2.9. NOMBRES ABSTRAITS



Les nombres en mathématique

1. Bases numériques

2. Types de nombres

2.1. Nombres entiers

2.1.1. Axiomes de Peano

2.1.2. Nombres pairs, impairs et parfaits

2.1.3. Nombres premiers

2.2. Nombres entiers relatifs

2.3. Nombres rationnels

2.4. Nombres irrationnels

2.5. Nombres réels

2.5.1. Nombres transfinis

2.6. Nombres complexes

2.6.1. Transformations dans le plan

2.7. Nombres quaternions

2.7.1. Interprétation matricielle

2.7.2. Rotations

2.8. Nombres algébriques et transcendants

2.9. Nombres abstraits

2.9.1. Alphabet Grec

2.9.2. Domaine de définition

Le nombre peut être envisagé en faisant abstraction de la nature des objets qui constituent le groupement qu'il caractérise et ainsi qu'à la façon de codifier (chiffre arabe, romain, ou autre système universel). Nous disons alors que le nombre est "abstrait".

Remarque: Arbitrairement, l'être humain a adopté un système numérique majoritairement utilisé de par le monde et représenté par les symboles 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9 du système décimal et qui seront supposés connus aussi bien en écriture qu'oralement par le lecteur (apprentissage du langage).

Pour les mathématiciens, il n'est pas avantageux de travailler avec ces symboles car ils représentent uniquement des cas particuliers. Ce que cherchent les physiciens théoriciens ainsi que les mathématiciens, se sont des "relations littérales" applicables dans un cas général et que les ingénieurs puissent en fonction de leurs besoins changer ces nombres abstraits par les valeurs numériques qui correspondent au problème qu'ils ont besoin de résoudre. 

Ces nombres abstraits appelés aujourd'hui communément "variables" ou "inconnues" et utilisées dans le cadre du "calcul littéral" sont très souvent représentés par:

1. L'alphabet latin :

a, b, c, d, e...x, y, z ; A, B, C, D, E...   (2.242)

où Les lettres minuscules du début l'alphabet latin (a, b, c, d, e...) sont souvent utilisées pour représenter de manière abstraite des constantes, alors que les lettres minuscules de la fin de l'alphabet latin (...x, y, z) sont utilisées pour représenter des entités (variables ou inconnues) dont nous recherchons la valeur.

2. L'alphabet grec :

equation

Alpha

equation

Lambda

equation

Beta

equation

Mu

equation

Gamma

equation

Nu

equation

Delta

equation

Xi

equation

Epsilon

equation

Omicron

equation

Zeta

equation

Pi

equation

Eta

equation

Rho

equation

Theta

equation

Sigma

equation

Iota

equation

Tau

equation

Kappa

equation

Upsilon

equation

Phi

equation

Chi

equation

Psi

equation

Omega

Tableau: 2.5  - Alphabet Grec

qui est particulièrement utilisé pour représenter soit des opérateurs mathématiques plus ou moins complexes (comme la somme indexée equation, le variationnel equation, l'élément infinitésimal equation, le différentiel partiel equation, etc.) soit des variables dans le domaine de la physique (comme equation pour la pulsation, la fréquence v, la densité equation, etc.).

3. L'alphabet hébraïque (à moindre mesure)

Remarque: Comme nous l'avons vu, les nombres transfinis sont par exemples donnés par la lettre equation "aleph".

Bien que ces symboles puissent représenter n'importe quel nombre il en existe quelques uns qui peuvent représenter en physique des valeurs dites "constantes Universelles" comme la vitesse de la lumière c, la constante gravitationnelle G, la constante de Planck h, etc.

Nous utilisons très souvent encore d'autres symboles que nous introduirons et définirons au fur et à mesure.

Remarque: Les lettres pour représenter les nombres auraient été employées pour la première fois par Viète au 16ème siècle.

2.9.2. DOMAINES DE DÉFINITION

Une variable est un nombre abstrait susceptible de prendre des valeurs numériques différentes. L'ensemble de ces valeurs peut varier suivant le caractère du problème considéré.

Définitions:

D1. Nous appelons "domaine de définition" d'une variable, l'ensemble des valeurs numériques qu'elle est susceptible de prendre entre deux valeurs finies ou infinies appelées "bornes".

Soit  a et b deux nombres tel que equation. Alors :

D2. Nous appelons "intervalle fermé d'extrémité a et b", l'ensemble de tous les nombres x compris entre ces deux valeurs comprises et nous le désignons de la façon suivante : 

equation   (2.243)

D3. Nous appelons "intervalle ouvert d'extrémité a et b", l'ensemble de tous les nombres x compris entre ces deux valeurs non comprises et nous le désignons de la façon suivante: 

equation   (2.244)

D4. Nous appelons "intervalle fermé à gauche, ouvert à droite" l'ensemble suivant:

equation   (2.245)

D5. Nous appelons "intervalle ouvert à gauche, fermé à droite" l'ensemble suivant:

equation   (2.246)

Soit sous forme résumée et imagée:

[a,b]

equation

equation

Intervalle fermé borné

[a,b[

equation

equation

Intervalle borné semi-fermé en a et semi-ouvert en b (ou semi-fermé à gauche et semi-ouvert à droite)

]a,b]

equation

equation

Intervalle borné semi-ouvert en a et semi-fermé en b (ou semi-ouvert à gauche et semi-fermé à droite)

]a,b[

equation

equation

Intervalle ouvert borné.

]-equation,b]

equation

equation

Intervalle non borné fermé en b (ou fermé à droite)

]-equation,b[

equation

equation 

Intervalle non borné ouvert en b (ou ouvert à droite)

[a ,+equation [

equation

equation

Intervalle non borné fermé en a (ou fermé à gauche)

]a,+equation [

equation

equation

Intervalle non borné ouvert en a (ou ouvert à gauche)

Tableau: 2.6  - Types d'intervalles et de bornes
Remarques:

R1. La notation {x tels que equation } désigne l'ensemble des réels x tels qui sont strictement plus grand que a et strictement inférieur à b.

R2. Le fait de dire qu'un intervalle est par exemple ouvert en b signifie que le réel b ne fait pas partie de celui-ci. Par contre, s'il y avait été fermé alors il en aurait fait partie.

R3. Si la variable peut prendre toutes les valeurs négatives et positives possibles nous écrivons dès lors:equation où le symbole "equation" signifie une "infinité". Evidemment il peut y avoir des combinaisons d'intervalles ouverts et infinis à droite, fermé et limité gauche et réciproquement.

R4. Nous rappellerons ces concepts avec une autre approche lorsque nous étudierons l'algèbre (calcul littéral).

Nous disons que la variable x est "ordonnée" si en représentant son domaine de définition par un axe horizontal où chaque point de l'axe représente une valeur de x, alors que pour chaque couple de valeurs, nous pouvons indiquer celle qui est "antécédente" (qui précède) et celle qui est "conséquente" (qui suit). Ici la notion d'antécédente ou de conséquente n'est pas liée au temps, elle exprime juste la façon d'ordonner les valeurs de la variable.

Définitions:

D1. Une variable est dite "croissante" si chaque valeur conséquente est plus grande que chaque valeur antécédente.

D2. Une variable est dite "décroissante" si chaque valeur conséquente est plus petite que chaque valeur antécédente. 

D3. Les variables croissantes et les variables décroissantes sont appelées "variables à variations monotones" ou simplement "variables monotones".