TRANSFORMATIONS



COURS DE GÉOMÉTRIE EUCLIDIENNE

1. Objets de la géométrie euclidienne

1.1. Dimensions

2. Constructions d'Euclide

2.1. Postulats d'Euclide

2.2. Droites et Segments

2.2.1. Grandeurs de même espèces

2.3. Plan

2.3.1. Déplacements et retournements

2.4. Angles

2.4.1. Mesure des angles

2.4.2. Unités de mesure des angles

2.4.3. Bissectrice

2.5. Triangles

2.5.1. Triangles égaux

2.5.2. Triangles isocèles

2.5.3. Triangles équilatéraux

2.5.4. Triangles rectangles

2.5.5. Triangles rectangles-isocèles

2.5.6. Inégalités dans les triangles

2.5.7. Théorème de Pythagore

2.5.8. Théorème de Thalès

2.6. Parallèlisme

2.7. Cercles

3. Axiomes de Hilbert

3.1. Axiomes d'associations

3.2. Axiomes d'ordre

3.3. Axiomes de congruence

3.4. Axiomes de continuité

3.5. Axiome des parallèles

4. Barycentre

5. Transformations

5.1. Translation

5.2. Homothétie

5.3. Rotation

5.4. Réflexion

Les transformations dans le plan (et plus) sont habituellement définies rigoureusement à l'aide de la théorie des groupes (cf. chapitre d'Algèbre Ensembliste). Mais dans le cadre de la géométrie euclidienne, cette approche ne nous intéressera pas. Nous ferons donc dans ce chapitre uniquement une approche très peu formelle (donc plus intuitive) aux transformations élémentaires dans le plan que sont : la translation, l'homothétie et la rotation.

Remarque: Par définition, "l'isométrie" est une transformation qui conserve les distances et les aires. Comme nous le verrons ci-après, la translation, la rotation et la réflexion sont des isométries, l'homothétie n'étant elle pas du tout une isométrie dans le plan.

TRANSLATION

Soit une droite dans un plan P sur laquelle deux points A et B définissent un segment de la droite noté equation

Définition: Une "translation" T ("déplacement" dans une direction donnée comme disait Euclide) de ce segment de droite associe à chaque point A et B de nouveaux points A'B' tels que equation. Nous pouvons donc restreindre la notion de translation à un point uniquement tel que nous puissions écrire mathématiquement:

equation   (21.119)

Autrement dit, une fonction de transformation de type translation de l'ensemble du plan à lui-même associe à chaque pré-image au plus une seule et unique image. La translation est donc une fonction bijective. Nous pouvons donc définir une application de transformation réciproque notée equation telle que (rappel de ce qui a été vu en arithmétique) : 

equation   (21.120)

Nous disons par définition qu'un point est "invariant par translation" si et seulement si : 

equation   (21.121)

Dans un autre type de formalisme, le déplacement du point A au point B selon le vecteur equation est appelé "translation de vecteur" equation (cf. chapitre de Calcul Vectoriel). Elle se traduit mathématiquement par la somme des coordonnées du point et de la matrice des coordonnées du vecteur.

Par exemple dans un espace à trois dimensions:

equation   (21.122)

La translation n'étant pas une transformation linéaire (cf. chapitre d'Algèbre Linéaire), nous ne pouvons nous autoriser à la représenter par la multiplication d'une matrice carrée comme nous le verrons pour les autres transformations suivantes.

Il faut pour cela passer alors par un artifice consistant à utiliser un système appelé les coordonnées homogènes (cf. chapitre de Géométrie Projective) où les points du plan sont représentés par un vecteur à trois composantes (et respectivement ceux de l'espace par un vecteur à quatre dimensions):

equation avec equation   (21.123)

Dans le cadre de l'étude de la translation nous posons equation car dans ce cas:

equation   (21.124)

Ce système de coordonnées homogènes est applicable à toutes les autres transformations que nous verrons par la suite en rajoutant à chaque fois une coordonnée (cf. chapitre de Géométrie Projective).

Remarque: Une translation envoie une droite sur une droite parallèle (parallèle à l'originale bien évidemment!).

HOMOTHÉTIE

Soit une forme quelconque dans le plan (point, droite, ovale, polygone,...), un nombre R, et un point C placé à un endroit prédéfini. 

