ANGLES



COURS DE GÉOMÉTRIE EUCLIDIENNE

1. Objets de la géométrie euclidienne

1.1. Dimensions

2. Constructions d'Euclide

2.1. Postulats d'Euclide

2.2. Droites et Segments

2.2.1. Grandeurs de même espèces

2.3. Plan

2.3.1. Déplacements et retournements

2.4. Angles

2.4.1. Mesure des angles

2.4.2. Unités de mesure des angles

2.4.3. Bissectrice

2.5. Triangles

2.5.1. Triangles égaux

2.5.2. Triangles isocèles

2.5.3. Triangles équilatéraux

2.5.4. Triangles rectangles

2.5.5. Triangles rectangles-isocèles

2.5.6. Inégalités dans les triangles

2.5.7. Théorème de Pythagore

2.5.8. Théorème de Thalès

2.6. Parallèlisme

2.7. Cercles

3. Axiomes de Hilbert

3.1. Axiomes d'associations

3.2. Axiomes d'ordre

3.3. Axiomes de congruence

3.4. Axiomes de continuité

3.5. Axiome des parallèles

4. Barycentre

5. Transformations

5.1. Translation

5.2. Homothétie

5.3. Rotation

5.4. Réflexion

Nous avons déjà brièvement défini le concept "d'angle" dans le chapitre précédent traitant de la trigonométrie. Nous avons maintenant en plus le quatrième postulat d'Euclide à notre disposition concernant ce concept.

Nous allons maintenant revenir plus en détail et en voir les concepts sous-jacents qui vont nous permettre d'aborder plus loin un objet particulièrement utile qu'est la bissectrice:

Définitions:

D1. Nous appelons "angle" (ou "angle plan") ou plus rigoureusement "angle rectiligne" la portion de plan limitée par deux demi-droites OA,OB, par exemple. Le point 0 s'appelle "sommet" de l'angle, les demi-droites OA,OB, s'appellent les "côtés" de l'angle.

D2. Nous appelons "angle formé par deux segment AB,AC", l'angle de sommet A dont les côtés sont les demi-droites AB,AC.

D3. Les demi-droites OA,OB divisent le plan en deux régions: elles définissent donc deux angles:

1. L'un constitué par la région couverte de hachures (voir la figure à l'extrémité gauche ci-dessous) s'appelle "angle saillant"

2. L'autre, constitué par la région couverte de hachures (voir la figure au centre ci-dessous) s'appelle "angle rentrant".

equation
  (21.35)

La notation equation ou equation désigne un de ces deux angles: la lettre qui indique le sommet doit être (normalement) écrite au milieu (souvent on ne mentionne pas le sommet si le contexte est évidente). Lorsqu'aucune précision n'accompagne cette notation, elle représente par définition l'angle saillant !!

D4. Nous appelons "angles adjacents" deux angles qui ont le somment et un côté communs et qui sont placés de part et d'autre de ce côté commun. Sur la figure ci-dessus à l'extrême droite, les angles saillants equation, equation, sont adjacents.

Soit, equation et equation deux angles d'un même plan. Nous avons admis précédemment qu'il existe un déplacement qui amène O en O' et A' en un point A de la demi-droite OA; ce déplacement amène OB soit en equation, de manière que les deux angles equation, equation ne soient pas adjacents, soit en equation, de manière que equationet equation soient adjacents. Dans ce dernier cas, un demi-tour supplémentaire autour de OA amènera equation dans la position equation. Ce déplacement et ce retournement, s'il y a lieu, remplace equation par un angle equation, égal par définition.

equation
  (21.36)

Si equation est confondu avec OB, il y a des points de l'un des deux angles equation et equation qui sont égaux, tout point de l'un étant un point de l'autre : nous dirons, dans ce cas, que les angles equation, equation sont des "angles égaux", ce qui s'exprime par l'égalité :

equation   (21.37)

Si equation n'est pas confondu avec OB, il y a des points de l'un des deux angles equation, par exemple, qui ne sont pas des points de AOB. Sur la figure ci-dessus, l'angle equation est couvert de hachures, l'angle equation également; les points dont nous parlons sont ceux de l'angle equation couvert une seule fois de hachures. Nous conviendrons de dire que l'angle equation et, par conséquent, l'angle égal à equation sont, dans ce cas, plus grands que l'angle equation, ce qui s'exprime par l'inégalité :

equation   (21.38)

Maintenant que nous sommes en mesure de comparer des angles, étudions comment nous pouvons sommer (et donc respectivement soustraire) ceux-ci.

