GÉOMÉTRIE EUCLIDIENNE



COURS DE GÉOMÉTRIE EUCLIDIENNE

1. Objets de la géométrie euclidienne

1.1. Dimensions

2. Constructions d'Euclide

2.1. Postulats d'Euclide

2.2. Droites et Segments

2.2.1. Grandeurs de même espèces

2.3. Plan

2.3.1. Déplacements et retournements

2.4. Angles

2.4.1. Mesure des angles

2.4.2. Unités de mesure des angles

2.4.3. Bissectrice

2.5. Triangles

2.5.1. Triangles égaux

2.5.2. Triangles isocèles

2.5.3. Triangles équilatéraux

2.5.4. Triangles rectangles

2.5.5. Triangles rectangles-isocèles

2.5.6. Inégalités dans les triangles

2.5.7. Théorème de Pythagore

2.5.8. Théorème de Thalès

2.6. Parallèlisme

2.7. Cercles

3. Axiomes de Hilbert

3.1. Axiomes d'associations

3.2. Axiomes d'ordre

3.3. Axiomes de congruence

3.4. Axiomes de continuité

3.5. Axiome des parallèles

4. Barycentre

5. Transformations

5.1. Translation

5.2. Homothétie

5.3. Rotation

5.4. Réflexion

L'objet de la "géométrie euclidienne" (appelée plus communément "géométrie plane") est, en principe, l'étude des formes et des propriétés des corps naturels. La géométrie n'est cependant pas une science expérimentale, puisque son objet est, non pas d'étudier certains aspects de la nature, mais une reproduction nécessairement arbitraire de celle-ci.

Nous allons dans ce chapitre présenter implicitement, dans un premier temps, les cinq postulats de la géométrie euclidienne (dont les quatre premiers sont considérés aujourd'hui comme des axiomes) et ensuite développer autour de ceux-ci la géométrie de base que le lecteur aura besoin pour l'étude du reste du site. Une fois ceci fait, nous résumerons notre étude en présentant de manière explicite les cinq postulats d'Euclide et ensuite les axiomes de Hilbert.

Remarque: Nous avons tenté de préserver au mieux les notations propres à Euclide en ayant toutefois une approche plus moderne de certains concepts et de présenter uniquement ceux qui sont utiles à l'ingénieur sur le marché du travail.


OBJETS DE LA GÉOMÉTRIE EUCLIDIENNE

Avant d'énoncer les cinq postulats, il nous semble bon de définir quelque concepts intuitifs au préalable :

D1. La notion expérimentale la plus simple est celle de "volume". Nous disons qu'un corps occupe un certain volume lorsqu'il occupe dans l'espace à trois dimensions une certaine place (pour des espaces à des dimensions supérieures, nous parlons d'hyper-volumes). 

D2. Nous admettrons comme une chose évidente qu'un volume est limité par une "surface"; mais si l'existence du volume est physiquement contrôlable et mesurable, la surface est une création de l'esprit; c'est quelque chose d'analogue à une baudruche, par exemple, enveloppant un volume quelconque, mais d'analogue seulement. C'est un être géométrique à deux dimensions sans épaisseur.

D3. Lorsqu'une surface est limitée, cette limite est une "ligne". Ici encore, la ligne est une création de l'esprit, une ligne n'a pas d'existence expérimentale; c'est quelque chose d'analogue à la figure formée par un fil de fer. Etre géométrique encore mais d'une dimension sans hauteur ni largeur.

D4. Une "droite" est définie comme la ligne de plus court chemin joignant deux points sur une surface.

D5. Quand une ligne est limitée, sa limite est un "point": le point est quelque chose d'analogue à l'intersection de deux fils tendus. C'est encore une création de l'esprit, un être géométrique.

Remarque: Il est d'usage, en géométrie, de représenter un point par une lettre A, B,...; une ligne, ou une surface par une lettre entre parenthèses (mais cela est rarement respecté car nous supposons souvent que le lecteur sait de quoi nous parlons). Nous disons alors, par exemple: la ligne (L), la surface (S).

D6. L'expression le "segment" AB désigne en général une ligne limitée par les points A et B. Nous dirons qu'un point M est sur le segment AB, pour traduire le fait suivant: tout segment AB peut être séparé d'une infinité de façons en deux morceaux limités par A et M d'une part, par M et B d'autre part - fait inspiré au géomètre par la possibilité de couper expérimentalement un bout de fil de fer en deux, et cela d'une infinité de façons (nous y reviendrons lors plus loin)

Remarque: L'expression: "la ligne (L) est tracée sur une surface (S)" signifie que la surface (S) pourrait être divisée en plusieurs morceaux, de manière que la ligne (L) soit la frontière ou une partie de frontière d'un de ces morceaux. Cette définition est inspirée du fait qu'il est possible de découper une étoffe, par exemple, en suivant avec des ciseaux un trait quelconque tracé sur cette étoffe.

