CONSTRUCTIONS D'EUCLIDE



COURS DE GÉOMÉTRIE EUCLIDIENNE

1. Objets de la géométrie euclidienne

1.1. Dimensions

2. Constructions d'Euclide

2.1. Postulats d'Euclide

2.2. Droites et Segments

2.2.1. Grandeurs de même espèces

2.3. Plan

2.3.1. Déplacements et retournements

2.4. Angles

2.4.1. Mesure des angles

2.4.2. Unités de mesure des angles

2.4.3. Bissectrice

2.5. Triangles

2.5.1. Triangles égaux

2.5.2. Triangles isocèles

2.5.3. Triangles équilatéraux

2.5.4. Triangles rectangles

2.5.5. Triangles rectangles-isocèles

2.5.6. Inégalités dans les triangles

2.5.7. Théorème de Pythagore

2.5.8. Théorème de Thalès

2.6. Parallèlisme

2.7. Cercles

3. Axiomes de Hilbert

3.1. Axiomes d'associations

3.2. Axiomes d'ordre

3.3. Axiomes de congruence

3.4. Axiomes de continuité

3.5. Axiome des parallèles

4. Barycentre

5. Transformations

5.1. Translation

5.2. Homothétie

5.3. Rotation

5.4. Réflexion

La construction de la géométrie plane d'Euclide se fonde sur cinq postulats (dont les quatre premiers sont considérés aujourd'hui comme des axiomes comme nous en avons déjà fait mention) :

P1. Conduire une droite d'un point quelconque à un point quelconque.

Sous forme moderne nous dirions que par deux points distincts A et B, il passe une droite et il n'en passe qu'une seule.

Autrement dit : Deux droites (D) et (D') qui ont deux points communs sont confondues, tout point de l'une est un point de l'autre et réciproquement.

Il résulte de ce postulat que deux droites (D) et (D'), ou bien n'ont aucun point commun, ou bien ont un seul point commun qui s'appelle "point d'intersection" et sont alors "sécantes" et "distinctes", ou bien ont plus d'un point commun et sont alors "confondues".

P2. Prolonger indéfiniment, selon sa direction, une droite finie.

Sous forme moderne nous dirions que tout segment AB est prolongeable en une droite passant par A et B (compte tenu du premier axiome, elle est unique dans une géométrie Euclidienne)

P3. D'un point quelconque, et avec un intervalle quelconque, décrire une circonférence de cercle.

Sous forme moderne nous dirions pour tout point A et tout point B distinct de A, nous pouvons décrire un cercle de centre A passant par B

P4. Tous les angles droits sont égaux entre eux.

Sous forme moderne nous dirions qu'à chaque angle equation du plan correspond sa mesure equation, effectuée avec une unité choisie une fois pour toutes où equation est un nombre positif, inférieur à equation. Réciproquement, soit equation un nombre positif quelconque compris entre 0 et equation, nous admettrons qu'il existe une infinité d'angles equation égaux entre eux dont la mesure avec l'unité d'angle choisie soit equation.

P5. Si une droite, tombant sur deux droites, fait les angles intérieurs du même côté plus petits que deux droits, ces droites, prolongées à l'infini, se rencontreront du côté où les angles sont plus petits que deux droits.

Sous forme moderne nous dirions que: étant donnés une droite et un point, il existe une unique droite passant par ce point et ne coupant pas la droite initiale.

La construction d'Euclide permet donc le développement de la notion de mesure de longueur, d'aire, de volume, d'angle comme nous allons le voir plus loin.

Les deux théorèmes fondamentaux de la géométrie euclidienne sont le théorème de Pythagore et celui de Thalès comme nous en verrons la démonstration plus loin. Un peu d'analyse permet d'aller plus loin avec la trigonométrie que nous avons déjà développée dans le chapitre précédant.

DROITE ET SEGMENTS

Dans un premier temps, la figure géométrique la plus simple (mis à part le point...) en géométrie euclidienne est la "ligne droite" et celle-ci est directement concernée par deux premiers postulats d'Euclide.

Définitions:

D1. La "ligne droite" est l'image donnée par un fil tendu d'épaisseur nulle et de longueur infinie.

Remarque: Nous pouvons également définir la "ligne droite" comme une infinité de points mis à côté les uns des autres dans une même direction sur un plan.

