Cours de la musique mathématique



MUSIQUE MATHEMATIQUE

1. ONDES SONORES LONGITUDINALES

1.1. PUISSANCE TRANSPORTÉE PAR UNE ONDE SONORE

1.2. MESURE DE L'INTENSITÉ DU SON

2. ONDES SPHÉRIQUES

3. ONDES DE CHOC

La théorie de la musique est l'ensemble des aspects théoriques d'un système musical particulier. Il existe, non pas une, mais une infinité de théories musicales, chaque type de musique possédant la sienne. Tout système musical repose en effet sur un certain nombre d'usages, plus ou moins contraignants, susceptibles de faire l'objet d'une théorisation, orale ou écrite.

Une théorie de la musique possède fréquemment un point de départ religieux, philosophique, ou magique ; d'autres fois, un point de départ arithmétique ou scientifique (acoustique). C'est à cette dernère que nous nous intéresserons ici évidemment...

Nous allons pour commencer considérer dans ce chapitre les ondes élastiques dans un gaz, résultant des variations de pression dans le gaz. Le son constitue l'exemple le plus important de ce type d'ondes.

ONDES SONORES LONGITUDINALES

Dans les milieux élastiques: les gaz et les liquides, des ondes sonores longitudinales se propagent suivant le mécanisme suivant (pour les solides il s'agit d'ondes transversales développées dans le chapitre de Mécanique des Milieux Continus): un couche du milieu se déplace dans le sens de propagation de l'onde (d'où le nom de longitudinal) et comprime la couche suivante laquelle, sous l'effet de la pression avance et comprime la couche suivante et ainsi de suite. Cela fonctionne aussi pour une couche qui recule: la pression sur la couche suivante diminue ce qui a pour effet de faire reculer la couche suivante laquelle diminue à son tour la pression sur la suivante etc.

La vitesse à laquelle se déplacent ces ondes longitudinales dépend comme souvent des caractéristique du milieu. En générale elle est plus faible dans les gaz que dans les liquides et plus faible dans les liquides que dans les solides. Par exemple equation dans l'air, equation dans l'eau et equation pour les ondes transversales dans l'acier.

En ce qui concerne les fréquences, il n'y a presque pas de limites. On peut générer des ondes sonores à des fractions de Hz jusqu'à des centaines de MHz. Par référence à la gamme de fréquences audibles à l'être humain, nous appelons "infrasons" des fréquences inférieures à 20 [Hz] et "ultrasons" des fréquences supérieures à 20 [KHz].

En général, les ondes sont produites par une source de dimensions limitées et, à partir de cette source, se propagent dans toutes les directions. Dans des milieux isotropes le front d'onde d'une perturbation se sphérique. Nous éviterons d'introduire des coordonnées sphériques en nous limitant à traiter des parties de fronts d'onde suffisamment éloignées de la source et suffisamment petites devant la distance à la source pour que nous puissions assimiler le morceau de sphère à une surface plane. Autrement dit, nous ne traiterons que les ondes planes longitudinales.

Il existe aussi une autre différence importante entre les ondes élastiques longitudinales dans un gaz ou liquide et les ondes élastiques transversales dans un barreau solide. Les gaz sont très compressibles, et si des fluctuations de pression s'établissent dans un gaz, sa densité subira le même type de fluctuation que la pression.

Considérons les ondes se propageant à l'intérieur d'un tuyau ou tube cylindrique (horizontal) de section S. Notons equation et equation la pression et la masse volumique à l'équilibre du gaz. Dans ces conditions d'équilibre, equation et equation sont les mêmes dans tout le volume gazeux du cylindre, c'est-à-dire indépendants de x.

Si la pression du gaz est perturbée par exemple à l'une des deux ouvertures de cylindre creux, un élément de volume de celui-ci Sdx sera intuitivement mis en mouvement parce que les pressions P et P' sur les deux faces S, S ' de ce petit volume seront différentes et produiront donc une force résultante.

