2.7. NOMBRES QUATERNIONS



Les nombres en mathématique

1. Bases numériques

2. Types de nombres

2.1. Nombres entiers

2.1.1. Axiomes de Peano

2.1.2. Nombres pairs, impairs et parfaits

2.1.3. Nombres premiers

2.2. Nombres entiers relatifs

2.3. Nombres rationnels

2.4. Nombres irrationnels

2.5. Nombres réels

2.5.1. Nombres transfinis

2.6. Nombres complexes

2.6.1. Transformations dans le plan

2.7. Nombres quaternions

2.7.1. Interprétation matricielle

2.7.2. Rotations

2.8. Nombres algébriques et transcendants

2.9. Nombres abstraits

2.9.1. Alphabet Grec

2.9.2. Domaine de définition

Appelés aussi "hypercomplexes", les nombres quaternions ont été inventés en 1843 par William Rowan Hamilton pour généraliser les nombres complexes.

Définition: Un quaternion est un élément equation et dont nous notons equation l'ensemble qui le contient et que nous appelons "ensemble des quaternions".

Un "quaternion" peut aussi bien être représenté en ligne ou en colonne tel que :

equation   (2.160)

Nous définissons la somme de deux quaternions (a,b,c,d) et (a',b',c',d') par :

equation   (2.161)

Il est évident (du moins nous l'espérons pour le lecteur) que equation est un groupe commutatif (cf. chapitre de Théorie Des Ensembles), d'élément neutre (0,0,0,0), l'opposé d'un élément (a,b,c,d) étant (-a,-b,-c,-d)

Remarque: C'est l'addition naturelle dans equation vu comme equation-espace vectoriel (cf. chapitre de Théorie Des Ensembles).

L'associativité se vérifie en appliquant les propriétés correspondantes des opérations sur equation.

Nous définissons également la multiplication :

equation   (2.162)

de deux quaternions (a,b,c,d) et (a ',b ',c 'd ') par l'expression :

equation   (2.163)

C'est peut-être difficile à accepter mais nous verrons un peu plus loin qu'il y a un air de famille avec les nombres complexes.

Nous pouvons remarquer que la loi de multiplication n'est pas commutative. Effectivement, en prenant la définition de la multiplication ci-dessous, nous avons:

equation   (2.164)

Mais nous pouvons remarquer que :

equation   (2.165)

Remarque: La loi de multiplication est distributive avec la loi d'addition mais c'est un excellent exemple où il faut quand même prendre garde à démontrer la distributivité à gauche et à droite, puisque le produit n'est pas commutatif !

La multiplication à pour élément neutre:

(1,0,0,0)   (2.166)

Effectivement :

equation   (2.167)

Tout élément:

equation   (2.168)

est inversible.

En effet, si (a,b,c,d) est un quaternion non nul, nous avons alors nécessairement:

equation   (2.169)

sinon les quatre nombres a, b, c, d sont de carré nul, donc tous nuls. Soit alors le quaternion equation défini par :

equation   (2.170)

alors en appliquant machinalement la définition de la multiplication des quaternions, nous vérifions que :

equation   (2.171)

ce dernier quaternion est donc l'inverse pour la multiplication!

Montrons maintenant (pour la culture générale) que le corps des complexes equation est un sous-corps de equation.

Remarque: Nous aurions pu mettre cette démonstration dans le chapitre de Théorie Des Ensembles car nous faisons usage de beaucoup de concepts qui y sont vus mais il nous a semblé un peu plus pertinent de la mettre ici.

Soit equation l'ensemble des quaternions de la forme (a,b,0,0). Si equation est non vide, et si (a,b,0,0), (a',b',0,0) sont des éléments de equation alors equation est un corps. Effectivement :

P1. Pour la soustraction (et donc l'addition):

equation   (2.172)

P2. La multiplication:

equation   (2.173)

P3. L'élément neutre:

equation   (2.174)

P4. Et finalement l'inverse:

equation   (2.175)

de (a,b,0,0) est encore dans equation.

Donc equation est un sous-corps de equation. Soit alors l'application :

equation   (2.176)

f est bijective, et nous vérifions aisément que pour tous complexes equation, nous avons :

equation   (2.177)

Donc f est un isomorphisme de equation sur equation.

Cet isomorphisme a pour intérêt (provoqué) d'identifier equation à equation et d'écrire equation, les lois d'addition et de soustraction sur equation prolongeant les opérations déjà connues sur equation.

