TRIANGLES



COURS DE GÉOMÉTRIE EUCLIDIENNE

1. Objets de la géométrie euclidienne

1.1. Dimensions

2. Constructions d'Euclide

2.1. Postulats d'Euclide

2.2. Droites et Segments

2.2.1. Grandeurs de même espèces

2.3. Plan

2.3.1. Déplacements et retournements

2.4. Angles

2.4.1. Mesure des angles

2.4.2. Unités de mesure des angles

2.4.3. Bissectrice

2.5. Triangles

2.5.1. Triangles égaux

2.5.2. Triangles isocèles

2.5.3. Triangles équilatéraux

2.5.4. Triangles rectangles

2.5.5. Triangles rectangles-isocèles

2.5.6. Inégalités dans les triangles

2.5.7. Théorème de Pythagore

2.5.8. Théorème de Thalès

2.6. Parallèlisme

2.7. Cercles

3. Axiomes de Hilbert

3.1. Axiomes d'associations

3.2. Axiomes d'ordre

3.3. Axiomes de congruence

3.4. Axiomes de continuité

3.5. Axiome des parallèles

4. Barycentre

5. Transformations

5.1. Translation

5.2. Homothétie

5.3. Rotation

5.4. Réflexion

Nous avions étudié jusqu'à présent le concept de dimensions, de point, de segment, de ligne, d'angle et de plan ouvert (infini). Cependant un plan peut-être délimité par plusieurs lignes pour obtenir ainsi des formes géométriques (planes) dont les plus simples peuvent être considérées comme les triangles.

Définition: Nous appelons "triangle" la figure formée par trois segments AB, BC, CA, les points A,B,C n'étant pas alignés. Les segments AB, BC, CA,  sont les "côtés" du triangle. Les points A,B,C sont les "sommets" du triangle. L'angle saillant equation, qui contient toues les points du côté BC, s'appelle angle equation du triangle et BC est alors sont "côté opposé".

Remarque: Nous employons la notation equation lorsque aucune confusion n'est possible; à défaut, nous utilisons la notation equation avec le même sens.

Il y a six éléments dans un triangle, à savoir : trois angles equation,equation,equation et trois côtés AB, BC, CA.

Nous désignerons par equation, equation, equation les longueurs des côtés mesurés avec la même unité; par equation,equation,equation, les mesures des angles.

La somme des angles d'un triangle plan est toujours égale à 180° (ou equation radians). La démonstration est assez simple.

Démonstration:

Sur la figure ci-dessous, ABC est un triangle quelconque, et D la parallèle à (BC) qui passe par A. Nous observons :

1. Les angles bleus ont même mesure car ils sont alternes-internes (les droites (BC) et D étant parallèles).

Remarque: Pour la démonstration de l'égalité des angles alternes-internes voir plus loin le quatrième axiome d'Euclide.

2. De même, les angles verts ont même mesure car ils sont alternes-internes.

3. Nous remarquons que la somme des angles bleu + rouge + vert forme un angle plat en A, puisque D est une droite. Donc angle bleu + angle rouge + angle vert = 180°.

4. D'après les égalités d'angles constatées en (1.) et (2.), nous déduisons que :

 equation

ABC5.gif (1470 octets)
  (21.51)

Cette démonstration étant valable quel que soit le triangle tracé dans le plan.

equationC.Q.F.D.

TRIANGLES ÉGAUX

Définitions: Nous disons que deux triangles sont des "triangles égaux" lorsque nous pouvons par un déplacement soit par un retournement ou les deux combinés, superposer tous les sommets du premier triangle au deuxième. Nous disons alors aussi que les triangles sont des "triangles homologues"

De cette définition, il vient que deux triangles sont égaux lorsque soit:

1. Ils ont un côté égal et deux angles égaux

2. Deux côtés égaux et un angle égal (réciproque de (1.))

Démonstrations:

Premier cas d'égalité : Deux triangles qui ont un côté égal BC=B'C', compris entre deux angles égaux equation, sont égaux.

Puisque BC=B'C' (voir figure ci-dessous), il existe un déplacement qui amène B' en B et C' en C. Ce déplacement amène A' en equation situé du même côté par rapport à la droite BC, ou enequation symétrique de equation par rapport à cette droite.