Remarque: Même si elles ont une très grande vitesse, dans un gaz les molécules subissent des chocs très fréquents les unes avec les autres. Elles parcourent au fait moins d'un micron en moyenne (libre parcours moyen), dans les conditions normales, avant d'en taper une autre.

Il en résulte un déplacement de la section S d'une quantité equation et de la section S' d'une quantité différente equation nécessairement différente car l'équilibre de pression n'aura pas eu le temps de se faire.

Ainsi, l'élément de volume au début à une largeur dx mais après la variation de pression il aura une largeur si les variations de pression sont petits en première approximation:

equation   (1)

Cependant, en raison de la variation du volume, il y a également à présente une variation de densité due à la compressibilité du gaz. La masse contenue dans le volume non perturbé est initialement:

equation   (2)

Si equation est la masse volumique du gaz perturbé, la masse du volume perturbé vau au final:

equation   (3)

La conservation de la matière demande que ces deux masses soient égales, c'est-à-dire que:

equation   (4)

ou:

equation   (5)

En résolvant en equation nous obtenons:

equation   (6)

Comme nous considérons les variations de pression petites par rapport à la pression ambiante, equation est petit, nous pouvons remplacer :

equation   (7)

par son développement limité de Taylor:

equation   (8)

Soit:

equation   (9)

En admettant maintenant que la pression est uniquement reliée à la masse volumique (pour faire simple) nous pouvons écrire:

equation   (10)

En utilisant la forme générale du développement de Taylor (cf. chapitre de Suites et Séries):

equation   (11)

Nous avons alors:

equation   (12)

La quantité:

equation   (13)

est appelée "coefficient de compressibilité" ou plus techniquement "coefficient de compressibilité isotherme".

Rappelons que nous avons démontré dans le chapitre de Thermodynamique que:

equation   (14)

Alors (relation que nous utiliserons plus loin):

equation   (15)

Conventionnellement il est noté (au signe près):

equation   (16)

Ce qui correspond bien à l'intuition: une augmentation de pression (variation positive) implique une diminution de volume (variation négative).

Soit:

equation   (17)

souvent notée equation.

Nous avons alors:

equation   (18)

Cette expression relie la pression en tout point du gaz à la déformation au même point.

Nous avons ensuite besoin de l'équation du mouvement de l'élément de volume. La masse de l'élément est equation et son accélération  equation.

Nous avons naturellement en termes de force (le signe moins indiquant que la force qui varie la pression s'oppose à la pression initiale dans le cylindre) :

equation   (19)

soit:

equation   (20)

Dans ce problème, il y a deux champs, le champ des déplacements equation et le champ des pressions P. Nous pouvons les combiner de la manière suivante en prenant:

equation   (21)

et en dérivant par rapport à x et en nous rappelant que equation est indépendante de la position dans le gaz. Nous avons alors:

equation   (22)

Ce que nous pouvons combiner avec:

equation   (23)

Nous retrouvons donc au final une équation d'onde de la forme (rappel) d'une équation de Poisson (plus particulièrement il s'agit d'une équation de d'Alembert):

equation   (24)

Nous obtenons donc une relation similaire à ce que nous avons obtenu dans le chapitre de Mécanique Ondulatoire pour les ondes mécaniques ou dans le chapitre d'Électrodynamique dans l'équation de propagation des ondes. Nous en concluons que le déplacement dû à une perturbation de pression dans un gaz de propage à la vitesse:

equation   (25)  

La relation:

equation   (26)

est parfois appelée "relation de Newton-Laplace".

Si nous considérons l'ai comme un gaz parfait diatomique alors (cf. chapitre de Thermodynamique) nous avons equation... de masse molaire equation (moyenne pondérée des masses molaires de equation et equation) il vient à une température de 300 [K]:

equation   (27)

Ce qui est en parfait accord avec l'expérience! Par contre lorsque l'on dit qu'un avion vole à Mach 2 (le Mach est le rapport entre la vitesse d'un avion et celle du son), on ne connaît pas vraiment la vitesse du son (ni de l'avion) son on ne connaît pas la température.

