COURS DE GÉOMÉTRIES NON-EUCLIDIENNES
Les géométries non-euclidiennes sont toutes les géométries qui satisfont non nécessairement tous les axiomes de Hilbert (cf. chapitre de Géométrie Euclidienne) mais sans en contredire aucune (contrairement aux anciens axiomes d'Euclide et en particulier celui sur les parallèles).
Une représentation particulière de ce type de géométrie consiste à définir les points comme étant répartis sur la surface d'une sphère (ce sont les intersection des diamètres de la sphère avec la surface), et les lignes, pour généraliser le concept de droite, (nous disons maintenant "géodésique"), comme les intersections de la surface de la sphère avec les plans contenant le centre de la sphère. Deux points définissent alors de façon unique une ligne et un point est toujours donné par l'intersection de deux lignes. Cependant, dans cette géométrie, si nous nous donnons une ligne AB et un point P, il n'existe aucune ligne passant par P et ne coupant pas AB. Ainsi, le cinquième postulat d'Euclide n'est pas satisfait car en P nous pouvons tracer aucune parallèle à AB.
(22.1)
En géométrie euclidienne, nous avons étudié un certain nombre de théorèmes relatifs aux plans. Insistons maintenant sur le fait que le "plan" et une figure bidimensionnelle dont la courbure est nulle et plongée dans un espace à 3 dimensions (donc le plan peut dès lors s'orienter). Ceci précisé, il convient peut-être de définir plus rigoureusement ce qu'est le concept intuitif de "courbure".
Définition: Une figure est dite "courbe" s'il existe au moins en un point se situant sur la ou les droites, surfaces, volumes, ... la délimitant une tangente non confondue au délimitateur et donc tangent en un seul point.
C'est Gauss qui en 1824 avait formulé la possibilité qu'il existe des géométries alternatives à celles d'Euclide. Nous distinguons les géométries à "courbure négative", comme celle du russe Nicolaï Lobatchevsky (1829) et Bolyai (1832) (somme des angles d'un triangle inférieurà 180°, nombre infini de parallèles possibles à une droite par un point), des géométries à "courbure positive" comme celle de Riemann (1867) (somme des angles d'un triangle supérieure à 180°, parallèles se rejoignant aux pôles).
Nous allons voir dans ce chapitre différentes géométries non-euclidiennes dont les plus connues sont les "géométries riemanniennes" (à courbure constante) et les "géométries de Lobatchevski" (de type hyperbolique donc à courbure non-constante).
L'intérêt de l'étude de ces géométries est que nous ne pouvons déterminer si l'Univers dans lequel nous vivons est fait d'un type de géométrie plutôt que d'un autre car étant donné notre taille (physique), plongés que nous sommes dans quelque géométrie que ce soit à faible courbure, toute surface de l'espace nous semble localement euclidienne (deux droites parallèles ne se coupent pas). Cependant, la relativité générale, qui fait usage à outrance du calcul tensoriel (généralisation de n'importe quelle géométrie) montre qu'il existe des zones de l'espace où la géométrie est très fortement courbée et donc localement non-euclidienne et seulement l'étude de ce genre de géométries nous permet de tirer des théories expliquant des observations qui ne sont pas exploitables uniquement avec l'intuition humaine.
Avant de nous attaquer de manière formelle et abstraite à certaines géométries non-euclidiennes nous allons d'abord faire une introduction pragmatique et particulière de certains concepts qui ne nous sont pas totalement étrangers car déjà traités dans d'autres chapitres de manière théorique. Une fois cette introduction faite, qui nous sera très utile pédagogiquement parlant, nous aborderons les concepts vus plus rigoureusement.
GÉODÉSIQUE ET EQUATION MÉTRIQUE
Revenons donc sur les concepts de géodésique et courbure dont nous avons souvent fait mention dans le chapitre de Calcul Tensoriel (le fait de ne pas avoir lu ce chapitre ne pose aucun problème normalement à la compréhension de ce qui va suivre).
Considérons la surface bidimensionnelle d'une sphère de rayon R. Etat donnés deux points B et C diamétralement opposés, nous cherchons la plus courte distance s mesurée sur la sphère entre B et C. La courbe obtenue est comme nous le savons une "géodésique", notion qui généralise donc, pour une surface arbitraire, la notion de droite du plan.
(22.2)
Le rayon entre l'axe Oz et l'un des points B ou C est trivialement donné par un peu de trigonométrie élémentaire :
(22.3)
Et donc la moitié du périmètre du cercle à hauteur de B et C sera donné par :
(22.4)
Et nous avons démontré dans le chapitre de Trigonométrie quel le périmètre d'un cercle en fonction de l'angle d'ouverture de ce dernier étant donnée par:
(22.5)
Il vient donc automatique :
(22.6)
Comme 
sur
l'intervalle 
alors 
(il
y a égalité en 
et 
).
