2.6. NOMBRES COMPLEXES



Les nombres en mathématique

1. Bases numériques

2. Types de nombres

2.1. Nombres entiers

2.1.1. Axiomes de Peano

2.1.2. Nombres pairs, impairs et parfaits

2.1.3. Nombres premiers

2.2. Nombres entiers relatifs

2.3. Nombres rationnels

2.4. Nombres irrationnels

2.5. Nombres réels

2.5.1. Nombres transfinis

2.6. Nombres complexes

2.6.1. Transformations dans le plan

2.7. Nombres quaternions

2.7.1. Interprétation matricielle

2.7.2. Rotations

2.8. Nombres algébriques et transcendants

2.9. Nombres abstraits

2.9.1. Alphabet Grec

2.9.2. Domaine de définition

Inventés au 16ème siècle entre autres par Jérôme Cardan et Rafaello Bombelle, ces nombres permettent de résoudre des problèmes n'ayant pas de solutions dans equation ainsi que de formaliser mathématiquement certaines transformations dans le plan tel que la rotation, la similitude, la translation, etc. Pour les physiciens, les nombres complexes constituent surtout un moyen très commode de simplifier les notations. Il est ainsi très difficile d'étudier les phénomènes ondulatoires, la relativité générale ou la mécanique quantique sans recourir aux nombres et expressions complexes.

Il existe plusieurs manières de construire les nombres complexes. La première est typique de la construction telle que les mathématiciens en ont l'habitude dans le cadre de la théorie des ensembles. Ils définissent un couple de nombres réels et définissent des opérations entre ces couples pour arriver enfin à une signification du concept de nombre complexe. La deuxième est moins rigoureuse mais son approche est plus simple et consiste à définir le nombre imaginaire pur unitaire i et ensuite de construire les opérations arithmétiques à partir de sa définition. Nous allons opter pour cette deuxième méthode.

Définitions:

D1. Nous définissons le "nombre imaginaire unitaire pur" que nous notons i par la propriété suivante :

equation   (2.61)

D2. Un "nombre complexe" est un couple d'un nombre réel a et d'un nombre imaginaire ib et s'écrit généralement sous la forme suivante : 

z = a+ib    (2.62)

a et b étant des nombres appartenant à equation.

Nous notons l'ensemble des nombres complexes equation et avons donc par construction :

equation   (2.63)

Remarque: L'ensemble equation est identifié au plan euclidien orienté E (cf. chapitre de Calcul Vectoriel) grâce au choix d'une base orthonormée directe (nous obtenons ainsi le "plan d'Argand-Cauchy" ou plus communément "plan de Gauss" que nous verrons un peu plus loin).

L'ensemble des nombres complexes qui constitue un corps (cf. chapitre de Théorie Des Ensembles), et noté equation, est défini (de manière simple pour commencer) dans la notation de la théorie des ensembles par :

equation   (2.64)

En d'autres termes nous disons que le corps equation est le corps equation auquel nous avons "adjoint" le nombre imaginaire i. Ce qui se note formellement :

equation   (2.65)

L'addition et la multiplication de nombres complexes sont des opérations internes à l'ensemble des complexes (nous reviendrons beaucoup plus en détail sur certaines propriétés des nombres complexes dans le chapitre traitant de la Théorie Des Ensembles) et définies par:

equation   (2.66)

La "partie réelle" de z est traditionnellement notée: 

equation   (2.67)

La "partie imaginaire" de z est traditionnellement notée: 

equation   (2.68)

Le "conjugué" ou "conjugaison" de z est défini par:

  equation   (2.69)

et est aussi parfois noté equation (en particulier en physique quantique dans certains ouvrages!).

A partir d'un complexe et de son conjugué, il est possible de trouver ses parties réelles et imaginaires. Ce sont les relations évidentes suivantes :

equation  et equation   (2.70)

Le "module" de z (ou "norme") représente la longueur par rapport au centre du plan de Gauss (voir un peu plus bas ce qu'est le plan de Gauss) et est simplement calculé avec l'aide du théorème de Pythagore: 

equation   (2.71)

et est donc toujours un nombre positif ou nul.