Or, nous avons aussi le résultat suivant (cf. chapitre de Mécanique des Milieux Continus):

equation   (28)

Or, nous avons démontré dans le chapitre de Génie Mécanique que le coefficient de Poisson respectait:

equation   (29)

En prenant l'approximation que pour un gaz equation... nous avons alors:

equation   (30)

et donc:

equation   (31)

La vitesse du son est alors donnée par le même type d'expression pour les fluides ou les solides! Ainsi, la propagation d'une déformation longitudinale dans un solide est donnée par:

equation   (32)

et la déformation transversale (cf. chapitre de Mécanique du solide):

equation   (33)

Nous avons aussi:

equation   (34)

En divisant ces deux égalités membre à membre, nous obtenons:

equation   (35)

Soit après simplification:

equation   (36)

Pour l'usage en laboratoire, ce modèle d'onde sonore est plus pratique que le précédente car nous mesurons plus facilement des variations de pression dans un liquide ou un gaz, que des déplacements de molécules.

Le mouvement des ondes dans les gaz est un processus adiabatique (cf. chapitre de Thermodynamique) donc il n'y a aucun échange d'énergie sous forme de chaleur par élément de volume du gaz.

PUISSANCE TRANSPORTÉE PAR UNE ONDE SONORE

Nous avons vu plus haut que:

equation   (37)

Notons cela les variations de densité dues à l'onde sonore par:

equation   (38)

Nous ferons le calcul de la puissance transportée que pour le cas des ondes sinusoïdales. Dans ce cas equation sera de la forme:

equation   (39)

Comme equation est connu, nous pouvons calculer la pression correspondante en utilisant:

equation   (40)

En introduisant les variations de pression dues à l'onde sonore:

equation   (41)

et en utilisant:

equation   (42)

Il vient:

equation   (43)

Nous avons alors:

equation   (44)

Pour calculer la puissance transportée par une onde sonore, nous allons calculer le travail effectué, pendant une période, sur une surface S située sur un plan perpendiculaire à l'axe des x et de coordonnées x.

La force exercée sur cette surface sera:

equation   (45)

Le travail effectué quand cette surface se déplace de equation sera:

equation   (46)

Comme nous faisons un calcul pour les déplacements equation d'une couche dont la position d'équilibre x ne varie pas, seule la variable t varie:

equation   (47)

En remplaçant nous obtenons:

equation   (48)

Le travail exercé pendant un période :

equation   (49)

sera:

equation   (50)

Nous avons déjà démontré l'expression de ce type d'intégrale dans le chapitre de Calcul Différentiel et Intégral:

equation   (51)

d'où:

equation   (52)

En remplaçant il vient:

equation   (53)

Pour calculer la puissance, il faut diviser ce travail par le temps dans lequel il a été effectué:

equation   (54)

et pour calculer la puissance transmise par unité de surface, il faut diviser par la surface:

equation   (55)

Si nous remplaçons k par:

equation   (56)

Nous obtenons:

equation   (57)

Avant de continuer, signalons que qu'il existe plusieurs façons de mesurer l'amplitude d'un son, et par extension, d'un signal quelconque de nature ondulatoire :

- l'amplitude moyenne (la valeur moyenne arithmétique du signal positif)

- l'amplitude efficace (amplitude continue équivalente en puissance)

- l'amplitude crête (maximale positive)

- l'amplitude crête à crête (l'écart maximal d'amplitude positive et négative)

equation
  (58)

Dans la pratique, l'amplitude moyenne présente peu d'intérêt et n'est pas utilisée. En revanche, la valeur efficace ou RMS, pour Root Mean Square en anglais, soit la valeur quadratique moyenne du signal est universellement adoptée pour mesurer la valeur des tensions alternatives, dans le cadre général autant qu'en acoustique. Un amplificateur qui est donné pour 10 watts RMS fera 14 watts en crête et 28 watts en crête à crête (aussi noté cc). Les mesures de puissance crête à crête sont assez souvent appelées "watts musicaux" par les vendeurs de matériel audiovisuel, car les chiffres sont plus flatteurs.