Définition: Une "homothétie" (appelée aussi "changement d'échelle") H de rapport R et de centre C est l'application qui à chaque point M de la forme associe au segment equation un nouveau point colinéaire à equation mais disposé à une distance supérieure ou inférieure de rapport R par rapport au centre C tel que  equation

Nous pouvons restreindre la notion d'homothétie à un segment de droite tel que nous puissions écrire mathématiquement:

equation   (21.125)

Autrement dit, une fonction de transformation de type homothétie de l'ensemble du plan à lui-même associe à chaque pré-image au plus une seule et unique image. L'homothétie est donc une fonction bijective. On peut donc définir une application de transformation réciproque notée equation telle que :

equation   (21.126)

Si equation, alors C est le seul point invariant. Si equation, alors tous les points sont invariants et l'homothétie est dite de type "homothétie identité". Si equation, alors nous disons alors que nous avons une "symétrie centrale". La symétrie centrale est donc une rotation de 180°.

Dans un autre type de formalisme, une homothétie de centre O et de rapport k, associe au point A un point B tel que equation. Le point B se trouvant sur la droite OA et à une distance equation. Le signe de k détermine la position de B par rapport à O :

equation

equation
  (21.127)

Nous nous permettons maintenant de faire un petit passage dans la géométrie spatiale (le saut n'étant pas bien grand et nécessitant juste la connaissance du calcul vectoriel et de l'algèbre linéaire) :

Nous pouvons également remplacer le scalaire k par une matrice carrée tel que:

equation   (21.128)

Une solution triviale pour obtenir une homothétie est de poser que equation d'où la forme matricielle diagonale évidente de k :

equation   (21.129)

Cette matrice est appelée "matrice de transformation par homothétie de centre O (origine du repère) et de rapport k" et donc l'homothétie étant une matrice diagonale commute avec toute application linéaire.

Dans le cas présenté précédemment, l'homothétie conserve les formes dans toutes les axes (sa géométrie est invariante par transformation) nous utilisons en effet le même facteur k pour tous les axes. Mais nous pourrions également utiliser la matrice suivante:

equation   (21.130)

qui elle déformerait l'objet selon un facteur différent pour chaque axe.

Ou encore faire un cisaillement dans le plan qui déforme la géométrie selon l'axe x, par exemple avec equation :

equation

equation
  (21.131)

La transformation inverse de l'homothétie est bien évidemment l'homothétie de centre O et de rapport equation soit sous la forme d'une matrice:

equation   (21.132)

Lorsque le centre d'homothétie ne coïncide pas avec l'origine du repère choisi (ce qui arrive quasiment tout le temps), la procédure de calcul des coordonnées du point image est très simple. Il faut :

1. Réaliser une translation pour faire correspondre le centre de l'homothétie avec l'origine du repère et appliquer cette translation à tous les points en jeu.

2. Réaliser l'homothétie proprement dite comme décrit précédemment (le centre est l'origine du repère).

3. Réaliser la translation inverse pour ramener le centre et l'image à sa place.

ROTATION

Soit une forme quelconque dans le plan (point, droite, ovale, polygone), un nombre equation, et un point C placé à un endroit prédéfini.

Définition: Une "rotation" R d'angle equation et de centre C l'application qui à chaque point M de la forme associe au segment equation un nouveau point mais ayant subie une rotation positive ou négative d'angle equation et de centre C tel que equation et equation ont même longueur mais pas même direction.

De cette définition, il ressort que l'axe de rotation d'un objet est le lieu de points de cet objet qui restent immobiles.

Remarque: La rotation est également, de manière plus savante, une application bijective dans le plan, nous pouvons donc également définir une application de transformation réciproque notée equation.

Si equation, alors C est le seul point invariant. Si equation (avec equation), alors tous les points sont invariants et la rotation est dite de type "rotation identité". Si nous choisissons un système d'axes perpendiculaires adéquat tel que leur intersection se confonde avec C et que equation alors R est dite une "rotation de symétrie centrale".

Dans un autre type de formalisme, la rotation s'exprime de manière beaucoup plus rigoureuse. Nous allons nous aider du dessin d'un cercle de rayon unité (donc dans le plan) pour étudier ce type de transformation. Nous allons considérer le premier cas ou l'origine du repère et de la translation son confondus :

equation
  (21.133)

A' est l'image A par la rotation de centre O et d'angle equation.

Nous avons dans le plan pour le point A (cf. chapitre de Trigonométrie) :

 equation  (21.134)

et identiquement pour le point A' :

equation  (21.135)

avec equation.

Ce qui nous amène à écrire:

equation   (21.136)

Identiquement (en sa basant sur le fait les relations trigonométriques élémentaires présentées dans le chapitre de Trigonométrie du site sont connues), nous trouvons :

equation   (21.137)

ce qui nous permet d'écrire la matrice de rotation dans le plan (en s'imaginant que l'axe Z sort de la feuille):

equation   (21.138)

La transformation inverse consiste très simplement à la rotation de centre O (le même qu'auparavant) et d'angle equation soit (nous utilisons à nouveaux les relations trigonométriques évidentes des angles opposés):

equation   (21.139)

Lorsque nous souhaitons procéder à une rotation autour d'un point quelconque, tout comme pour l'homothétie, il convient de réaliser une translation de vecteur equation (H étant l'origine du repère de l'homothétie ) pour faire confondre O et H, puis de réaliser la rotation simple autour de H, et enfin de ramener O (confondu alors avec H) à son point de départ.

