BARYCENTRE



COURS DE GÉOMÉTRIE EUCLIDIENNE

1. Objets de la géométrie euclidienne

1.1. Dimensions

2. Constructions d'Euclide

2.1. Postulats d'Euclide

2.2. Droites et Segments

2.2.1. Grandeurs de même espèces

2.3. Plan

2.3.1. Déplacements et retournements

2.4. Angles

2.4.1. Mesure des angles

2.4.2. Unités de mesure des angles

2.4.3. Bissectrice

2.5. Triangles

2.5.1. Triangles égaux

2.5.2. Triangles isocèles

2.5.3. Triangles équilatéraux

2.5.4. Triangles rectangles

2.5.5. Triangles rectangles-isocèles

2.5.6. Inégalités dans les triangles

2.5.7. Théorème de Pythagore

2.5.8. Théorème de Thalès

2.6. Parallèlisme

2.7. Cercles

3. Axiomes de Hilbert

3.1. Axiomes d'associations

3.2. Axiomes d'ordre

3.3. Axiomes de congruence

3.4. Axiomes de continuité

3.5. Axiome des parallèles

4. Barycentre

5. Transformations

5.1. Translation

5.2. Homothétie

5.3. Rotation

5.4. Réflexion

Maintenant que nous avons abordé le minimum de la construction d'Euclide et d'Hilbert de la géométrie, nous pouvons passer à un niveau supérieur pour faire de l'analyse de propriétés des formes géométriques. Nous commencerons donc par étudier le concept de "barycentre", appelé également mais plus rarement "centroïde".

Remarques:

R1. La définition du barycentre nécessite certains des outils mathématiques définis dans le chapitre de Calcul Vectoriel . La lecture de ce chapitre est donc recommandée si le lecteur souhaite comprendre ce qui va suivre.

R2. Les développements qui vont suivre sont aussi bien utilisés en géométrie qu'en physique!

Définition: Nous appelons "barycentre" ou "centroïde" des points equation du plan ou de l'espace affectés respectivement des coefficients equation ( où les equation   sont des réels tels que equation) l'unique point G tel que :

equation   (21.100)

Le couple noté equation est appelé "point pondéré" ("point massif" en physique quand equation représente une masse).

Remarques:

R1. En mécanique, le "centre d'inertie" d'un corps correspond au barycentre des particules qui composent le corps en question. Chaque particule étant pondérée par sa masse propre. C'est donc le point par rapport auquel la masse est uniformément répartie. Si la densité est constante, le centre d'inertie se confond avec le barycentre.

R2. Le "centre de gravité" d'un corps correspond au barycentre des particules qui composent le corps en question, chaque particule étant pondérée par son poids propre! Très souvent en mécanique, la dimension des corps étant faible devant la rotondité de la terre, on considère un champ de gravité uniforme. Sous cette hypothèse, le centre de gravité et le centre d'inertie sont confondus.

R3. Lorsque pour tout point massif equation nous avons equation, nous parlons alors de "isobarycentre".

Pour un point O arbitraire, nous avons bien évidemment par simple addition vectorielle :

equation   (21.101)

d'où le résultat majeur :

equation   (21.102)

En passant à la limite, si le domaine est continu, nous avons :

equation   (21.103)

Nous pouvons très bien également travailler avec les éléments de surface ou de volumes (pour ne faire mention que des plus triviaux) pour déterminer le barycentre :

equation et equation   (21.104)

Dans l'espace muni d'un repère  equation en notant equation les coordonnées du point pondéré equationet equation celles de G, nous avons alors :

equation   (21.105)

Voyons quelques propriétés du barycentre :

P1. Soit equationn points pondérés. Si equation, nous avons alors pour tout point M :

equation   (21.106)

Démonstration:

equation   (21.107)

Puisque par définition du barycentre :

equation   (21.108)

nous avons alors bien :

equation   (21.109)

equationC.Q.F.D.

P2. Pour equation, les points pondérés equation et equation ont même barycentre car (invariance barycentre) :

equation    (21.110)

La démonstration est évidente (si vous ne voyez pas, contactez-nous).

P3. Le barycentre G de n points pondérés est invariant quand on remplace p d'entre eux, par leur barycentre G', affecté de la condition equation  de leur coefficient, G est alors le barycentre de :

equation   (21.111)

Démonstration:

Si G' est le barycentre des points pondérés equation alors :

equation   (21.112)

Pour le cas particulier où M = G :

equation   (21.113)

Or G étant le barycentre des n points pondérés equationdonc :

equation   (21.114)

Comme equation l'égalité précédente prouve que bien que G est le barycentre des points pondérés :

equation   (21.115)

equationC.Q.F.D.

P4. Si equation, pour tous points M, N :

equation   (21.116)

Démonstration:

Pour equation calculons :

equation
  (21.117)

puisque equation, nous avons alors :

equation   (21.118)

equationC.Q.F.D.

Remarques: Quand un corps a une certaine symétrie, les calculs se simplifient car le barycentre doit coïncider avec l'élément de symétrique. Si un corps, comme une sphère, un parallélépipède, etc., a un centre de symétrie, le barycentre est confondu avec lui. Si le corps a seulement un axe de symétrie, le barycentre est alors sur cet axe.

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