Remarque: La notation equation pour le module n'est pas innocente puisque equation coïncide avec la valeur absolue de z lorsque z est réel.

La division entres deux complexes se calcule comme (le dénominateur étant évidemment non nul):

equation   (2.72)

L'inverse d'un complexe se calculant de façon similaire :

equation   (2.73)

Nous pouvons aussi énumérer 8 importantes propriétés du module et du conjugué complexe:

P1. Nous affirmons que :

equation   (2.74)

Démonstration:

Par définition du module equation , pour que la somme equation soit nulle, la condition nécessaire est que:

equation   (2.75)

equationC.Q.F.D.

P2. Nous affirmons que :

equation   (2.76)

Démonstration:

equation   (2.77)

equationC.Q.F.D.

P3. Nous affirmons que :

equation   (2.78)

Démonstration:

Les deux inégalités ci-dessus peuvent s'écrire:

equation   (2.79)

donc équivalent respectivement à:

equation   (2.80)

qui sont triviales. La suite est alors triviale...

equationC.Q.F.D.

P4. Nous avons:

equation   (2.81)  

et si:

equation   (2.82)

Démonstrations:

equation   (2.83)

et:

equation   (2.84)

equationC.Q.F.D.

P5. Nous affirmons (à nouveau...) que :

equation   (2.85)

Démonstration:

equation   (2.86)

equationC.Q.F.D.

P6. Nous affirmons que :

equation   (2.87)

Démonstrations:

equation   (2.88)

et :

equation   (2.89)

et :

equation   (2.90)

equationC.Q.F.D.

Remarques:

R1. En des termes mathématiques, la première démonstration permet de montrer que la conjugaison complexe est ce que l'on appelle "involutive" (dans le sens qu'elle ne fait rien évoluer...).

R2. En des termes tout aussi mathématiques (ce n'est que du vocabulaire!), la deuxième démonstration montre que la conjugaison de la somme de deux nombres complexes est ce que nous appelons un "automorphisme du groupe" equation (cf. chapitre de Théorie Des Ensembles).

R3. Encore une fois, pour le vocabulaire..., la troisième démonstration montre que la conjugaison du produit de deux nombres complexes est ce que nous appelons un "automorphisme du corps" equation (cf. chapitre de Théorie Des Ensembles).

P7. Nous affirmons que pour z différent de zéro:

equation   (2.91)

Nous nous restreindrons à la démonstration de la seconde relation qui est un cas général de la première (pour equation).

Démonstration:

equation   (2.92)

equationC.Q.F.D.

P8. Nous avons :

equation    (2.93)

pour tous complexes equation (rigoureusement non nuls car sinon le concept d'argument du nombre complexe que nous verrons plus loin est alors indéterminé). De plus l'égalité a lieu si et seulement si equation et equation sont colinéaires (les vecteurs sont "sur la même droite") et de même sens, autrement dit .... s'il existe equation tel que equation .

Démonstration:

equation   (2.94)

Cette inégalité peut ne pas paraître évidente à tout le monde alors développons un peu et supposons-la vraie:

 equation   (2.95)

Après simplification:

equation   (2.96)

et encore après simplification:

equation   (2.97)

donc comme la paranthèse au carré est forcément positive ou nulle il s'ensuit:

equation   (2.98)

Cette dernière relation démontre donc que l'inégalité est vraie.

equationC.Q.F.D.

Remarque: Il existe une forme plus générale de cette inégalité appelée "inégalité de Minkowski" présentée dans le chapitre de Calcul Vectoriel (les nombres complexes peuvent effectivement s'écrire sous la forme de vecteurs comme nous allons le voir de suite.