D2. Nous appelons "demi-droite" la portion de droite limitée à un point O appelé "origine".

Remarque: L'expression "la demi-droite OA" désigne la demi-droite d'origine O, point nommé le "premier", qui contient le point A.

D3. Nous disons que deux demi-droites OA, OB sont des "demi-droites opposées" lorsqu'elles constituent la droite AB toute entière.

D4. Nous appelons "segment" AB une portion de droite limitée par deux points A et B. Ces points sont appelés les "extrémités" du segment.

GRANDEURS DE MÊME ESPÈCE

Nous disons que des figures géométriques (sous entendus des droites) sont des "grandeurs de même espèce" lorsqu'il est possible de définir:

1. Dans quel cas une figure (A) sera dite égale à une figure (B) et, si elles sont inégales, laquelle est la plus petite

2. Ce que nous devons entendre par somme d'une figure (A) et d'une figure (B)

Les définitions choisies doivent être telles que si (A) est déclaré plus petit que (B) et (B) plus petit que (C), (A) soit déclaré aussi plus petit que (C).

Il faut, en outre, que la figure appelée "somme de (A) et de (B)" soit égale à celle qui est appelée somme de (B) et de (A).

Enfin, la substitution dans une comparaison, une égalité ou une somme, d'une figure par une figure égale ne doit pas modifier le résultat des opérations.

Pour faire comprendre ce que sont des grandeurs de même espèce, prenons l'exemple des segments de droite:

- Nous admettrons qu'il est possible de décider de l'égalité de deux segments AB et A'B' lorsque nous pouvons les faire coïncider.

- Nous admettrons aussi qu'il est possible de remplacer le segment A'B'  par un segment égal AD et porté sur la demi-droite AB.

- Enfin, nous admettrons qu'il est possible de distinguer entre trois points A, B, C, pris au hasard sur une droite, lequel est entre les deux autres.

Nous convenons alors de dire que le segment A'B' est plus petit que le segment AB, ce qui s'écrit en abrégé:

equation   (21.15)

lorsque le point C, obtenu en portant sur la demi-droite AB un segment AC égal à A'B', tombe entre A et B.

Si le point C était en B, les segments AB et A'B' seraient égaux et nous écririons alors : 

A'B'=AB   (21.16)

Nous convenons d'appeler la "somme de deux segments" AB, A'B', le segment AC obtenu en portant sur la demi-droite opposée à la demi-droite BA un segment BC égal à A'B'. Nous traduisons cette opération en écrivant:

AC=AB+A'B'   (21.17)

Considérons toujours des grandeurs de même espèce... Ajouter entre elles plusieurs de ces grandeurs, c'est ajouter l'une d'elles à une autre, la somme obtenue à une troisième, etc. Par exemple, ajouter les segments AB, BC, CD, c'est ajouter AC et CD ce qui donne AD. Nous résumons l'opération en écrivant:

AD=AB+BC+CD   (21.18)

Multiplier une grandeur par un nombre entier n, c'est ajouter n grandeurs égales à celle-là. Par exemple, si nous avons AB=BC=CD, la relation précédente s'écrirait:

equation   (21.19)

Nous allons définir ce que nous appelons "comparer deux grandeurs (A) et (B) de même espèce" :

Choisissons arbitrairement une grandeur (C) de même espèce que (A) et que (B) et plus petite que chacune d'elles. Formons une suite de grandeurs telles que:

equation   (21.20)

Nous constatons que la grandeur (A) s'intercale entre deux grandeurs equation et equation et que (B) se trouve entre deux autres equation et equation par construction.

Nous disons alors par définition que le rapport des grandeurs (A) et (B) est un nombre (A)/(B) positif compris entre :

 equation et equation   (21.21)

Prenons alors, par exemple, deux segments quelconques AB, A'B' mais différents (par exemple 1.2 [cm] et 3.5 [cm]):

Pour réaliser l'opération précédente, utilisons une règle graduée dont l'unité sera la grandeur C, un segment arbitrairement choisi (par exemple de 1 [cm]).

Nous appliquons le zéro de la règle en A, et B s'intercalera par construction entre deux graduations de la règle numérotée p et p+1 à moins que la grandeur C soit égale à AB... (soit avec le choix pris comme exemple, B s'intercalera entre la 1ère et la 2ème).