Ainsi, par convention, nous écrirons tout élément de (a,b,0,0) de equation sous la forme complexe a+ib. En particulier 0 est l'élément (0,0,0,0), 1 l'élément (1,0,0,0) et i l'élément (0,1,0,0).

Nous notons par analogie et par extension j l'élément (0,0,1,0) et k l'élément (0,0,0,1). La famille {1,i,j,k} forme une base de l'ensemble des quaternions vu comme un espace vectoriel sur equation., et nous écrirons ainsi equation le quaternion (a,b,c,d).

La notation des quaternions sous forme définie avant est parfaitement adaptée à l'opération de multiplication. Pour le produit de deux quaternions nous obtenons en développant l'expression :

equation   (2.178)

16 termes que nous devons identifier à la définition d'origine de la multiplication des quaternions pour obtenir les relations suivantes :

equation   (2.179)

Ce qui peut se résumer dans un tableau :

·

1

i

j

k

1

1

i

j

k

i

i

-1

k

-j

j

j

-k

-1

i

k

k

j

-i

-1

Tableau: 2.4  - Multiplication des composantes d'un quaternion

Nous pouvons constater que l'expression de la multiplication de deux quaternions ressemble en partie beaucoup à un produit vectoriel (noté equation sur ce site) et scalaire (noté equation sur ce site) :

equation   (2.180)

Si ce n'est pas évident (ce qui serait tout à fait compréhensible), faisons un exemple concret.

exemple Exemple :

Soient deux quaternions sans partie réelle :

equation   (2.181)

et equation les vecteurs de equation de coordonnées respectives (x, y, z) et (x', y', z'). Alors le produit :

equation   (2.182)

est :

equation

Nous pouvons aussi par curiosité nous intéresser au cas général... Soient pour cela deux quaternions:

equation   (2.183)

Nous avons alors :

equation   (2.184)

Définition: Le centre du corps non-commutatif equation est l'ensemble des éléments de equation commutant pour la loi de multiplication avec tous les éléments de equation.

Nous allons montrer que le centre de equation est l'ensemble des réels!

Soit equation le centre de equation, et (x, y, z, t) un quaternion. Nous devons avoir les conditions suivantes qui soient satisfaites :

Soit equation alors pour tout equation nous cherchons :

equation   (2.185)

ce qui donne en développant :

equation   (2.186)

après simplification (la première ligne du système précédent est nulle des deux côtés de l'égalité) :

equation   (2.187)

la résolution de ce système, nous donne :

equation   (2.188)

Donc pour que le quaternion (x, y, z, t) soit le centre de equation il doit être réel (sans parties imaginaires)!

Au même titre que pour les nombres complexes, nous pouvons définir un conjugué des quaternions :

Définition: Le conjugué d'un quaternion equation est le quaternion equation

Au même titre que pour les complexes, nous remarquons que :

1. D'abord de manière évidente que si equation alors cela signifie que equation.

2. Que equation

3. Qu'en développant le produit equation nous avons :

equation   (2.189)

que nous adopterons, par analogie avec les nombres complexes, comme une définition de la norme (ou module) des quaternions tel que :

equation   (2.190)

Dès lors nous avons aussi immédiatement (relation qui nous sera utile plus tard):

equation   (2.191)

Comme pour les nombres complexes (voir plus loin), il est aisé de montrer que la conjugaison est un automorphisme du groupe equation.

Effetivement, soient equation et equation alors :

equation   (2.192)

Il est aussi aisé de montrer qu'elle est involutive. Effectivement :

equation   (2.193)

La conjugaison n'est par contre pas un automorphisme multiplicatif du corps equation. En effet, si nous considérons la multiplication de Z, Z' et en prenons le conjugué :

equation   (2.194)

nous voyons immédiatement (ne serait-ce que pour la deuxième ligne) que nous avons:

equation   (2.195)

Revenons maintenant sur notre norme (ou module).... Pour cela, calculons le carré de la norme de equation :

equation   (2.196)

Nous savons (par définition) que :

equation   (2.197)

notons ce produit de manière telle que :

equation   (2.198)

Nous avons alors :

equation   (2.199)

en substituant il vient :

equation   (2.200)

après un développement algébrique élémentaire (honnêtement ennuyeux), nous trouvons :

equation   (2.201)

Donc :

equation   (2.202)

Remarque: La norme est donc un homomorphisme de equation dans equation. Par la suite, nous noterons G l'ensemble des quaternions de norme 1.

2.7.1. INTERPRETATION MATRICIELLE

Soit q et p deux quaternions donnés, soit l'application:

equation

La multiplication (à gauche) peut être faite avec une application linéaire (cf. chapitre d'Algèbre Linéaire) sur equation.