Les géodésiques de la sphère sont donc les arcs de grands cercles,
trajets empruntés par les avions pour les vols intercontinentaux,
et correspondent aux lignes obtenues entre la surface de la sphère
et un plan passant par le centre de celle-ci.
Les propriétés géométriques des figures tracées sur la surface d'une sphère ne sont donc plus celles de la géométrie euclidienne. Ainsi, le plus court chemin d'un point B à un point C, sur la surface sphérique, est constitué par un arc de grand cercle passant par les points B et C. Les arcs de grand cercle jouent le même rôle pour la sphère que les droites dans le plan. Ce sont les "géodésiques" de la sphère.
Considérons maintenant deux surfaces bidimensionnelles : la surface de la sphère et celle du cylindre. Etant donnés deux points B et C, nous traçons la courbe géodésique entre ces points :
(22.7)
Le cylindre peut être découpé parallèlement à son axe et déplié à plat. La géodésique apparaît ainsi comme une droite du plan. Nous disons alors que le cylindre est "intrinsèquement plat" (même si sa topologie diffère de celle du plan, il faut en particulier ici éviter que la coupure ne traverse la géodésique). Ce n'est évidemment intuitivement pas le cas de la surface de la sphère.
Dans le cas de la surface cylindrique, nous pouvons définir les
coordonnées cartésiennes du plan 
et 
permettant
d'écrire la longueur s de la courbe (droite) BC sous
la forme du théorème de Pythagore :
(22.8)
La métrique du plan est euclidienne et sous infinitésimale nous obtenons "l'équation métrique euclidienne" :
(22.9)
Sur le cylindre, le changement de variable 
donne
:
(22.10)
Ou sous forme locale :
(22.11)
La surface du cylindre peut ainsi être représentée par des coordonnées cartésiennes analogues à celles du plan, la métrique de la surface du cylindre étant euclidienne sous forme infinitésimale et sous forme globale.
Nous pouvons nous intéresser maintenant au problème d'écrire l'analogue du théorème de Pythagore pour une surface sphérique. L'impossibilité de découper la sphère et de l'aplatir pour épouser un plan suggère des difficultés...
C'est la raison pour laquelle l'équation de la métrique ne peut s'écrire sous forme générale comme le théorème de Pythagore. Effectivement, nous avons vu dans le chapitre de Calcul Tensoriel que celle-ci était donnée par :
(22.12)
Cependant, localement (c'est-à-dire dans une région de petite dimension devant le rayon de la sphère), les propriétés de la sphère peuvent être décrites par des coordonnées cartésiennes d'un plan tangent à sa surface (c'est la propriété essentielle des espaces de Riemann!) tel que l'équation métrique soit localement euclidienne :
(22.13)
En posant 
il
vient alors :
(22.14)
Avec :
(22.15)
Alors que 
sont
les coordonnées de Gauss, 
sont
les coordonnées du plan localement tangent.
Cette petite présentation ayant été faite, passons à un cadre plus général en nous intéressant aux espaces de Riemann.
ESPACES DE RIEMANN
Pour mieux comprendre ce qu'est un espace de Riemann, nous allons de suite passer par un petit exemple d'une surface à deux dimensions (exemple très classique) :
Considérons
une sphère de rayon R,
de surface S,
située dans l'espace ordinaire à trois dimensions. Les coordonnées
cartésiennes x, y,
z d'un
point M de
la surface S peuvent
s'exprimer, par exemple, en fonction des coordonnées
sphériques 
.
La sphère est entièrement décrite pour un rayon donné et 
et
.
Trois tels paramètres, permettent de déterminer un point sur la surface d'une sphère, sont nous le savons (cf. chapitre de Calcul Tensoriel) des coordonnées curvilignes sur la surface ou également dites "coordonnées de Gauss" (Gauss étant un des premiers mathématiciens à s'intéresser à l'étude des corps plongés dans les espaces non-euclidiens). D'autres paramètres quelconques u, v, w peuvent évidemment être choisis comme coordonnées curvilignes sur la surface.
L'élément
linéaire de la surface 
,
carré de la distance entre deux points infiniment voisins M,
M',
s'écrit en fonction des coordonnées sphériques, comme nous
l'avons démontré dans le chapitre de Calcul Tensoriel
:
(22.16)
Nous obtenons ainsi une expression de l'élément
linéaire en fonction des trois seules coordonnées de Gauss .
