strictement inférieur à 1/2, le deuxième inférieur à 1/4, le troisième inférieur à 1/8, etc.

Donc, vu que chaque terme est strictement inférieur aux termes de la série harmonique suivante qui converge vers 1:

1/2+1/4+1/8+...=1   (2.49)

alors par conséquent, la série n'est pas un entier puisque étant strictement inférieure à 1. Ce qui constitue une contradiction!

Ainsi, les nombres rationnels ne satisfont pas à l'expression numérique de equation comme de e (pour citer seulement ces deux exemples particuliers).

Il faut donc les compléter par l'ensemble de tous les nombres qui ne peuvent s'écrire sous forme de fraction (rapport d'un dividende et d'un diviseur entiers sans facteurs communs) et que nous appelons des "nombres irrationnels".


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