L'unité de mesure de l'amplitude dépend de la grandeur physique mesurée :

- Pour une corde vibrante, c'est une distance.

- Pour une onde sonore, c'est la pression de l'air, ou des mouvements du diaphragme

- Pour le rayonnement électromagnétique, l'amplitude correspond au champ électrique.

- Pour un signal électrique, cela  correspond à la valeur maximale.

Pour les régimes sinusoïdaux, il est facile de démontrer que quelque soit le domaine de la physique la valeur efficace est la valeur de crête divisée par la racine carrée de deux:

equation   (59)
 

Dons en valeur efficace (il s'agit uniquement d'un choix arbitraire et rien d'autre il faut juste savoir de quoi on parle par la suite!!), la relation antéprécédente s'écrit:

equation   (60)

Comme nous avons l'amplitude de la pression qui est égale à:

equation   (61)

et sa valeur efficace par:

equation   (62)

Finalement nous avons pour la puissance (que nous représenterons par la suite par un P majuscule stylisé afin de ne pas confondre avec la pression):

equation   (63)

MESURE DE L'INTENSITÉ DU SON

Pour caractériser le sou, on a inventé une unité de mesure: le "Bel" et son sous-multiple le "décibel" qui vaut 1/10 de Bel. Cette intensité a été définie à partir de la pression sonore efficace (le equation donné plus haut) et de la pression sonore d'une onde (à une fréquence précise!) à la limite du seuil auditif d'une petite élite de l'humanité (environ 10%).

Cette pression efficace de référence vaut:

equation   (64)

L'intensité sonore d'une onde dont la pression sonore efficace est equation vaut par définition et par convention:

equation   (65)

Dans certaines source, nous trouvons la définition du Bel à partir d'une intensité de référence de (à 1 [KHz]) :

equation   (66)

Il vient alors (la définition est équivalent puisqu'il s'agit d'un rapport et que la puissance est directement proportionnelle au carré de la pression comme nous l'avons démontré plus haut):

equation   (67)

En réalité, le Bel est rarement utilisé et on lui préfère le décibel (la plupart des êtres humains peuvent à ce jour déceler une différence d'intensité entre deux sont dont l'intensité diffère de 1 [dB]):

equation   (68)

La raison de ce choix logarithmique est que la sensation auditive est aussi logarithmique: on a la même impression d'augmentation du son quand celui-ci passe de 1 à 10 que quand il passe de 10 à 100.

Pour donner une de la valeur d'un décibel, voici un tableau de valeurs typique:

Décibels

Source

160

Dommages au tympan

140

Seuil de la douleur

120

Seuil de la gêne

100

Atelier de machines lourdes

85

Automobile

75

Usine moyenne

60

Conversation normale

40

Bruit des spectateurs au cinéma

20

Studio de radiodiffusion

10

Chambre anéchoïque

0

Seuil de l'audition

Tableau: 1 - Amplitudes relatives typiques de différents sources sonores

Comme nous l'avons déjà dit la pression efficace sonore minimum qui provoque une sensation auditive est de :

equation   (69)

c'est-à-dire environ equation plus petite que la pression atmosphérique. Il faut tout de même que la fréquence de cette onde se situe autour de 3 [KHz], là où la sensibilité est maximum.

Il est très intéressant de calculer à quelle amplitude efficace de déplacement cela correspond. Nous utilisons alors la relation démontrée plus haut:

equation   (70)

Donc pour le cas limite et à 1 [KHz], aux C.N.T.P., nous aurons un déplacement de (valeurs prises dans les tables C.R.M.):

equation   (71)

et la valeur crête sera donc de:

equation   (72)

Cette valeur est inférieure au rayon des atomes selon le modèle de Dalton. La nature nous a doté d'une organe d'une sensibilité exquise!

