2.8. NOMBRES ALGÉBRIQUES ET TRANSCENDANTS



Les nombres en mathématique

1. Bases numériques

2. Types de nombres

2.1. Nombres entiers

2.1.1. Axiomes de Peano

2.1.2. Nombres pairs, impairs et parfaits

2.1.3. Nombres premiers

2.2. Nombres entiers relatifs

2.3. Nombres rationnels

2.4. Nombres irrationnels

2.5. Nombres réels

2.5.1. Nombres transfinis

2.6. Nombres complexes

2.6.1. Transformations dans le plan

2.7. Nombres quaternions

2.7.1. Interprétation matricielle

2.7.2. Rotations

2.8. Nombres algébriques et transcendants

2.9. Nombres abstraits

2.9.1. Alphabet Grec

2.9.2. Domaine de définition

Définitions:

D1. Nous appelons "nombre entier algébrique de degré n", tout nombre qui est solution d'une équation algébrique de degré n, à savoir: un polynôme de degré n (concept que nous aborderons dans la section d'Algèbre) dont les coefficients sont des entiers relatifs et dont le coefficient dominant vaut 1.

D2. Nous appelons "nombre algébrique de degré n", tout nombre qui est solution d'une équation algébrique de degré n, à savoir: un polynôme de degré n dont les coefficients sont des rationnels.

Un premier résultat intéressant et particulier dans ce domaine d'étude (curiosité mathématique...) est qu'un nombre rationnel est un "nombre entier algébrique de degré n" si et seulement si c'est un entier relatif (lisez plusieurs fois au besoin...). En termes savants, nous disons alors que l'anneau equation est "intégralement clos".

Démonstration:

Nous supposons que le nombre p/q, où p et q sont deux entiers premiers entre eux (c'est-à-dire dont le rapport ne donne pas un entier ou plus rigoureusement... que le plus petit dénominateur commun est 1!), est une racine du polynôme (cf. chapitre de Calcul Algébrique) suivant à coefficients entiers relatifs et dont le coefficient dominant est unitaire:

equation   (2.236)

où l'égalité avec zéro du polynôme est implicite.

Dans ce cas:

equation   (2.237)

Puisque les coefficients sont par définition tous entiers et leurs multiples aussi dans la paranthèse, alors la paranthèse à nécessairement une valeur dans equation.

Ainsi, q (à droite de la paranthèse) divise une puissance de p (à gauche de l'égalité), ce qui n'est possible, dans l'ensemble equation  (car notre paranthèse a une valeur dans cet ensemble pour rappel...), que si q vaut equation (puisqu'ils étaient premiers entre eux).

Donc parmi tous les nombres rationnels, les seuls qui sont solutions d'équations polynômiales à coefficients entiers relatifs et dont le coefficient dominant est unitaire sont des entiers relatifs!

equationC.Q.F.D.

Pour prendre un autre cas intéressant et particulier, il est facile de montrer qu'absolument tout nombre rationnel est un "nombre algébrique". Effectivement, si nous prenons le plus simple polynôme suivant:

equation   (2.238)

q et p sont premiers entre eux et où q est différent de 1. Alors comme il s'agit d'une polynôme à coefficients rationnels simple, après remaniement nous avons:

equation   (2.239)

Donc puisque q et p sont premiers entre eux et que q est différent de l'unité, nous avons bien que tout nombre rationnel est un "nombre algébrique de degré 1".

Ainsi, la quantité de nombres rationnels "algébriques" est plus grand que le nombre de rationnels qui sont des "entiers algébriques".

Nous avons aussi le nombre réel (et irrationnel) equation qui est un "nombre entier algébrique de degré 2", car il est racine de:

equation   (2.240)

et le nombre complexe i qui est aussi un "nombre entier algébrique de degré 2", car il est racine de l'équation:

equation   (2.241)

etc...

Définition: Les nombres qui ne sont pas algébriques (entiers ou non!) sont transcendants.

L'ensemble de tous les nombres transcendants est non dénombrable. La preuve est simple et ne nécessite aucun développement mathématique difficile.

Effectivement, puisque les polynômes à coefficients entiers sont dénombrables, et puisque chacun de ces polynômes possède un nombre fini de zéros (voir le théorème de factorisation dans le chapitre de Calcul Algébrique), l'ensemble des nombres algébriques est dénombrable! Mais l'argument de la diagonale de Cantor (cf. chapitre de Théorie des Ensembles) établit que les nombres réels (et par conséquent les nombres complexes aussi) sont non dénombrables, donc l'ensemble de tous les nombres transcendants doit être non dénombrable.

En d'autres termes, il y a beaucoup plus de nombres transcendants que de nombres algébriques.

Les transcendants les plus connus sont equation et equation. Les démonstrations de leur transcendance est en cours de rédaction. Nous devrions pouvoir vous les fournir fin 2014.


page suivante : 2.9. Nombres abstraits