Cours mathématique sur les nombres



Les nombres en mathématique

1. Bases numériques

2. Types de nombres

2.1. Nombres entiers

2.1.1. Axiomes de Peano

2.1.2. Nombres pairs, impairs et parfaits

2.1.3. Nombres premiers

2.2. Nombres entiers relatifs

2.3. Nombres rationnels

2.4. Nombres irrationnels

2.5. Nombres réels

2.5.1. Nombres transfinis

2.6. Nombres complexes

2.6.1. Transformations dans le plan

2.7. Nombres quaternions

2.7.1. Interprétation matricielle

2.7.2. Rotations

2.8. Nombres algébriques et transcendants

2.9. Nombres abstraits

2.9.1. Alphabet Grec

2.9.2. Domaine de définition

La base des mathématiques, mis à part le raisonnement (cf. chapitre Théorie De La Démonstration), est sans nul doute pour le commun des personnes l'arithmétique. Il est donc obligatoire que nous y fassions étape pour étudier sa provenance, quelques unes de ses propriétés et conséquences.

Les nombres, comme les figures géométriques, constituent les bases de l'arithmétique. Ce sont aussi les bases historiques car les mathématiques ont certainement commencé par l'étude de ces objets, mais aussi les bases pédagogiques, car c'est en apprenant à compter que nous entrons dans le monde des mathématiques.

L'histoire des nombres, appelés également parfois "scalaires", est beaucoup trop longue pour être relatée ici, mais nous ne pouvons que vous conseiller un des meilleurs ouvrages francophones sur le sujet : Histoire Universelle des chiffres (~2'000 pages), Georges Ifrah, ISBN: 2221057791.

Cependant voici une petite bride de cette dernière qui nous semble fondamentale:

Notre système décimal actuel, de base 10, utilise les chiffres de 0 à 9, dits "chiffres arabes", mais au fait d'origine indienne (hindous). Effectivement, les chiffres arabes (d'origine indienne...) sont différents :

equation
Tableau: 2.1  - Chiffres arabes

Il faut lire dans ce tableau: 0 "zéro", 1 "un", 2 "deux", 3 "trois", 4 "quatre", 5 "cinq", 6 "six", 7 "sept", 8 "huit", 9 "neuf". Ce système est beaucoup plus efficace que les chiffres romains (essayez de faire un calcul avec le système de notation romain vous allez voir...).

Ces chiffres ne furent introduits en Europe que vers l'an 1000. Utilisés en Inde, ils furent transmis par les Arabes au monde occidental par le pape Gerbert d'Aurillac lors de son séjour en Andalousie à la fin du 9ème siècle. 




Remarque: Le mot français "chiffre" est une déformation du mot arabe "sifr" désignant "zéro". En italien, "zéro" se dit "zero", et serait une contraction de "zefiro", on voit là encore la racine arabe. Ainsi nos termes "chiffre" et "zéro" ont la même origine.

L'usage précoce d'un symbole numérique désignant "rien", au sens de "aucune quantité" ou "absence de quantité", c'est à dire notre zéro, provient du fait que les Indiens utilisèrent un système dit "système positionnel". Dans un tel système, la position d'un chiffre dans l'écriture d'un nombre exprime la puissance de 10 et le nombre de fois qu'elle intervient.

L'absence d'une puissance est notée par un petit rond... : c'est le zéro. Notre système actuel est donc le "système décimal et positionnel".

exemple Exemple :

Description du système décimal et positionnel :

equation
  (2.1)

Le nombre 324 s'écrit de gauche à droite comme étant trois centaines : 3 fois 100, deux dizaines : 2 fois 10 et quatre unités : 4 fois 1.

Remarques:

R1. Attention!! Nous différencions un chiffre d'un nombre... Le nombre est composé de chiffres et non inversement. Par ailleurs, nous différencions la partie entière de la partie décimale du nombre.

R2. Un "nombre décimal" est un nombre qui a une écriture finie en base 10.

Nous voyons parfois (et c'est conseillé) un séparateur de milliers représenté par une apostrophe ' en Suisse (posé tous les trois chiffres à partir du premier en partant de la droite pour les nombres entier). Ainsi, nous écrirons 1'034 au lieu de 1034 ou encore 1'344'567'569 au lieu de 1344567569. Les séparateurs de milliers permettent de rapidement quantifier l'ordre de grandeur des nombres lus.

Ainsi:

- Si nous voyons uniquement une apostrophe nous saurons que le nombre est de l'ordre du millier
- Si nous voyons voit deux apostrophes nous saurons que le nombre est de l'ordre du million
- Si nous voyons trois apostrophes nous saurons que le nombre est de l'ordre du milliard

et ainsi de suite... 