INTERPRÉTATION GÉOMÉTRIQUE

Nous pouvons aussi représenter un nombre complexe equation ou equation dans un plan délimité par deux axes (deux dimensions) de longueur infinie et orthogonaux entres eux. L'axe vertical représentant la partie imaginaire d'un nombre complexe et l'axe horizontal la partie réelle (voir figure ci-après). 

Il y donc bijection entre l'ensemble des nombres complexes et l'ensemble des vecteurs du plan de Gauss (notion d'affixe).

Nous nommons parfois ce type de représentation "plan de Gauss":

equation
  (2.99)

et nous écrivons alors:

equation   (2.100)

Nous voyons sur ce diagramme qu'un nombre complexe a donc une interprétation vectorielle (cf. chapitre de Calcul Vectoriel) donnée par :

equation   (2.101)

où la base canonique est définie telle que:

equation   (2.102)

avec:

equation   (2.103)

Ainsi, equation est le vecteur de la base unitaire porté par l'axe horizontal equation et equation est le vecteur de la base unitaire porté par l'axe imaginaire equation et r est le module (la norme) positif ou nul.

Ceci est a comparer avec les vecteurs de equation (cf. chapitre de Calcul Vectoriel):

equation   (2.104)

avec:

equation   (2.105)

ce qui fait que nous pouvons identifier le plan complexe avec la plan euclidien.

Par ailleurs, la définition du cosinus et sinus (cf. chapitre de Trigonométrie) nous donne :

equation   (2.106)

Finalement :

equation   (2.107)

Ainsi :

equation   (2.108)

complexe qui est toujours égal à la lui-même modulo equationde par les propriétés des fonctions trigonométriques :

equation   (2.109)

avec equation et où equation est appelé "l'argument de z" et est noté traditionnellement :

equation   (2.110)

Les propriétés du cosinus et du sinus (cf. chapitre de Trigonométrie) nous amènent directement à écrire pour l'argument :

equation et equation   (2.111)

Nous démontrons entre autres avec les séries de Taylor (cf. chapitre des Suites Et Séries) que :

equation   (2.112)

et:

equation   (2.113)

dont la somme est semblable à:

equation   (2.114)

mais par contre parfaitement identique au développement de Taylor de equation :

equation   (2.115)

Donc finalement, nous pouvons écrire :

equation   (2.116)

relation nommée "formule d'Euler".

Grâce à la forme exponentielle d'un nombre complexe, très fréquemment utilisée dans de nombreux domaines de la physique et de l'ingénierie, nous pouvons très facilement tirer des relations telles que (cis est une vieille notation qui est l'abréviation du cos i sin se trouvant dans la paranthèse):

equation

equation   (2.117)

equation

et en supposant connues les relations trigonométriques de bases (cf. chapitre de Trigonométrie) nous avons les relations suivantes pour la multiplication de deux nombres complexes :

equation   (2.118)

dès lors :

equation   (2.119)

et donc si n est un entier positif:

equation   (2.120)

Pour le module de la multiplication (nous changeons de notation pour la lisibilité é): 

equation   (2.121)

d'où :

equation   (2.122)

Pour la division de deux nombres complexes :

equation   (2.123)

Le module de leur division vient alors immédiatement :

equation   (2.124)

dès lors nous avons pour l'argument :

equation   (2.125)

ainsi il vient immédiatement :

equation   (2.126)

Pour la mise en puissance d'un nombre complexe (ou la racine):

equation   (2.127)

ce qui nous donne immédiatement un résultat déjà mentionné plus haut: 

equation   (2.128)

et pour l'argument :

equation   (2.129)

Dans le cas où nous avons un module unité tel que equation nous avons alors la relation :

equation   (2.130)

appelée "formule de Moivre".

Pour le logarithme népérien d'un nombre complexe, nous avons trivialement la relation suivante sur laquelle nous reviendrons dans le chapitre d'Analyse Complexe:

equation   (2.131)

où ln( z ) est souvent dans le cas complexe écrit Log( z ) avec un "L" majusucule.