Pour A'B', nous appliquons le zéro de la règle aussi en A', et B' s'intercalera aussi entre deux grandeurs de la règle numérotée q et q+1 à moins que la grandeur C soit égale à A'B'... (soit avec le choix pris comme exemple, B' s'intercalera entre la 3ème et la 4ème).

Nous exprimerons le résultat de ces mesures et leur rapport en écrivant:

equation   (21.22)

où le terme tout à gauche s'appelle une "mesure par défaut" et celui à l'opposé une "mesure par excès".

Par exemple avec les mesures prises comme exemple nous avons donc:

equation   (21.23)

Définition: Nous appelons "mesure d'une grandeur" (A) le nombre positif qui mesure le rapport de cette grandeur et d'une grandeur (U) arbitrairement choisie et que nous appelons "l'unité", la mesure de l'unité étant "1", par définition.

Nous pouvons démontrer que si a est la mesure de (A), b celle de (B) évaluées toutes deux avec une même unité (U), le nombre (A)/(B) est égal au rapport a/b. Ce rapport étant indépendant de l'unité choisie.

Remarque: Nous disons que (B) est une "partie aliquote" de (A) si le rapport (A)/(B) est un nombre entier.

Nous conviendrons une fois pour toute, qu'en géométrie toutes les grandeurs de même espèce qui interviennent dans une figure donnée sont mesurées avec la même unité.

Soit (A), (B), (C), ..., (S) des grandeurs de même espèce et (A'), (B'), (C'), ..., (S'), des grandeurs de même espèce, mais qui ne sont pas nécessairement de même espèce que les précédentes. Nous disons que ces grandeurs sont "homologues", si nous pouvons les grouper deux à deux, (A') homologue de (A), (B') homologue de (B), ..., etc., de manière que les conditions suivantes soient réalisées:

- Si (A) est égal à (B), (A') est égal à (B')

- Si (A) est plus petit que (B), (A') est plus petit que (B')

- Si (S) est la somme de (A) et de (B), (S') est la somme de (A') et de (B')

Pour calculer le rapport (A)/(B), formons la suite equation et pour calculer le rapport (A')/(B'), formons la suite equation, obtenue comme la précédente, mais à partir de la grandeur (C') homologue de (C).

Il est évident que si (A) s'intercale entre equation et equation, (A') s'intercalera entre equation et equation; de même, si (B) s'intercale entre equation et equation. Les rapports (A)/(B) et (A')/(B') seront encadrés par les mêmes nombres :

equation   et     equation   (21.24)

Par conséquent: Le rapport de deux grandeurs (A) et (B) est égal au rapport des grandeurs homologues (A') et (B').

Si, en particulier, les grandeurs (A),(B)... sont mesurées avec une unité (U), et si les grandeurs (A'),(B'),... sont mesurées avec une unité (U'), homologue de (U), les rapports égaux :

 (A)/(U) et (A')/(U')  (21.25)

ne sont autres que les mesures de (A) et de (A'). Par conséquent:

Les mesures de deux grandeurs homologues (A) et (A') sont égales, à condition que les unités choisies pour les mesurer soient des grandeurs homologues.

Considérons maintenant sur une demi-droite Ox un point M. Soit x la mesure (selon la définition précédente) de OM. A chaque point M de la demi-droite correspond un nombre positif x et un seul; nous admettrons qu'à un nombre positif x arbitrairement choisi correspond réciproquement un point M de la demi-droite et un seul. 

Une conséquence de cette hypothèse est qu'il existe un point, et un seul, C qui divise le segment OM en parties égales. Ce point est le point de la demi-droite OM, tel que:

equation   (21.26)

Nous l'appelons "milieu du segment" OM.

Théorème: Il existe un point M et un seul, situé sur le segment AB tel que la mesure du rapport MA/MB soit égal à un nombre positif donné equation.

Remarque: Si equation, ce point est le milieu du segment.

Démontrons cette unicité : Soit M un point quelconque du segment AB; soit x, la mesure de AM, et a la mesure de AB: la mesure de MB sera a-x puisque M est placé entre A et B. Nous aurons alors:

equation   (21.27)

Pour que ce rapport soit égal à equation, il faut, et il suffit, que x soit solution de l'équation:

equation   (21.28)

Or, cette équation admet la seule solution:

equation   (21.29)

A cette valeur positive et inférieure à a de x correspond un point M et un seul de la demi-droite AB tel que MA=x. Ce point M satisfait, et satisfait seul, aux conditions imposées.