Lorsqu'une ligne (L) est tracée sur une surface (S), tout point M qui est situé sur la ligne (L) est aussi, par définition, situé sur la surface (S). Nous disons alors que c'est un "point de cette surface".

D7. Nous appelons "angle" (ou "angle plan") ou plus rigoureusement "angle rectiligne" la portion de plan limitée par deux demi-droites (voir plus loin la définition d'une demi-droite)

DIMENSIONS

Nous avons parlé de volume, surface et de ligne auxquelles nous pouvons associer des dimensions. Mais qu'est-ce une dimension au fait ? Nous allons tâcher d'essayer de définir au mieux cette dernière mais d''abord, il faut savoir qu'il existe en géométrie plusieurs types de dimensions. La plus connue et commune est celle que nous appelons la "dimension topologique". 

Par exemple, le point (abstraction mathématique et géométrique) à une dimension topologique de 0, la courbe (trait continu d'épaisseur nulle) une dimension de 1, la surface une dimension de 2, un volume une dimension de 3 et un hyper-volume une dimension 4 (pour représenter un hyper-volume, prenez un volume dessiné sur papier (...) et faites en une translation et reliez les sommets) Ce sont toutes des valeurs entières par définition :

equation
Tableau: 21.1  - Objets, représentations et dimensions types

Pour calculer la dimension de certains objets, nous allons utiliser la méthode de la géométrie métrique plane qui consiste à un étalon de cet objet, c'est à dire cet objet lui même mais en plus petit, et nous allons le reporter sur notre objet un certain nombre de fois :

equation
  (21.1)

Soit L la longueur totale du segment. Nous allons prendre un étalon de longueur n que nous allons reporter sur le segment. Cet étalon sera reporté L/n fois. Nous remarquons que:

equation   (21.2)

Nous pouvons appliquer le même raisonnement à une surface:

equation
  (21.3)

Soit equation la surface totale du carré. Cette fois, nous prenons un autre carré, plus petit, de côté n et de surface equation. Nous reportons le petit carré sur le grand equation fois pour obtenir la surface du grand carré. Nous remarquons que:

equation   (21.4)

Dans ces deux exemples, nous avons fait apparaître le nombre 1 pour le segment, et le nombre 2 pour le carré. Ces nombres sont la "dimension" de l'objet.

Généralisons: soit N le nombre de fois que nous reportons l'étalon de longueur n sur notre objet de longueur L, et soit d la dimension de l'objet, nous avons:

equation   (21.5)

Dans le cas des fractales (cf. chapitre sur les Fractales) les dimensions sont variables et fractionnaires. Considérons la courbe de Von Koch (par exemple) après une itération de la suite la définissant:

equation
  (21.6)

Soit L sa taille tel que equation. Pour calculer sa dimension nous prenons l'élément fondamental de la courbe (ci-dessous en rouge):

equation
  (21.7)

Soit n la taille de cet étalon tel que equation. Nous voyons très bien que nous pouvons le reporter 4 fois sur la courbe. Donc:

equation   (21.8)

Le dimension de Van Koch à donc une valeur fractionnaire.

Nous pouvons donc calculer la dimension de n'importe quels objets fractals à la condition de connaitre leurs mesures.

Ne nous hasardons pas à aller chercher des objets complexes dans quelques galaxies alors que la fractale la plus connue se trouve dans votre assiette. Eh oui ! Le chou-fleur est bien un fractal ! Vous avez sûrement déjà remarqué que quand nous découpons le chou-fleur, nous le cassons au lieu de le couper, et ça donne plein de petits choux-fleurs, qui eux même peuvent donner d'autres plus petits choux-fleurs. Cette particularité d'autosimilarité à différentes échelles fait du chou-fleur un fractal.

Calculons à présent la dimension fractale du chou-fleur. Quand nous cassons le chou-fleur, nous obtenons entre 12 et 14 branches qui ressemblent au chou-fleur entier à une dilatation près. Cette dilatation est, si nous la calculons, de facteur 3. Donc, selon la formule ci-dessus, la dimension du chou-fleur est d'environ:

equation   (21.9)

Il existe également d'autres dimensions. Prenons pour exemple, les "dimensions d'homothétie" dont voici quelques exemples simples (voir plus loin la définition rigoureuse de "l'homothétie") :

equation
  (21.10)

Le segment (tout à gauche), de dimension 1 a par homothétie, vu sa longueur, doublé et nous remarquons que:

equation   (21.11)

Le carré (au milieu), de dimension 2 a par homothétie, vu sa surface, doublé et nous remarquons que:

equation   (21.12)

Le cube (tout à droite), de dimension 3 a par homothétie vu son volume doublé et nous remarquons que:

equation   (21.13)

Le facteur de duplication d'échelle (homothétie) est donc égal à:

equation   (21.14)

Comme vous pouvez le voir, il s'agit toujours d'une valeur entière mais d'un autre type de dimension.

Le concept de dimensions ayant été introduit intéressons nous maintenant aux postulats d'Euclide qui pourront paraître vagues dans un premier temps mais qui seront détaillés au fur et à mesure de notre lecture.


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