Toutes les relations précédentes pourraient bien sûr être obtenues avec la forme trigonométrique des nombres complexes mais nécessiteraient alors quelques lignes supplémentaires de développements.

Remarque: Une variation sinusoïdale equation peut être représentée comme la projection (cf. chapitre de Trigonométrie) sur l'axe vertical y (axe des imaginaires de l'ensemble equation) d'un vecteur equation tournant à vitesse angulaire equation autour de l'origine dans le plan xOy :

equation
  (2.132)

Un tel vecteur tournant s'appelle "vecteur de Fresnel" et peut très bien être interprété comme la partie imaginaire d'un nombre complexe donné par :

equation   (2.133)

Nous retrouverons les vecteurs tournants de façon explicite lors de notre étude de la mécanique ondulatoire et optique géométrique (dans le cadre de la diffraction).

2.6.1. TRANSFORMATIONS DANS LE PLAN

Il est habituel de représenter les nombres réels comme points d'une droite graduée. Les opérations algébriques y ont leur interprétation géométrique: l'addition est une translation, la multiplication une homothétie centrée à l'origine.

En particulier nous pouvons parler de la "racine carrée d'une transformation". Une translation d'amplitude a peut être obtenue comme l'itération d'une translation d'amplitude a/2. De même une homothétie de rapport a peut être obtenue comme l'itérée d'une homothétie de rapport equation. En particulier une homothétie de rapport 9 est la composée de deux homothéties de rapport 3 ( ou -3).

La racine carrée prend alors un sens géométrique. Mais qu'en est-il de la racine carrée de nombres négatifs?  En particulier la racine carrée de -1?

Une homothétie de rapport -1 peut être vue comme une symétrie par rapport à l'origine. Toutefois si nous voulons voir cette transformation d'une manière continue, force nous est de placer la droite dans un plan. Dès lors une homothétie de rapport -1 peut être vue comme une rotation de equation radians autour de l'origine.

Du coup, le problème de la racine carrée négative se simplifie. En effet, il n'est guère difficile de décomposer une rotation de equation radians en deux transformations: nous pouvons répéter soit une rotation de equation soit une rotation de equation. L'image de 1 sera la racine carrée de -1 et i est située sur une perpendiculaire à l'origine à une distance 1 soit vers le haut soit vers le bas.

Ayant réussi à positionner le nombre i il n'est plus guère difficile de disposer les autres nombres complexes dans un plan de Gauss. Nous pouvons ainsi associer à 2i le produit de l'homothétie (cf. chapitre de Géométrie Euclidienne) de rapport 2 par la rotation de centre O et d'angle equation, soit une similitude centrée à l'origine. C'est ce que nous allons nous efforcer à montrer maintenant.

Soient :

equation   (2.134)

et equation.

Nous avons les propriétés de transformations géométriques suivantes pour les nombres complexes (voir le chapitre de Trigonométrie pour les propriétés du sinus et cosinus) que nous pouvons joyeusement combiner selon notre bon vouloir :

P1. La multiplication de equation par un réel equation dans le plan de Gauss correspond (trivial) à une homothétie (agrandissement) de centre O (l'intersection des axes imaginaires et réels), de rapport equation.

Démonstration :

equation   (2.135)

equationC.Q.F.D.

P2. La multiplication de equation par un nombre complexe de module unitaire :

equation   (2.136)

correspond à une rotation de centre O et d'angle du complexe equation.

Démonstration:

equation   (2.137)

equationC.Q.F.D.

Remarque: Nous voyons alors immédiatement, par exemple, que multiplier un nombre complexe par i (c'est-à-dire equation) correspond à une rotation de equation.

