TRIEDRE DE FRENET



GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE

1. Isoclines

2. Trièdre de Frenet

3. Nappes paramétrées

3.1. Métrique d'une surface

Le repère de Frenet est un outil d'étude du comportement local des courbes. Plus exactement, il s'agit d'un repère local associé à un point décrivant une courbe equation. Son mode de construction est différent selon si l'espace ambiant est de dimension 2 (courbe plane) ou 3 (courbe gauche).

Le repère de Frenet, et les formules de Frenet (donnant les dérivées des vecteurs de ce repère), permettent de mener de façon systématique des calculs de courbure, de torsion pour les courbes gauches et d'introduire des concepts géométriques intéressants associés aux courbes.

Considérons pour commencer une courbe equation avec son abscisse curviligne s(t) et equation son origine. Nous notons par définition:

equation   (25.36)

la tangente à la courbe equation de paramètre t au voisinage d'un point M par rapport à un repère posé en O avec ds qui se calcule comme nous l'avons montré précédement.

Il est intéressant de remarquer que si t s'interprète comme le temps, alors nous avons une vitesse:

equation   (25.37)

et donc le vecteur equation est dirigé dans le sens du mouvement.

De plus, par construction et définition de l'abscisse curviligne nous avons toujours :

equation   (25.38)

et donc le vecteur tangent equation au point M est unitaire (et non nul!).

Maintenant, sans savoir exactement à quoi cela va nous servir pour l'instant, intéressons nous au vecteur:

equation   (25.39)

Sachant trivialement de ce qui précède que :

equation   (25.40)

Alors nous avons :

equation   (25.41)

donc déjà equation n'est à priori pas unitaire et equation lui est perpendiculaire (résultat qui va nous servir plusieurs fois par la suite donc il faut s'en rappeler)!

Posons maintenant:

equation   (25.42)

Etant donné le résultat précédent, equation est le vecteur perpendiculaire unitaire à equation en M (nous disons que ce couple de vecteur est "orthonormal direct") et C est par définition la "courbure".

Nous pouvons également aborder la courbure C d'une façon plus géométrique plutôt que par une définition tombée du ciel:

Nous savons à ce point de notre discours qu'en un point equation d'une courbe (dérivable au moins une fois en tout point...), il existe un vecteur tangent non nul qui est equation.

En tout point voisin M (d'abscisse curviligne s), le vecteur tangent peut s'écrire en approximation :

equation   (25.43)

si la courbe se trouve localement dans un même plan (car nous étudions ici la courbure et non la torsion de la courbe)!

Deux normales en M et M0 se coupant donc en un point Ω, la figure suivante:

equation
  (25.44)

montre qu'au premier ordre en ds, le point M peut être considéré localement comme déduit du point M0 par une rotation de centre Ω.

Le cercle ainsi défini, de rayon:

equation   (25.45)

est celui qui tangente le mieux la courbe localement au point M0. Son rayon se déduit de la figure (deux triangles semblables à la limite) :

equation   (25.46)

d'où, puisque equation est unitaire, la définition et la valeur de la courbure :

equation   (25.47)

et voilà!

Il est possible d'interpréter le concept de courbure comme la vitesse de rotation de la base de Frenet par rapport à une direction fixe.

Le couple de vecteurs (equation, equation) est appelé "repère de Frenet" et ses vecteurs de base les "vecteurs de Frenet".

Le repère de Frenet est un repère mobile puisque les éléments de ce repère changent selon le point considéré. En physique, il ne faut pas confondre cette notion avec celle de référentiel : puisque les vecteurs de Frenet se déplacent avec le point!

Remarque: La définition de C tel que ci-dessus est vraie dans le cadre d'un choix d'une courbure positive. C'est un point de vue pris en mécanique mais non nécessaire en mathématique.

Si equation, alors comme vu précédement:

equation   (25.48)

R est appelé le "rayon de courbure".

