PARALLéLISME



COURS DE GÉOMÉTRIE EUCLIDIENNE

1. Objets de la géométrie euclidienne

1.1. Dimensions

2. Constructions d'Euclide

2.1. Postulats d'Euclide

2.2. Droites et Segments

2.2.1. Grandeurs de même espèces

2.3. Plan

2.3.1. Déplacements et retournements

2.4. Angles

2.4.1. Mesure des angles

2.4.2. Unités de mesure des angles

2.4.3. Bissectrice

2.5. Triangles

2.5.1. Triangles égaux

2.5.2. Triangles isocèles

2.5.3. Triangles équilatéraux

2.5.4. Triangles rectangles

2.5.5. Triangles rectangles-isocèles

2.5.6. Inégalités dans les triangles

2.5.7. Théorème de Pythagore

2.5.8. Théorème de Thalès

2.6. Parallèlisme

2.7. Cercles

3. Axiomes de Hilbert

3.1. Axiomes d'associations

3.2. Axiomes d'ordre

3.3. Axiomes de congruence

3.4. Axiomes de continuité

3.5. Axiome des parallèles

4. Barycentre

5. Transformations

5.1. Translation

5.2. Homothétie

5.3. Rotation

5.4. Réflexion

Définition: Nous appelons "parallèles" deux droites également distantes l'une de l'autre sur toute leur longueur.

Ce concept est directement relié au cinquième postulat d'Euclide et est souvent considéré comme le plus important ayant été montré qu'il ne peut être considéré comme un axiome car n'étant pas respecté dans les géométries non-euclidiennes (cf. chapitre de Géométries Non-Euclidiennes)

Conséquence de ce postulat sont les suivantes dans une géométrie euclidienne :

1. Si deux droites (AB) et (CD) sont parallèles, toute droite (E'F') qui coupe l'une coupe l'autre.

Démonstration:

Soit F le point commun à la droite (CD) et à la droite (E'F'): si la droite (E'F') ne coupait pas la droite (AB), elle lui serait parallèle, et par le point F passeraient deux droites (CD) et (E'F') parallèles à une même troisième (AB), ce qui n'est pas le cas. Donc, la droite (E'F'), coupe la droite (AB).

equationC.Q.F.D.

2. Deux droites (AB) et (CD) parallèles à une même troisième (E'F') sont parallèles entre elles.

Démonstration:

Si la droite (CD) n'était pas parallèle à la droite (AB), elle la couperait : elle couperait aussi la droite (E'F') parallèle à la droite (AB), elle ne serait donc pas parallèle à (E'F').

equationC.Q.F.D.

Théorème : Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante :

1. Les angles alternes-internes sont égaux

2. Les angles alternes-externes sont égaux

3. Les angles correspondants sont égaux

Démonstration:

Soient deux parallèles AB et CD et la sécante EF :

equation
  (21.96)

1. Par le milieu O de EF menons la perpendiculaire GH à AB, qui est aussi perpendiculaire à CD. Les triangles rectangles EOG et FOH ont un angle aigu égal à, equation et l'hypoténuse égale, OF=OE. Ils sont égaux, et les angles equation et equation sont égaux.

2. Les angles alternes externes equation et equation sont égaux, car equation est opposée par le sommet à l'angle equation, qui est alterne interne avec l'angle equation.

equationC.Q.F.D.

Réciproque : Si deux droites sont coupées par une sécante qui forme avec ces droites :

- Soit deux angles alternes internes égaux

- Soit deux angles alternes externes égaux

- Soit deux angles correspondants égaux, ces deux droites sont parallèles

alors ces deux droites sont parallèles.

Remarque: Pour démontrer le parallélisme de deux droites, il faut et il suffit que les angles alternes internes, alternes externes ou correspondants, formés par ces deux droites avec une sécante, soient égaux.

CERCLES

Définition: Nous appelons "cercle" le lieu géométrique des points M du plan qui sont à une distance donnée R, appelée "rayon" de ce cercle, d'un point fixe O, appelé "centre" de ce cercle.

OM=R   (21.97)

Remarque: Le mot "rayon" désigne soit le segment OM, soit sa mesure R.

Les cercles sont directement concernés par le troisième postulat d'Euclide que nous avions énoncé. plus haut.

Nous appelons "diamètre" d'un cercle toute droite qui passe par le centre O du cercle. Tout diamètre rencontre le cercle en deux points A et B, définis par OA=OB=R, que nous appelons "extrémités du diamètre". Nous réservons la notation"diamètre AB" pour le diamètre d'extrémités A et B. Nous disons que deux points d'un cercle sont "diamétralement opposés" quand ils sont les deux extrémités d'un même diamètre.

Un cercle divise le plan en deux régions : celle qui contient le centre, que nous appelons "région intérieure", et celle qui ne le contient pas, que nous appelons "région extérieure".

Théorème : La condition nécessaire et suffisante pour qu'un point P soit strictement intérieur à un cercle (O), de centre (O) et de rayon R, est equation.

Démonstration:

1. La condition est nécessaire : Si, par hypothèse, P est à l'intérieur du cercle (O), il est situé soit en O, soit entre les extrémités A et B du diamètre délimité par le lieu géométrique des points M. S'il est en O, la proposition est évidente, s'il n'est pas en O, il est entre O et A par exemple, et nous avons equation, c'est-à-dire equation.

2. La condition est suffisante : Si, par hypothèse equation, P se trouve entre les extrémités A et B des lieux géométriques définis par les points M, donc à l'intérieur du cercle (O).

equationC.Q.F.D.

Corollaires : la condition nécessaire et suffisante pour que P soit extérieur au cercle (O) est equation.

Nous appelons "corde" CD d'un cercle le segment dont les extrémités C et D sont  sont sur ce cercle.

Théorème : La médiatrice d'une corde CD est un diamètre

Démonstration (voir figure ci-dessous): La médiatrice de CD, corde du cercle (O) de centre O et de rayon R , passe par le point O parce que comme nous l'avons démontré lors de notre étude des triangles nous avons equation.

equation
  (21.98)

equationC.Q.F.D.

Corollaire : La perpendiculaire menée par le centre O d'un cercle à une corde CD passe par le milieu H de cette corde.

Théorème : Par trois points A, B, C non alignés, il passe un cercle et un seul.

Démonstration (voir figure ci-dessous):

Tracer la médiatrice (D) de AB et la médiatrice equation de AC. Si (D) et equation étaient parallèles, la perpendiculaire AB à (D) serait perpendiculaire à equation, donc confondue avec AC. ABC seraient alignés. Donc (D) et equation non parallèles se coupent en un point O :

equation
  (21.99)

1. Il passe un cercle par A, B, C : le point O étant sur (D), médiatrice de AB, OA=OB par définition : le point O étant sur equation, médiatrice de AC, OA=OC. Le cercle (O), de centre O et de rayon OA, passe par B (puisque OA=OB) et par C  (puisque OA=OC). Il passe donc par A, B, C.

2. Il ne passe A, B, C qu'un seul cercle : S'il passait par A, B, C un cercle différent du cercle (O) de centre O et de rayon OA, son centre O' se trouverait sur la médiatrice de AB et de AC qui sont deux cordes de ce cercle; il serait donc confondu avec O.

equationC.Q.F.D.

Remarque: La médiatrice de BC, corde du cercle (O), passe par le point O. Nous pouvons donc dire (résultat important) que les trois médiatrices des côtés d'un triangle ABC concourent.

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