Les deux demi-droites BA et equation font par hypothèse, avec BC le même angle equation. Comme elles sont par construction d'un même côté de BC, elles sont confondues. Les deux demi-droites CA et equation sont confondues pour la même raison et parce que equation. equation est donc confondu avec A. Les deux triangles ABC, A'B'C' sont donc égaux.

equation
  (21.52)

Deuxième cas d'égalité : Deux triangles qui ont un angle égal equation compris entre deux côtés égaux AB=A'B', AC=A'C' sont égaux.

Puisque AB=A'B' (voir figure ci-dessous) il existe un déplacement situé par rapport à AB du même côté que le point.  S'il l'amenait en equation symétrique de equation par rapport à AB, un demi-tour autour de AB l'amènerait en equation. Les demi-droites equation situées d'un même côté de AB font, par hypothèse le même angle avec AB, puisque equation. Elles sont donc confondues. L'hypothèse equation entraîne alors que equation et equation sont confondus. Les deux triangles ABC, A'B'C' sont donc égaux.

equation

  (21.53)

equationC.Q.F.D.

TRIANGLES ISOCÈLES

Définition: Nous disons qu'un triangle ABC est un "triangle isocèle" lorsque deux de ses côtés sont égaux ("iso" signifiant "même") AB et AC sont égaux. Le troisième côté BC est alors appelé la "base" de ce triangle.

Remarque: Nous disons qu'un triangle est "scalène" quand il n'est pas isocèle.

Définition: Nous appelons "médiatrice" d'un segment BC, la perpendiculaire à la droite BC au point H de cette droite, milieu de BC.

equation
  (21.54)

Théorème : Dans un triangle isocèle ABC comme représenté ci-dessus:

1. Les angles equation et equation opposés aux côtés égaux sont égaux

2. La médiatrice de BC et la bissectrice de l'angle equation sont confondus (figure ci-dessus)

Démonstration:

Les deux triangles BAH, CAH définis par la bissectrice de equation ont un angle égal equation par construction compris entre deux côtés égaux : AH qui est commun et AB=AC par hypothèse. Comme les angles equation sont droits et égaux et que la somme des angles d'un triangle est égal à un angle plat, alors les angles equation et equation sont donc égaux.

equationC.Q.F.D.

Théorème: Le lieu géométrique des points M équidistants (à même distance) de deux points B et C donnés est la médiatrice (D) du segment BC.

Remarque: Nous appelons "lieu géométrique" d'un point M, assujetti à des conditions, l'ensemble des positions occupées par le point M.

Démonstration:

equation
  (21.55)

1. Tout point du lieu est sur la droite (D). Autrement dit, l'hypothèse MB=MC entraîne que M est la médiatrice de BC. En effet, si MB=MC, le triangle MBC est isocèle et le sommet M est sur la médiatrice de BC.

2. Tout point de (D) est un point du lieu. Ce qui revient à dire que si M est sur la médiatrice de BC, nous avons MB=MC. En effet, si M est sur la droite (D) qui rencontre en H, milieu de BC, la droite BC, les triangles MHB, MHC sont égaux (deuxième cas d'égalité : equation parce que ces angles sont droits, HM commun; HB=HC parce que H est le milieu de BC) : les côtés MB, MC sont donc égaux et nous avons bien MB=MC. Le point M est un point du lieu.

equationC.Q.F.D.

A l'aide de ce théorème nous pouvons en énoncer un second : Par un point A pris hors d'une droite BC, nous pouvons mener à cette droit une seule et unique perpendiculaire :

Démonstration:

1. Soit un triangle ABC, faisons subir à ce triangle un demi-tour autour de BC (symétrie horizontale) : A vient en A' symétrique de A par définition, par rapport à BC. Puisque les figures ABC, A'BC sont égales, AB=A'B et AC=A'C . BC est donc la médiatrice de AA' et les droites BC et AA' sont perpendiculaires. AA' est donc bien une perpendiculaire à BC menée par A.

2. Nous ne pouvons en mener plusieurs : soit AH une perpendiculaire menée de A à BC, elle rencontre la droite BC en H qui est différent soit de B, soit de C. Supposons que H soit différente de B. equation qui se déduisent l'un de l'autre par retournement, sont égaux, et, comme chacun d'eux est droit, l'angle equation est plat. La droite AH est confondue avec la droite AA' est donc bien la seule perpendiculaire à BC qui passe par A.

equationC.Q.F.D.

Définitions:

D1. Nous appelons "projection orthogonale" d'un point A sur une droite BC le point H où la perpendiculaire menée par A à cette droite la rencontre. Le point H s'appelle aussi "pied" de cette perpendiculaire.