Lors de la rotation d'un objet dans l'espace (nous profitons de la lancée... car nous en aurons besoin dans plusieurs chapitres relatifs à la physique), la transformation est assez similaire à la précédente.

Effectivement, lors d'une rotation d'angle equation, autour de l'axe Z la coordonnée z ne change pas. Ce qui nous amène à écrire la matrice de rotation dans l'espace tridimensionnel par rapport au plan x, y comme étant :

equation   (21.140)

equation

La philosophie est ensuite toujours la même relativement aux autres axes :

Rotation autour l'axe X d'angle equation :

equation   (21.141)

equation

Rotation autour de l'axe Y d'angle equation :

equation   (21.142)

equation

Nous avons donc finalement trois matrices de rotation correspondant chacune à un des plans equation de l'espace tridimensionnel.

Ces trois matrices font partie du groupe des matrices d'ordre trois, noté "SO(3)" et appelé par les physiciens et mathématiciens "groupe de rotations spatiales SO(3)". Une rotation quelconque peut donc être représentée par la matrice produit résultant du produit de ces trois matrices.

Toute rotation consiste ensuite en une composition des ces trois rotations mais il est important que le lecteur se souvienne du chapitre d'Algèbre Linéaire où nous avions vu que la multiplication matricielle n'est pas commutative. Ainsi, tourner autour de l'axe X de 90° et ensuite autour de l'axe Z de 90° n'est pas équivalent à faire tourner d'abord selon l'axe Z et ensuite selon l'axe X du même angle comme le montre l'image ci-dessous:

equation
  (21.143)

Enfin, pour obtenir la matrice qui compose un cas particulier des trois rotations voici par exemple les commandes à fournir dans Maple:

>X:=array([[1,0,0],[0,cos(theta),sin(theta)],[0,-sin(theta),cos(theta)]]);
>Y:=array([[cos(lambda),0,-sin(lambda)],[0,1,0],[sin(lambda),0,cos(lambda)]]);
>Z:=array([[cos(phi),sin(phi),0],[-sin(phi),cos(phi),0],[0,0,1]]);
>evalm(X&*Y&*Z);

Si nous cherchons à réaliser la composition d'une rotation R et d'une homothétie d'échelle H (dans cet ordre) la matrice de transformation sera : 

equation   (21.144)

Remarques:

R1. Nous rappelons (cf. chapitre d'Algèbre Linéaire) que la multiplication de 2 matrices n'est pas commutative.

R2. La similitude directe de centre C, de rapport R et d'angle equation est la composée de l'homothétie de centre C et de rapport R et de la rotation de centre C et d'angle equation. Nous renvoyons le lecteur au chapitre sur les Nombres pour revoir que les nombres complexes permettent formellement d'opérer avec les opérations d'addition et de multiplication à des similitudes (directes ou rétrogades).

R3. Nous pouvons faire des rotations beaucoup plus puissantes et variables à l'aide des nombres quaternions (ou "hypercomplexes"). Pour plus d'informations le lecteur se reportera au chapitre sur les Nombres.

RéFLEXION

Définition: La "réflexion", appelée également "symétrie axiale", notée equation (en géométrie) par rapport à la droite equation est l'application qui associe à chaque point M extérieur à equation le point M' tel que equation soit la médiatrice de MM '. Si M appartient à equation, alors equation.

Mathématiquement cela s'écrit:

equation   (21.145)

Autrement dit, une fonction de transformation de type réflexion de l'ensemble du plan à lui-même associe à chaque pré-image au plus une seule et unique image. La réflexion est donc une fonction bijective. Nous pouvons donc définir une application de transformation réciproque notée equation telle que:

equation   (21.146)

Remarque:Tous les points de equation sont trivialement invariants par la réflexion dans le plan.

Sous forme matricielles les réflexions du plan sont extrêmement simple à formaliser en utilisant l'algèbre linéaire (voir chapitre du même nom) comme le montrent les exemples ci-dessous:

- Réflexion par rapport à l'axe des Y:

equation

equation
  (21.147)

- Réflexion par rapport à l'axe des X:

equation

equation
  (21.148)

- Réflexion par rapport à l'origine:

equation

equation
  (21.149)