Etudions d'abord le cas de la somme de deux angles equation, equation adjacents. Deux cas peuvent se présenter suivant que les angles sont saillants ou rentrants :

1. Soit equation et equation les deux angles à additionner (voir figure ci-dessous à gauche). Par définition, la somme de ces angles est l'angle equation, ce que nous exprimons par l'égalité :

equation   (21.39)

2. Soit equation un angle rentrant à additionner à l'angle saillant equation . Si nous couvrons de hachures successivement les deux angles (voire figure ci-dessous à droite), l'angle equation se trouve couvert deux fois :

equation

  (21.40)

Dans ce cas, la somme des angles equation  (rentrant) et equation (saillant) est donc égale à equation augmenté de deux "angles plats" (voir plus loin la définition), ce qui s'exprime en écrivant : 

equation   (21.41)

Remarque: Ceci peut paraître confus à certains mais ceux qui auront déjà parcouru le chapitre de Trigonométrie savent que les angles du cercle trigonométriques sont égaux à eux mêmes modulo equation.

Etudions maintenant le cas de la somme de deux angles quelconques :

La somme de deux angles equation, equation est par définition, égale à la somme de l'angle equation et d'un angle equation égal à l'angle equation et adjacent à l'angle equation.

equation
  (21.42)

Un pareil angle est obtenu par un déplacement qui amène O en O'  et A' en un point OA, suivi ou non d'un retournement autour de OA.

Etudions comme dernier cas la somme de plus de deux angles :

La somme de plusieurs angles equation, equation, etc., est, par définition, égale à la somme obtenue en ajoutant le premier au second, la somme au troisième, et ainsi de suite.

Soit equation le premier angle, equation un angle égal au dernier des angles à ajouter et adjacent au précédent. Le résultat de l'addition sera equation augmenté d'autant de fois deux angles plats que le plan a été recouvert au cours des opérations. On constate aisément que ce résultat ne dépend pas de l'ordre des angles à ajouter equation, equation, etc.

MESURES DES ANGLES

Nous avons défini l'égalité et la somme de deux ou plusieurs angles. Ces définitions satisfont aux conditions de grandeurs de même espèce que nous avons déjà vues précédemment.

Choisissons donc arbitrairement un angle du plan equation, qui sera l'unité d'angle pour le plan: la mesure du rapport equation, effectuée comme il a été expliqué précédemment lors de notre discussion sur les grandeurs de même espèce, sera un nombre positif equation, appelé par définition "mesure de l'angle equation, avec l'unité choisie equation".

Nous désignons par la lettre grecque minuscule "pi" le nombre irrationnel :

equation  (21.43)

qui est par définition la mesure d'un "angle plat" (nous verrons qu'elle en est l'unité un peu plus loin).

Remarque: Comme tous les angles du plan sont plus petits que deux angles plats, le nombre equation (qui est la mesure de equation) doit être inférieur à equation.

Ayant défini l'angle plat, nous pouvons maintenant définir d'autres types d'angles d'usage courant :

Définitions:

D1. Nous appelons  "angle droit", tout angle égal à la moitié d'un angle plat.

D2. Nous disons que deux angles sont des "angles perpendiculaires", noté equation, lorsqu'ils sont touts les deux droits et adjacents.

D3. Nous appelons "angle aigu" tout angle inférieur à un angle droit et "angle obtus" tout angle supérieur à un angle droit.

D4. Nous disons que deux angles sont des "angles supplémentaires" lorsque leur somme vaut deux angles droits.

D5. Nous disons que deux angles sont des "angles complémentaires" lorsque leur somme vaut un angle droit.

Considérons maintenant les symboles equation comme les mesures de plusieurs angles equation, equation, equation.

Nous n'insistons pas sur le fait évident que les égalités equation ou equation sont équivalentes, ainsi que les inégalités equation, equation. Ces remarques de bon sens s'imposeront chaque fois que des grandeurs de même espèce auront été mesurées, bien entendu avec la même unité.