Nous pourrions bien sûr imposer une étude locale (plan
tangent) afin que l'élément linéaire ne soit plus
fonction que de 
comme
nous l'avons vu plus haut :
(22.17)
Ecrire à l'aide des trois paramètres, la surface de la sphère (considérée comme un espace à deux dimensions) constitue un exemple d'espace de Riemann à deux dimensions.
Dont l'élément linéaire est de la forme générale bien connue (cf. le chapitre de Calcul Tensoriel) :
(22.18)
où les 
sont
les composantes contravariantes du vecteur 
par
rapport au repère naturel 
.
Considérons à présent une surface quelconque de coordonnées
.
Les coordonnées cartésiennes x, y, z de
l'espace ordinaire où se trouve plongée cette surface s'écrivent
de manière générale :
(22.19)
Remarquons par ailleurs que l'équation métrique sous forme tensorielle :
(22.20)
peut s'écrire sous forme développée de la manière suivante (cette relation est démontrée avec une approche géométrique dans le chapitre de Géométrie Différentielle) :
(22.21)
avec :
(22.22)
R1. L'expression donnée ci-dessus de l'élément linéaire s'appelle "forme quadratique fondamentale" de la surface considérée. Les coefficients E, F, G sont des fonctions des coordonnées curvilignes. De manière générale cette surface, considérée comme un espace à deux dimensions, constituera un exemple d'espace de Riemann, pour des coordonnées curvilignes arbitraires.
R2. Les différents espaces de Riemann constituent ce que nous
appelons sous une forme générale (parce qu'il n'y pas que des espaces
de type riemannien à courbure constante) une "variété"
munie d'une métrique riemannienne. Une variété peut être définie
(non formellement), par exemple, par un ensemble de points situés
dans un espace préexistant. De manière générale une surface
donne l'idée d'une variété à deux dimensions. La sphère et le tors
sont des variétés à deux dimensions sans frontière. Un cylindre
de révolution, un paraboloïde hyperbolique, sont des variétés à
deux dimensions ouvertes, avec frontières à l'infini. Mais nous
pouvons aussi envisager des variétés abstraites. C'est le cas par
exemple d'un espace de configuration. Il s'agit alors d'un espace
de points à n dimensions représenté par un ensemble
(ou
noté 
)de
coordonnées généralisées (voir l'introduction au formalisme lagrangien
dans la section de mécanique analytique), ces dernières pouvant
avoir des valeurs comprises dans un domaine fini ou non.
Nous pouvons maintenant mieux définir ce qu'est un espace de Riemann.
Définition: Un "espace
de Riemann"
est une variété à laquelle nous avons attaché une métrique. Cela
signifie que, dans chaque partie de la variété, représentée analytiquement
au moyen d'un système de coordonnées ,
nous nous sommes donné une forme différentielle quadratique
:
(22.23)
qui constitue la métrique de l'espace.
Les coefficients 
ne
sont pas entièrement arbitraires et doivent vérifier, nous l'avons
démontré dans le chapitre de Calcul Tensoriel, les conditions
suivantes :
C1.
Les composantes sont symétriques 
.
C2. Le déterminant de la matrice 
est
différent de zéro.
C3. La forme différentielle de l'élément linéaire,
et par conséquent le concept de distance défini par les , est invariantes vis-à-vis de tout changement de
coordonnées.
C4. Toutes les dérivées partielles d'ordre deux
des existent
et sont continues donc de classe 
.
Un espace de Riemann est donc un espace de points,
chacun étant repéré par un système de n coordonnées
, doté d'une métrique quelconque telle que la forme
différentielle de l'élément linéaire vérifiant les conditions
précédentes.
Cette métrique est dite dès lors "métrique
riemannienne".
R1. Si la métrique est définie positive, c'est-à-dire
si 
pour tout vecteur 
non
nul, nous disons que l'espace est "proprement
riemannien".
Dans ce cas, le déterminant de la matrice est
strictement positif et toutes les valeurs propres de la matrice
sont
strictement positives.
R2. Par définition, nous disons qu'une métrique
d'un espace est euclidienne lorsque tout tenseur fondamental de
cet espace peut être ramené, par un changement approprié de coordonnées,
à une forme telle que (cf. chapitre de Calcul
Tensoriel) la base
orthonormée canonique : 
.
R3. La définition des espaces riemanniens montre que l'espace euclidien est un cas très particulier de ces espaces. Il n'existe donc qu'un seul espace euclidien alors que nous pouvons créer une infinité d'espaces riemanniens.