D2. Nous appelons "distance géométrique" du point A à la droite BC la longueur du segment AH.

Puisque BC est la médiatrice de AA', H est le milieu de AA'; donc : Un point A et son symétrique A' par rapport à une droite (D) sont caractérisés par les deux propriétés suivantes :

P1. AA' est perpendiculaire à (D)

P2. Le milieu de AA' est sur (D)

La droite AB, qui joint le point A à un point de la droite BC, autre que le pied H de la perpendiculaire menée de A à cette droite, s'appelle "droite oblique". Le point B s'appelant "pied l'oblique". 

TRIANGLES ÉQUILATERAUX

Définition: Nous disons qu'un triangle ABC est un "triangle équilatéral" lorsque tous ses côtés sont de longueur égales ou que tous ses angles equation sont égaux. Chacun de ces côtés est donc une base.

equation
  (21.56)

Remarque: Nous prenons  pour habitude d'annoter les côtés égaux par deux traits parallèles disposés au milieu de la base.
Comme la somme des trois angles de ce triangle doit faire 180° (en degrés) et que les trois angles ont même mesure, chacun d'eux mesure donc : 180°/3 soit 60°.

TRIANGLES RECTANGLES

Définition: Un "triangle rectangle" est un triangle ABC qui a un angle droit :

equation
  (21.57)

Dire que le triangle est rectangle en A signifie c'est en equationse trouve l'angle droit.

Remarque: Dans un triangle rectangle, le côté le plus grand est toujours le côté opposé à l'angle droit. Nous l'appelons "l'hypoténuse". Nous démontrons cette propriété avec le théorème de Pythagore (voir plus bas).

TRIANGLES RECTANGLES-ISOCÈLES

Définition: Un "triangle rectangle-isocèle" ABC est à la fois rectangle et isocèle, ce qui signifie qu'il a à la fois un angle droit et deux côtés de même longueur.

equation
  (21.58)

Remarques: Le sommet principal correspond à l'angle droit. En effet, comme BC, l'hypoténuse, doit être le côté le plus grand, ce sont les côtés AB et AC qui ont même longueur (plus petite).

INÉGALITÉS DANS LES TRIANGLES

Voyons maintenant quelques inégalités (propriétés) intéressantes dans le triangle.

P1. Montrons d'abord que dans tout triangle, un côté opposé à un angle droit ou obtus (supérieur à 90° donc...) est supérieur à chacun des deux autres côtés du triangle.

Démonstration:

Considérons le triangle ABC ci-dessous dans lequel equation et soit Cx le prolongement du côté BC. Portons, sur la demi-droite Bx, une longueur equation pour construire un triangle isocèle dans le triangle initiale:

equation
  (21.59)

Le triangle BAD est donc un triangle isocèle de base AD dont l'angle à la base BAD est bien évidemment aigu (inférieur à 90°).

Donc par construction equation. La droite AD est intérieure par construction à l'angle equation et par suite:

equation   (21.60)

et comme equation par construction nous avons donc:

equation   (21.61)

Ce qui terme notre démonstration. Car la démarche est la même pour montrer que equation.

equationC.Q.F.D.

P2. Dans tout triangle dont les côtés ont des longueurs strictement croissantes, alors un côté est toujours inférieur à la somme des deux autres.

Démonstration:

Supposons que dans le triangle ABC ci-dessous les côtés equation soient tels que equation:

equation
  (21.62)

Soient D le point du côté BC tel que equation soit les côtés du triangle isocèle construit ABD. Nous obtenons:

equation   (21.63)

Le triangle ABD étant isocèle, l'angle à la base equation est aigu et son supplément equation est obtus. Dans le triangle ADC, nous obtenons d'après la propriété P1 précédente que equation, c'est-à-dire:

equation   (21.64)

ou:

equation   (21.65)

il s'agit de la fameuse "inégalité triangulaire" sous forme géométrique. Nous la retrouverons dans de nombreux autres chapitres du site dans des espaces et des concepts mathématiques plus abstraits.

La propriété est alors immédiate pour les autres côtés b et c par permutation de la méthode:

equation   (21.66)

equationC.Q.F.D.

P3. Dans tout triangle un côté quelconque est supérieur à la différence des deux autres.

Démonstration:

Supposons que nous ayons equation. En retranchant c aux deux membres de l'inégalité:

equation   (21.67)

il vient immédiatement:

equation   (21.68)

La propriété est alors immédiate pour les autres côtés b et c par permutation de la méthode:

equation   (21.69)

En définitive puisque:

equation et equation   (21.70)

pour tout triangle à côtés croissants nous avons:

equation   (21.71)

equationC.Q.F.D.