Il est facile de calculer à quelle valeur de puissance unité de surface correspond une onde sonore à la limite de l'audition. En utilisant la relation démontrée plus haut, nous obtenons:

equation   (73)

Comme la surface de la section du canal auditif fait moins d'un equation, la puissance qui arrive au tympan est inférieur à equation.

ONDES SPHÉRIQUES

Dans la réalité les ondes sonores sont générées par des sources d'étendue finie. À des distances plus faibles ou comparables à l'étendue de la source, la forme du front d'onde qui s'éloigne de la source peut être très compliqué (imaginez le front d'onde d'un tonnerre provoqué par un éclair tarabiscoté). Mais, loin de la source, elle est vue comme un objet ponctuel et le front d'onde devient de plus en plus sphérique à mesure que l'on s'éloigne de la source.

Si nous regardons un petit morceau de la sphère, la petite surface sphérique sera très peu incurvée et nous pourrons l'assimiler à une surface plane sans faire trop d'erreur. Nous retrouvons les ondes planes que nous avons calcules dans ce chapitre... Mais pas tout à fait!

La différence est que l'énergie transportée par l'onde sonore est distribuée dans une surface qui s'agrandit comme equation (où R est la distance à la source). Donc la puissance par unité de surface doit diminuer comme equation (comme pour les ondes électromagnétiques vues dans le chapitre du même nom) et comme la puissance par unité de surface est proportionnelle à equation ou à equation cela implique que dans une onde sphérique, aussi bien le déplacement equation, que la pression sonore equation, doivent diminuer comme 1/R.

Dans le cas des ondes sinusoïdales il faudra modifier l'équation d'onde:

equation   (74)

en ajoutant un coefficient 1/R. Si nous appelons r la distance entre la source et la position d'observation, et que, à la place de mesurer la position avec x nous le faisons avec r:

equation   (75)

et de même pour la pression sonore:

equation   (76)

ONDES DE CHOC

Les ondes de choc se produisent dans un gaz pour des perturbations très intenses. Par exemple, l'onde du choc du Concorde (bang supersonique) fait au niveau du sol une surpression  d'environ 100 [Pa]. Le son est très fort, de l'ordre de 140 [dB], mais la surpression n'est que d'un millième de la pression atmosphérique! Les ondes à la sortie des armes à feu ont des surpressions de l'ordre de quelques equation.

Nous avons démontré que la vitesse des ondes dans un gaz dépendait de la température mais si nous prenons en compte que les ondes sonores produisent des variations de pression, celles-ci produisent donc elles-mêmes des variations de température (cf. chapitre de Thermodynamique). Donc, une augmentation de pression augmente la température ce qui augmente la vitesse. Pour le cas d'une sinusoïde, les sommets de pression se retrouvent à voyager plus vite que les creux... La sinusoïde se déforme, la pente entre les sommets et les creux de devant augmente ce qui a tendance à créer un front d'onde abrupt entre le partie chaude, derrière le front d'onde et la partie froide juste devant. C'est ce que l'on appelle "onde de choc". Cette onde de choc se propage à la vitesse qui correspond à sa température et qui est supérieure à celle du son normal.

À mesure que le front d'onde se propage, son amplitude diminue et à la fin, l'onde de choc devient une onde sonore normale. Ce qui est remarquable est que les ondes de choc, aussi bien celles en surpression (plus chaudes et plus rapides) que celles en dépression (plus froides et plus lentes) fusionnent avec les ondes qu'elles rattrapent ou qui les rattrapent. En effet, une onde normale qui se fait rattraper par une onde de choc se retrouve à voyager dans une zone chaude dont la vitesse est celle de l'onde qui l'a rattrapée.