Théorème: Il existe un point M et un seul de la droite AB, situé en dehors du segment AB, tel que le rapport MA/MB soit égal à un nombre donné et défini equation différent de 1.

Démontrons aussi cette unicité :

1. Supposons equation. Soit M un point quelconque de la droite AB situé en dehors du segment AB: ou bien A est sur le segment MB, ou bien B est sur le segment MA. Si A est sur le segment MB, nous avons nécessairement equation, donc :

equation   (21.30)

Le point M ne répond donc pas à la question de l'unicité.

Si B est sur le segment MA, MA=x, AB=a, MB=x-a. Nous aurons donc:

equation   (21.31)

Pour que ce rapport soit égal à equation, il faut, et il suffit que x soit solution de l'équation:

equation   (21.32)

Cette équation admet, nous l'avons vu, comme seule solution:

equation   (21.33)

qui est bien positive et supérieure à equation. A cette valeur positive et supérieure à 1de x correspond un point M et un seul de la demi-droite AB. Ce point M satisfait, et satisfait seul aux conditions imposées d'unicité.

2. Supposons maintenant equation. Nous chercherons le point M pour lequel (nous avons simplement inversé le rapport) :

equation   (21.34)

nombre supérieur à 1.  Il y en a un et un seul d'après (1.) . Il satisfait seul aux conditions imposées.

Remarque: Il n'existe aucun point M situé en dehors du AB pour lequel MA/MB=1. En effet, si A est sur le segment MB, nous avons, quel que soit M, equation, et si B est sur le segment MA, equation.

PLAN

Passons maintenant à l'étude d'un objet géométrique de dimension supérieure à celle de la droite qu'est le plan et la surface.

Considérons une surface finie (S) et deux points A et B de cette surface. Deux cas peuvent se présenter:

1. Il y a des points de la droite AB qui ne sont pas sur la surface (S). Nous dirons dans ce cas: la droite AB coupe la surface; les points communs à la droite AB et à la surface (S) sont les points d'intersection de la surface (S) et de la droite AB. Parmi ces points communs se trouvent, en particulier les points A et B.

2. Tous les points de la droite AB sont des points de la surface (S). Nous disons alors que la droite AB est sur la surface (S). 

Définition: Nous appelons "plan" la surface telle que toute droite AB qui joint deux points arbitrairement choisis sur la surface, soit sur la surface.

Nous admettrons qu'une pareille surface existe et que par trois points ABC, non alignés, il passe un plan et un seul. L'étude des plans sera faite ultérieurement: nous nous proposons actuellement l'étude des figures géométriques tracées dans un plan donné, figures dites "figures planes". Leur étude constitue la "géométrie plane".

Remarque: Dans la pratique, les figures sont tracées soit sur une feuille de papier, soit sur la surface du tableau noir.

Le plan étant défini, nous pouvons déjà nous intéresser à opération de base concernant les figures du plan que nous détaillerons plus tard rigoureusement.

DÉPLACEMENTS ET RETOURNEMENTS

Soit (F) un dessin effectué sur un tableau plan: effectuons sur un papier transparent, dont le recto est appliqué sur le plan du tableau, un calque equation du dessin (F). Effectuons, en appliquant ce calque en un autre point du tableau, un nouveau dessin (F') identique à (F). 

Deux cas sont à considérer :

1. Si le recto du papier transparent est demeuré appliqué sur le tableau, le dessin (F') se déduit de (F) par une opération appelée "déplacement" ou "translation".

2. Si, au contraire, le papier a été retourné, et si c'est le verso qui est appliqué sur le tableau, l'opération s'appelle "retournement" ou "symétrie"

A chaque point A du dessin (F), l'une quelconque de ces deux opérations fait correspondre un point A'  du dessin (F'), que nous appelons "l'homologue" de A. Un segment AB de (F) vient en coïncidence avec un segment A'B' homologue de (F'); ces deux segments sont par définition égaux et cela quels que soient A et B.

Définition: Nous disons communément que le dessin (F) est "superposable" au dessin (F') et que ces dessins représentent des figures égales.


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