Si q s'écrit:

equation   (2.203)

cette application a pour matrice, dans la base 1, i, j, k :

equation   (2.204)

Ce que nous vérifions bien :

equation   (2.205)

En fait, nous pouvons alors définir les quaternions comme l'ensemble des matrices ayant la structure visible ci-dessus si nous le voulions. Cela les réduirait alors à un sous espace vectoriel de equation.

En particulier, la matrice de 1 (la partie réelle du quaternion q) n'est alors rien d'autre que la matrice identité :

equation   (2.206)

de même :

equation   (2.207)

2.7.2. ROTATIONS

Nous allons maintenant voir que la conjugaison par un élément du groupe G des quaternions de norme unité peut s'interpréter comme une rotation pure dans l'espace!

Définition: La "conjugaison" par un quaternion q non nul et de norme unité est l'application equation définie sur equation par :

equation   (2.208)

et nous affirmons que cette application est une rotation.

Remarques:

R1. Comme q est de norme 1, nous avons bien évidemment equation donc equation. Ce quaternion peut être vu comme la valeur propre (unitaire) de l'application (matricielle) p sur le vecteur equation (on se retrouve avec un concept en tout point similaire aux matrices orthogonales de rotation vues en algèbre linéaire).

R2. equation est une application linéaire (donc si c'est bien une rotation, la rotation peut être décomposée en plusieurs rotations). Effectivement, prenons deux quaternions equation et equation des réels, alors nous avons :

equation   (2.209)

Vérifions maintenant que l'application est bien une rotation pure. Comme nous l'avons vu lors de notre étude de l'algèbre linéaire et en particulier des matrices orthogonales (cf. chapitre d'Algèbre Linéaire), une première condition est que l'application conserve la norme.

Vérifions :

equation   (2.210)

Par ailleurs, nous pouvons vérifier qu'une rotation d'un quaternion purement complexe (tel qu'alors nous nous restreignons à equation) et la même rotation inverse sommées est nul (le vecteur sommé à son opposé s'annulent) :

equation   (2.211)

nous vérifions trivialement que si nous avons deux quaternions q,p alors equation dès lors :

equation   (2.212)

pour que cette opération soit nulle, nous voyons immédiatement que nous devons restreindre p aux quaternions purement complexes. Dès lors :

equation   (2.213)

Nous en déduisons alors que p doit être purement complexe pour que l'application equation soit une rotation et que equation est un quaternion pur. En d'autres termes, cette application est stable (en d'autres termes : un quaternion pur par cette application reste un quaternion pur).

equation restreint à l'ensemble des quaternions est donc une isométrie vectorielle, c'est-à-dire une symétrie ou une rotation.

Nous avons vu également lors de notre étude des matrices de rotation dans le chapitre d'Algèbre Linéaire que l'application A devait être de déterminant 1 pour que nous ayons une rotation. Voyons si c'est le cas de equation :

Pour cela, nous calculons explicitement en fonction de :

equation   (2.214)

la matrice (dans la base canonique equation) de equation et nous en calculons le déterminant. Ainsi, nous obtenons les coefficients des colonnes de A en se rappelant que :

equation   (2.215)

et ensuite en calculant :

equation   (2.216)

Il faut alors calculer le déterminant de la matrice (pfff...) :

equation
  (2.217)

en se souvenant que (ce qui permet aussi de simplifier l'expression des termes de la diagonale comme nous pouvons le voir dans certains ouvrages):

equation   (2.218)

nous trouvons que le déterminant vaut bien 1. Sinon, nous pouvons vérifier cela avec Maple:

>with(linalg):
> A:=linalg[matrix](3,3,[a^2+b^2-c^2-d^2,2*(a*d+b*c),2*(b*d-a*c),2*(b*c-a*d),a^2-b^2+c^2-d^2,2*(a*b+c*d),2*(a*c+b*d),2*(c*d-a*b),a^2-b^2-c^2+d^2]);
> factor(det(A));

Montrons maintenant que cette rotation est un demi-tour d'axe (l'exemple qui peut sembler particulier est général!) :

D'abord, si:

equation   (2.219)

nous avons :

equation   (2.220)

ce qui signifie que l'axe de rotation (x, y, z) est fixé par l'application equation elle-même !