Au fait, tout nombre entier, autre que l'unité, peut être pris pour base d'un système de numérotation. Nous avons ainsi les systèmes de numérotation binaire, ternaire, quaternaire,..., décimal, duodécimal qui correspondent respectivement aux bases deux, trois quatre,..., dix, douze.

Une généralisation de ce qui a été vu précédemment, peut s'écrire sous la forme suivante :

Tout nombre entier positif peut être représenté dans une base b sous forme de somme, où les coefficients equation sont multipliés chacun par leur poids respectif equation. Tel que :

equation   (2.2)

Plus élégamment écrit :

equation  (2.3)

avec equation et equation.

Remarques:

R1. Comme très fréquemment en mathématique, nous remplacerons l'écriture des chiffres ou des nombres par des lettres latines ou grecques afin de généraliser leur représentation. Ainsi, lorsque nous parlons d'une base b la valeur b peut prendre n'importe quelle valeur entière 1, 2, 3, ...

R2. Lorsque nous prenons la valeur 2 pour b, N aura pour valeur maximale equation. Les nombres qui s'écrivent sous cette forme s'appellent les "nombres de Mersenne". Ces nombres ne peuvent être premiers (voir plus bas ce qu'est un nombre premier) que si n est premier.

Effectivement, si nous prenons (par exemples) equation et equation la plus grande valeur que nous pourrons avoir sera alors :

equation   (2.4)

R3. Lorsque qu'un nombre est le même lu de gauche à droite ou de droite à gauche, nous parlons de "nombre palindrome".



1. BASES NUMÉRIQUES

Pour écrire un nombre dans un système de base b, nous devons commencer par adopter b caractères destinés à représenter les b premiers nombres {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9}. Ces caractères sont comme nous les avons déjà définis, les "chiffres" que nous énonçons comme à l'ordinaire.

Pour la numérotation écrite, nous faisons cette convention, qu'un chiffre, placé à gauche d'un autre représente des unités de l'ordre immédiatement supérieur, ou b fois plus grandes. Pour tenir la place des unités qui peuvent manquer dans certains ordres, nous nous servons du zéro (0) et par suite, le nombre de chiffres employés peut varier.

Définition: Pour la numérotation parlée, nous convenons d'appeler "unité simple", "dizaine", "centaine", "millier", etc., les unités du premier ordre, du second, du troisième, du quatrième, etc. Ainsi les nombres 10, 11, ..., 19 se liront de même dans tous les systèmes de numérotation. les nombres 1a, 1b, a0, b0, ... se liront dix-a, dix-bé, a-dix, bé-dix, etc. Ainsi, le nombre 5b6a71c se lira :

cinq millions bé-cent soixant-a mille sept cent dix-cé

Cet exemple est pertinent car il nous montre l'expression générale de la langue parlée que nous utilisons quotidiennement et intuitivement en base dix (faute à notre éducation).

Remarques:

R1. Les règles des opérations définies pour les nombres écrits dans le système décimal sont les mêmes pour les nombres écrits dans un système quelconque de numérotation.

R2. Pour opérer rapidement dans un système quelconque de numérotation, il est indispensable de savoir par coeur toutes les sommes et tous les produits de deux nombres d'un seul chiffre.

R3. Le fait que la base décimale ait été choisie est semblerait t'il due au fait que l'humain a dix doigts.

Voyons comment nous convertissons un système de numérotation dans un ordre:

exemple Exemple :

En base dix nous savons que 142'713 s'écrit:

equation   (2.5)

En base deux (base binaire) le nombre 0110 s'écrirait en base 10:

equation   (2.6)

et ainsi de suite...

L'inverse (pour l'exemple de la base deux) est toujours un peu plus délicat. Par exemple la conversion du nombre décimal 1'492 en base deux se fait par divisions successives par 2 des restes et donne (le principe est à peu près identique pour toutes les autres bases):

equation
  (2.7)

Ainsi, pour convertir le nombre 142'713 (base décimale) en base duodécimale (base douze) nous avons (notation : q est le "quotient", et r le "reste") :

equation   (2.8)

equation   (2.9)

equation   (2.10)

equation   (2.11)

equation   (2.12)

Ainsi nous avons les restes 6, 10, 7, 0, 9 ce qui nous amène à écrire :

 equation   (2.13)

Nous avons choisi pour ce cas particulier la symbolique que nous avions définie précédemment (a-dix) pour éviter toute confusion.


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