THÉORÈME DE PYTHAGORE

Maintenant que nous avons vu ce qu'était le triangle et certaines de ses propriétés ainsi que le concept d'angle, nous pouvons démontrer le fameux "théorème de Pythagore" (qui donne donc la relation que doivent satisfaire trois nombres qui représentent les côtés d'un triangle rectangel) et faire de la trigonométrie du cercle (cf. chapitre de Trigonométrie).

Il existe plusieurs démonstrations de ce théorème dont en voici une parmi tant d'autres :

Démonstration:

Soit un carré (4 angles droit)  dans lequel est inscrit un autre carré, nous déterminons la surface du carré inscrit à partir des triangles rectangles résultants de l'espace vide entre les deux carrés tel que présenté sur la figure ci-dessous :

equation

  (21.72)

La surface du carré blanc est bien sûr :

equation   (21.73)

Pour avoir la surface du carré gris on peut soustraire au carré blanc la surface des 4 triangles rectangles (d'une surface de moitié de celle d'un quadrilatère de même longueur et hauteur), chacun de surface : 

equation   (21.74)

La surface du carré gris est donc finalement : 

equation   (21.75)

Après simplification, Le résultat obtenu étant équivalent au carré des côtés de la surface grise, avons le résultat du fameux "théorème de Pythagore" :

equation   (21.76)

equationC.Q.F.D.

Remarque: C'est au chinois Tchao Kiung K'ing (2ème siècle) que l'on doit cette démonstration.

THÉORÈME DE THALÈS

Ayant démontré le théorème de Pythagore et maintenant que les concepts de parallèles, segments, angles et autres nous sont connus, nous pouvons enfin démontrer le théorème de Thalès dont voici une possible démonstration qui nécessite d'abord le développement de deux lemmes :

L1. Triangles de même surface

Soit la figure:

equation
  (21.77)

Nous avons:

equation   (21.78)

EFGH est un rectangle car ses côtés sont parallèles deux à deux et il a au moins deux angles droits. Donc ses côtés opposés ont même longueur: EH=FG.

equation est la hauteur relative à equation dans le triangle EAB et FG est la hauteur relative à equation dans le triangle FAB.

La surface du triangle ne dépend que de la longueur du côté et de la longueur de la hauteur relative à ce côté. Pour les deux triangles EAB et FAB, ces longueurs sont égales, donc ils ont la même surface.

Conclusion: Si deux triangles ont un côté commun et si les troisièmes sommets sont une parallèle à ce côté commun, alors ils ont la même surface.

L2. Rapports égaux

Soit le rapport de proportions ("calcul proportionnel" ou "produit en croix"):

equation   (21.79)

alors:

equation   (21.80)

Si ad=bc, alors ad+cd=bc+cd (nous ajoutons un même nombre positif ou négatif aux deux membres). D'où après factorisation:

equation   (21.81)

et en appliquant inversement la règle des produits en croix:

equation   (21.82)

Exposons maintenant en quoi consiste le théorème de Thalès :

Soit la figure:

equation
  (21.83)

Avec:

equation   (21.84)

Nous avons montré précédemment que si deux triangles ont un côté commun et si les troisièmes sommets son sur une parallèle, alors ils ont la même surface. Donc les triangles ACD et BCD ont la même surface.

En ajoutant à chacune de ces deux surfaces celle du triangle OCD, nous obtenons que les triangles ODA et OCB ont la même surface.

Nous en déduisons que en utilisant à nouveau le rapport en croix:

equation   (21.85)

Soit equation la hauteur issue de D dans le triangle OCD et equation la hauteur issue de C dans le triangle OCD:

equation et equation   (21.86)

Conclusion:

equation   (21.87)

Soit maintenant la figure:

equation
  (21.88)

Les triangles IJD et IDB ont la même surface d'après le lemme 1, ainsi que les triangles OJD et OIB donc :

equation   (21.89)

d'où :

equation    (21.90)

et donc :

equation   (21.91)

De la même manière dans les triangles OIA et OCJ, nous obtenons :

equation   (21.92)

D'après le lemme 2, comme :

equation   (21.93)

alors :

equation   (21.94)

Donc finalement en reprenant tous les résultats obtenus:

equation   (21.95)

qui constitue le "théorème de Thalès" des rapports.

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