Quant à la relation :

equation   (25.49)

elle est appelé "1ère formule de Frenet" et montre que equation et equation sont colinéaires et donc leur produit vectoriel est nul (résultat utilisé plus loin).

Ces relations se jusitifient par l'analogie avec la mécanique. Effectivement, nous avons démontré plus haut que:

equation   (25.50)

Calculons maintenant l'accélération:

equation   (25.51)

nous retrouvons alors le résultat obtenu dans le chapitre de Mécanique Classique lors de notre étude du plan osculateur.

Pour donner une interprétation géométrique plus exacte de la courbure nous définissons d'abord par equation le centre du "cercle osculateur" (se trouvant dans le plan osculateur) ou "cercle de courbure" de rayon R qui tangente le mieux  localement equation tel que dans le repère de Frenet:

equation   (25.52)

Pour préciser géométriquement ce qu'est le cercle osculateur, prenez une courbe, et un point M sur cette courbe. Tracez ensuite la normale au point de cette courbe localement plane et prenez un point equation sur la normale. Alors, le cercle de centre O passant par le point M est tangent à la courbe. Mais tous les cercles tangents à la courbe ne sont pas tangents de la même façon! En effet, si equation est proche de M, le cercle va se situer plutôt à l'extérieur de la courbe (cercle bleu dans la figure ci-dessous). Si equation est proche de M, le cercle va se situer plutôt à l'intérieur de la courbe (cercle rose dans la figure ci-dessous). Le rayon limite entre être "à l'intérieur de la courbe" et être "à l'extérieur de la courbe" est par convention le "rayon de courbure" que nous avons défini plus haut. Le cercle correspondant à ce rayon est alors le fameux "cercle osculateur".

equation
  (25.53)

Dans le cas particulier où equation est un vecteur constant :

equation   (25.54)

et donc equation ce qui implique que R n'est plus défini. Nous disons quelque fois dans ce cas que le rayon de courbure à equation est infini (une droite présente alors une courbure nulle en tout point).

Etudions maintenant le vecteur perpendiculaire au plan osculateur défini par:

equation   (25.55)

Nous pouvons déjà dire, étant donné que equation et equation sont unitaires que equation l'est aussi (ce qui va nous servir plus loin)!

Démontrons que equation est orthogonal à equation:

equation   (25.56)

où nous avons pris le cas particulier equation (mais de toute manière en généralité equation et equation sont colinéaires comme nous l'avons démontré donc le produit vectoriel entre ces deux vecteurs est toujours nul).

equationC.Q.F.D.

Démontrons maintenant que equation  est colinéaire à equation:

De la même manière que nous avons démontré plus haut que equation est perpendiculaire à equation, nous démontrons que equation est perpendiculaire à equation!

Nous avons donc:

equation   (25.57)

Et étant donné que equation est aussi perpendiculaire à equation (démonstration précédente) il est donc colinéaire à equation.

equationC.Q.F.D.

Posons maintenant :

equation   (25.58)

Cette relation constitue la "2ème formule de Frenet" où par définition, equation est le "vecteur binormal" de equation au point M et equation en est la "torsion" et R' le "rayon de torsion".

Nous pouvons maintenant établir la "3ème formule de Frenet" :

equation   (25.59)

d'où nous tirons :

equation   (25.60)

Or de par les propriétés du produit vectoriel :

equation   (25.61)

d'où la 3ème formule de Frenet :

equation   (25.62)

Nous appelons "trièdre de Frenet" associé à equation au point M, le repère naturel orthonormal de l'espace equation:

equation
  (25.63)

où, en mécanique, le vecteur equation est colinéaire à la vitesse et l'accélération tangentielle et equation est colinéaire à l'accélération normale.

Remarque: Le rayon de courbure R est donc dans le plan osculateur (plan formé par le vecteur tangent et normal à la courbe) qui est le meilleur plan dans lequel est contenu la courbe. Du coup, le rayon de courbure donne en un point (localement) le meilleur ("le plus vrai") rayon de la courbe. La torsion nous donne par contre la tendance qu'à la courbe à sortir du plan osculateur (in extenso si la courbe est contenue dans un plan, la torsion est nulle).