En revanche, nous insisterons sur le fait que, d'après la définition même de la somme de plusieurs angles, equation est la mesure de l'angle equation augmentée d'autant de fois deux angles plats que le plan a été recouvert au cours des opérations d'addition.

equation   (21.44)

Le nombre entier n qui s'introduit dans ce calcul a une valeur qui pourrait être précisée, mais qui n'a pour le géomètre aucune importance, comme nous pourrons le constater ultérieurement. Nous décidons donc de ne pas écrire en géométrie le equation inutile (mais sous-entendu). Egalement, nous décidons par convention d'écrire:

equation   (21.45)

Ainsi, nous avons equation cette convention d'écriture signifie que equation est la mesure de l'angle equation si nous avons equation.

Si equation est supérieur à equation, l'égalité signifie que la mesure de l'angle equation  est equation, k étant un nombre entier positif ou nul choisi de manière que nous ayant equation.

Remarques:

R1. Il existe un nombre entier positif k et un seul, tel que nous ayons equation, c'est-à-dire:

equation   (21.46)

car les deux nombres equation et equation sont positifs et différents de 1.

R2 Dire que equation est la mesure de l'angle equation suppose que nous ayons equation et entraîne l'égalité equation. Mais écrire equation n'entraîne en général, que equation soit la mesure de equation; il faut, en outre, que l'on ait equation.

UNITÉS DE MESURE DES ANGLES

Nous avons défini l'angle plat comme étant égal à equation sans spécifier l'unité. C'est ce que nous allons maintenant nous appliquer à faire. Il existe (encore) plusieurs unités de mesures d'angle dont voici la liste :

Définitions:

D1. Nous appelons "degré" la 180ème partie de l'angle plat.

Tous les calculs anciens sont effectués en degrés; les sous-multiples du degré sont: la "minute sexagésimale", égale au 60ème du degré, et la "seconde centésimale", égale au 60ème de la minute sexagésimale.

La notation equation se lit: trente degrés, dix-huit minutes, onze secondes. Ce type de mesure est courant encore en astronomie.

Remarque: Nous utilisons encore aujourd'hui couramment le degré dans les écoles mais sans la notation usant des minutes et secondes (pas commode pour la somme des angles). Nous notons alors l'angle en degrés avec une notation décimale comme par exemple equation.

D2. Nous appelons "grade" la 200ème partie de l'angle plat.

Le grade est également une ancienne unité d'angle. Ses sous-multiples sont: la "minute centésimale", égale au 100ème du grade, et la "seconde sexagésimale", égale au 100ème de la minute centésimale.

La notation equationse lit: quarante grades, dix-huit minutes, vingt-quatre secondes.

D3. Nous appelons "radian" (noté [rad]) l'angle plan décrit par une sécante à un cercle, passant par son centre, tel que l'arc de cercle ainsi défini par l'axe horizontal passant par le centre du cercle et la sécante soit d'égale longueur au rayon de ce cercle (cf. chapitre de Trigonométrie).

Ainsi, en radians, un angle plat est égal à equation et tous les autres angles sont des multiples réels de cette constante.

BISSECTRICE

Maintenant que nous savons comparer, additionner et mesurer des angles nous allons pouvoir nous pencher sur un concept important en géométrie qu'est celui de "bissectrice" et de quelques propriétés y relatives que nous réutiliserons plus loin pour des théorèmes importants.

Définitions:

D1. Nous appelons "bissectrice" la droite qui divise un angle en deux parties égales.

D2. Nous appelons "demi-bissectrice" la demi-droite qui divise un angle en deux parties égales.

Maintenant voyons quelques propriétés importantes de la bissectrice :

Deux droites AB et CD qui se coupent forment comme nous le savons déjà intuitivement, quatre angles: 

equation   (21.47)

Les angles equation ,equation de même que les angles equation dont les côtés sont opposés, sont dites "angles opposés par le sommet".

Trivialement, si equation est la mesure de l'angle equation, la mesure de l'angle adjacent equation est equation; celle de l'angle equation adjacent au précédent est equation; celle de equation est equation.

Soit OE la demi-bissectrice de l'angle equation, OG celle de equation, OF celle de equation, OH celle de equation, nous aurons:

equation   (21.48)

et, par conséquent :

equation   (21.49)

Nous aurions de même :

equation   (21.50)

Nous résumons ainsi tous ces résultats et propriétés de mesure:

P1. Deux angles opposés par le sommet sont égaux

P2. Deux angles opposés par le sommet ont même bissectrice

P3. Les bissectrices de deux angles adjacents supplémentaires sont rectangulaires

P4. Les bissectrices des angles formés par deux sécantes sont deux droites rectangulaires (à angle droit)


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