Il est intéressant d'observer que sous forme vectorielle la rotation de centre O de equation par equation peut s'écrire à l'aide de la matrice suivante :

equation   (2.138)

Démonstration:

Nous savons que equation est une rotation de centre O et d'angle equation. Il suffit de l'écrire à l'ancienne :

equation   (2.139)

ce qui donne sous forme vectorielle :

equation   (2.140)

donc l'application linéaire est équivalent à:

equation   (2.141)

ou encore (nous retombons sur la matrice de rotation dans le plan que nous avons dans le chapitre de Géométrie Euclidienne ce qui est un résultat remarquable!) en utilisant:

equation   (2.142)

dans le cas particulier et arbitraire où r serait unitaire (afin d'avoir une rotation pure!) nous avons immédiatement (nous avons repris les notations de l'angle tel que nous l'avons dans le chapitre de Géométrie):

equation   (2.143)

Remarquons que la matrice de rotation peut aussi s'écrire sous la forme :

equation   (2.144)

de même :

equation   (2.145)

equationC.Q.F.D.

Ainsi nous remarquons que ces matrices de rotation ne sont pas que des applications mais sont des nombres complexes aussi (bon c'était évident dès le début mais fallait le montrer de manière esthétique et simple).

Ainsi, nous avons pour habitude de poser que :

equation   (2.146)

Le corps des nombres complexes est donc isomorphe au corps des matrices réelles carrées de dimension 2 du type:

equation   (2.147)

C'est un résultat que nous réutiliserons de nombreuses fois dans divers chapitres de ce site pour des études particulières en algèbre, géométrie et en physique quantique relativiste.

P3. La multiplication de deux complexes correspond à une homothétie ajoutée d'une rotation. En d'autres termes, d'une "similitude directe".

Démonstration:

equation   (2.148)

il s'agit donc bien d'une similitude de rapport b et d'angle equation.

equationC.Q.F.D.

Au contraire, l'opération suivante :

equation   (2.149)

sera appelée une "similitude linéaire rétrograde".

Par ailleurs, il en retourne trivialement la relation déjà connue suivante:

equation   (2.150)

Remarques:

R1. La somme de deux nombres equation complexes ne pouvant avoir une écriture mathématique simplifiée sous quelque forme que ce soit, nous disons alors que la somme équivaut à une "translation d'amplitude".

R2. La combinaison d'une similitude linéaire (multiplication de deux nombres complexes) directe et d'une translation d'amplitude (sommation par un troisième nombre complexe) correspond à ce que nous appelons une "similitude linéaire directe".

P4. Le conjugué d'un nombre complexe est géométriquement son symétrique par rapport à l'axe equation tel que :

equation   (2.151)

sans oublier que :

equation   (2.152)

Ce qui nous donne un résultat déjà connu:

equation   (2.153)

D'où nous pouvons tirer la propriété suivante :

equationequation   (2.154)

d'où:

equation   (2.155)

P5. La négation du conjugué d'un nombre complexe est géométriquement son symétrique par rapport à l'axe des imaginaires equation tel que :

equation   (2.156)

Remarques:

R1. La combinaison de P4, P5 est appelée une "similitude rétrograde".

R2. L'opération géométrique qui consiste à prendre l'inverse du conjugué d'un nombre complexe (soit equation) est appelé une "inversion de pôle".

P6. La rotation de centre c et d'angle equation est donnée par :

equation   (2.157)

Explications:

Le complexe c donne un point dans le plan de Gauss qui sera le centre de rotation. La différence equation donne le rayon r choisi. La multiplication par equation est la rotation du rayon par rapport à l'origine du plan de Gauss dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. Finalement, l'addition par c la translation nécessaire pour ramener le rayon r tourné à l'origine du centre c. Ce qui donne schématiquement:

equation
  (2.158)

 

P7. Sur la même idée, nous obtenons une homothétie de centre c, de rapport equation par l'opération :

equation   (2.159)

Explications :

La différence equation donne toujours le rayon r et c un point dans le centre de Gauss.equation donne l'homothétie du rayon par rapport à l'origine du plan de Gauss et finalement l'addition par c la translation nécessaire pour que l'homothétie soit vue comme étant faite de centre c.


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