D'autre part, nous avons vu que si q est un quaternion purement complexe de norme 1 alors equation et aussi equation. Ce qui nous donne la relation:

equation   (2.221)

Ce résultat nous amène à calculer la rotation d'une rotation :

equation   (2.222)

Conclusion : Puisque la rotation d'une rotation est un tour complet, alors equation est nécessairement un demi-tour equation par rapport (!) à l'axe (x, y, z).

A ce stade, nous pouvons affirmer que toute rotation de l'espace peut se représenter par equation (la conjugaison par un quaternion q de norme 1). En effet, les demi-tours engendrent le groupe des rotations, c'est-à-dire que toute rotation peut s'exprimer comme le produit d'un nombre fini de demi-tours, et donc comme la conjugaison par un produit de quaternions de norme 1 (produit qui est lui-même un quaternion de norme 1 ...).

Nous allons tout de même donner une forme explicite reliant une rotation et le quaternion qui la représente, au même titre que nous l'avons fait pour les nombres complexes.

Soit equation un vecteur unitaire et equation un angle. Alors nous affirmons que la rotation d'axe equation et d'angle equation correspond à l'application equation, où q est le quaternion :

equation   (2.223)

Pour que cette affirmation soit vérifiée, nous savons qu'il faut que : la norme de q soit unitaire, le déterminant de l'application equation soit égal à l'unité, que l'application equation conserve la norme, que l'application equation renvoie tout vecteur colinéaire à l'axe de rotation sur l'axe de rotation.

1. La norme du quaternion proposé précédemment vaut effectivement 1 :

equation   (2.224)

2. Le fait que q soit un quaternion de norme 1 amène immédiatement à ce que le déterminant de l'application equation soit unitaire. Nous l'avons déjà montré plus haut dans le cas général de n'importe quel quaternion de norme 1 (condition nécessaire et suffisante).

3. Il en est de même pour la conservation de la norme. Nous avons déjà montré plus haut que c'était de toute façon le cas dès que le quaternion q était de norme 1 (condition nécessaire et suffisante).

4. Voyons maintenant que tout vecteur colinéaire à l'axe de rotation est projeté sur l'axe de rotation. Notons q' le quaternion purement imaginaire et unitaireequation. Nous avons alors :

equation   (2.225)

Alors:

equation   (2.226)

mais comme q' est la restriction de q à ces éléments purs qui le constituent, cela revient à écrire:

equation   (2.227)

Montrons maintenant le choix de l'écriture equation. Si equation désigne un vecteur unitaire orthogonal à equation (perpendiculaire à l'axe de rotation donc), et p le quaternion equation alors nous avons :

equation   (2.228)

Nous avons montré lors de la définition de la multiplication de deux quaternions que equation. Nous obtenons alors :

equation   (2.229)

Nous avons également montré que:

equation   (2.230)

(le demi-tour d'axe (x, y, z)). Donc :

equation   (2.231)

Remarque: Nous commençons à entrevoir ici déjà l'utilité d'avoir écrit dès le début equation pour l'angle.

Nous savons que p est le quaternion pur assimilé à un vecteur unitaire equation orthogonal à l'axe de rotation equation, lui-même assimilé à la partie purement imaginaire de q'. Nous remarquons alors de suite que la partie imaginaire du produit (défini!) des quaternions equation est alors égal au produit vectoriel equation. Ce produit vectoriel engendre donc un vecteur perpendiculaireà equation et donc equation.

Le couple equation forme donc un plan perpendiculaire à l'axe de rotation equation (c'est comme pour les nombres complexes simples dans lequel nous avons le plan de Gauss et perpendiculairement à celui-ci un axe de rotation!).

Alors finalement :

equation   (2.232)

Nous nous retrouvons avec une rotation dans le plan identique à celle présentée plus haut avec les nombres complexes normaux dans le plan de Gauss.

Nous savons donc maintenant comment faire n'importe quel type de rotation dans l'espace en une seule opération mathématique et ce en plus par rapport à un libre choix de l'axe !

Nous pouvons aussi maintenant mieux comprendre pourquoi l'algèbre des quaternions n'est pas commutative. Effectivement, les rotations vectorielles du plan sont commutatives mais celles de l'espace ne le sont pas comme nous le montre l'exemple ci-dessous :

Soit la configuration initiale :

equation   (2.233)

Alors une rotation autour de l'axe X suivie d'une rotation autour de l'axe Y :

equationequation   (2.234)

n'est pas égale à une rotation autour de l'axe Y suivie d'une rotation autour de l'axe X :

equationequation   (2.235)

Les résultats obtenus seront fondamentaux pour notre compréhension des spineurs (cf. chapitre de Calcul Spinoriel) !


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