Cherchons le rayon et le centre de courbure en tout M à notre hélice définie plus haut comme exemple pratique. Rappelons que sa fonction paramétrique est donnée par :

equation   (25.64)

et que :

equation   (25.65)

Nous avons dès lors :

equation   (25.66)

Au passage, vous remarquerez que nous avons bien:

equation   (25.67)

Ainsi, la courbure (l'inverse du rayon de courbure) est donnée par :

equation   (25.68)

Donc le rayon de courbure vaut :

equation   (25.69)

Ce qui est conforme à l'intuition puisque lorsque le pas h de l'hélice est nul, le rayon de courbure vaut r et lorsque le pas h tend vers l'infini le rayon de courbure tend vers l'infini aussi et la courbure vers zéro.

Et il vient par la première formule de Frenet le vecteur normal:

equation   (25.70)

et dont tous les points (extrémités du vecteur) sont confondus à l'axe Z de notre hélice quelque soit h! La coordonnées de la composante z de ce vecteur est nulle étant donnée que la normale est pris par rapport à un point M de la courbe déjà à une hauteur h implicite.

De par la 3ème formule de Frenet nous avec le vecteur binormal:

equation   (25.71)

et le rayon de torsion étant donné par la relation :

equation   (25.72)

Nous avons donc :

equation   (25.73)

d'où :

equation   (25.74)

NAPPES PARAMETRÉES

Soient equation :

equation avec equation   (25.75)

Appelons equation. Si g est continue, alors equation est une surface de l'espace "surface d'un seul tenant". Par définition, dans ce qui suit, le couple equation où g est une fonction supposée continue sera appelé "nappe paramétrée", et equation le "support" de la nappe paramétrée. Nous disons encore que equation et equation sont des paramétrages de equation.

Remarquons que pour une surface equation (par exemple un disque), il existe plusieurs nappes paramétrées associées (par exemple les coordonnées cartésiennes, polaires, sphériques).

Soit maintenant equation et:

equation   (25.76)  

tels que equation

Nous pouvons définir equation :

equation   (25.77)

Si nous supposons h continue, il est claire que equation est un arc paramétré. Appelons equation son support, nous avons equation et nous disons que equationest une "courbe tracée" ou "courbe inscrite" sur equation.

Remarque: Nous supposerons toujours désormais que equation

Soit equation. Intéressons nous aux deux courbes tracées sur equationdéfinies par les arcs paramétrés suivants :

equation avec equation

equation avecequation
  (25.78)

equationet equation sont les deux fonctions dites "fonctions partielles" de g en equation.

Les supports de equation et equation sont appelés "courbes-coordonnées" de equation en equation relativement au paramétrage equation. Nous les notons respectivement equation et equation. Nous appelons aussi equation "1ère courbe-coordonnée" et equation "2ème courbe-coordonnée".

Il est bien sûr évident (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) que :

equation   (25.79)

est tangent à equationen equation et que equation est tangent à equation en equation.

equation
  (25.80)

MÉTRIQUE D'UNE SURFACE

Soit :

equation avec equation   (25.81)

Notons equation, autrement dit :

equation   (25.82)

Nous avons aussi (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) :

equation   (25.83)

et nous avons démontré au début de ce chapitre que l'abscisse curviligne dans un espace cartésien était donnée par :

equation   (25.84)

Nous avons donc après substitution :

equation   (25.85)

Ce qui est équivalent à écrire :

equation   (25.86)

De manière plus traditionnelle avec la notation :

equation   (25.87)

Nous obtenons la "première forme quadratique fondamentale":

equation   (25.88)

Comme nous l'avons déjà démontré en calcul tensoriel, cette expression est indépendante de la nappe paramétrée equation car l'élément de longueur infiniment petit ds est indépendant du paramétrage de equation. Cette forme quadratique est donc un invariant qui représente la métrique sur equation.