COURS DE GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE



GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE

1. Isoclines

2. Trièdre de Frenet

3. Nappes paramétrées

3.1. Métrique d'une surface

Comme nous l'avons déjà en géométrie non-euclidienne, la géométrie différentielle est la branche de la géométrie qui vise à étudier les propriétés locales (au voisinage d'un point) et intrinsèques des courbes et des surfaces non-euclidiennes (comme une généralisation des surfaces euclidiennes!).

La géométrie différentielle tient son nom du fait qu'elle est née de la possibilité d'une interprétation cinématique que le calcul infinitésimal apporte à l'étude des courbes. Les points que nous aborderons ici serviront aussi bien dans l'étude de la mécanique classique que de l'analyse complexe appliquée à de nombreux domaines de l'étude des champs.

Remarque: Avant de nous attaquer à la manière très formelle et abstraite d'aborder la géométrie différentielle avec les outils de la topologie (méthode habituelle aux mathématiciens) nous avons choisi dans un premier temps de présenter les éléments essentiels de manière simple et agréable telle qu'elle est faite dans les écoles d'ingénieurs. Les puristes nous excuseront donc au cas où en attendant mieux...

Définition: Nous assimilerons "l'espace physique" à equation et le supposerons muni d'un repère equation et nous noterons B la base equation

Soient un ensemble equation et une fonction equation telle que :

equation   (25.1)

Remarques:

R1. Si f est continue, alors equation est une courbe de l'espace appelée "courbe d'un seul tenant".

R2. Une parabole, une sinusoïde sont des courbes appelées "courbes planes". Une ellipse, un cercle sont elles appelées des "courbes planes fermées". Pour ces exemples, tous les points des courbes considérées sont situés dans un même plan. Inversement, une courbe est appelée "courbe gauche" (gauchir = dévier, tordre) s'il n'en est pas ainsi.

Choisissons equation et posons equation que nous noterons par abus de langage equation nous pouvons alors énoncer la définition suivante : le couple (f , I) où f est une fonction continue est appelé "arc paramétré". equation est appelée le "support" de (f , I) et equation est une "origine" de (f , I).

Remarques:

R1. Abusivement, nous disons aussi que (f , I) est un "paramétrage" de equation.

R2. Il est facile de définir d'autres arcs paramétrées admettant aussi equation comme support. Pour ce faire, il suffit de se donner une fonction equation bijective de I vers equation et telle que equation.

Avant de continuer, rappelons qu'en géométrie différentielle, "l'abscisse curviligne" est une sorte de variante algébrique de la longueur d'un arc (c'est donc l'analogue, sur une courbe, de l'abscissse sur une droite orientée).

Considérons maintenant l'abscisse curviligne (cf. chapitre de Calcul Tensoriel) :

equation   (25.2)

nous savons que dans un espace euclidien canonique dans equation l'abscisse curviligne s'écrit alors :

equation   (25.3)

avec equation et comme nous avons equation, il reste :

equation   (25.4)

Dans le système cartésien :

equation   (25.5)

il vient donc que :

equation   (25.6)

Qui est donc l'élément différentiel linéaire d'un espace euclidien (le plus court chemin ou encore la "géodésique" ou encore " l'abscisse curviligne différentielle").

Nous pouvons bien évidemment écrire (par multiplication des deux côtés de l'égalité) :

equation   (25.7)

Voyons une application avec une hélice (les exemples sont jolis en géométrie différentielle et valent donc la peine d'être vus...) qui est un exemple typique de courbe gauche :

Soit equation et la fonction :

equation   (25.8)  

avec equation et les coordonnées paramétriques :

equation   (25.9)

Nous avons alors avec Maple en prenant r et h comme étant égaux à l'unité:

>spacecurve([cos(t),sin(t),t,t=-4*Pi..4*Pi,numpoints=1000]);

equation
  (25.10)

La fonction f est un arc paramétré dont le support est appelé une "hélice", r en est le rayon et h le pas. En prenant equation comme origine, l'abscisse curviligne de cette hélice (un morceau) est donné par :

equation   (25.11)

Donc :

equation    (25.12)

et alors:

equation   (25.13)

ISOCLINES

Voyons maintenant un point très important en mathématique mais en plus dans l'ingénierie médicale, astrophysique, météorologie (parmi encore beaucoup d'autres domaines) que sont les isoclines.

Avant d'aborder le sujet sous forme mathématique, nous proposons au lecteur d'ouvrir Matlab et d'y écrire:

EDU» [xx,yy,z]=peaks;
EDU» figure(1);mesh(xx,yy,z);title('peak')

equation
  (25.14)

ensuite pour des raisons esthétiques, d'écrire:

EDU» figure(2);surf(xx,yy,z);title('surf')

equation
  (25.15)

Ensuite nous aimerions que Matlab nous trace quelques courbes de niveau (les points où la valeur de la fonctions f(x,y) est constante), appelées par les matheux des "isoclines" ou "courbes d'iso-niveau". Il faut alors écrire:

EDU» figure(3);contour3(xx,yy,z);title('contour 3D')

equation
  (25.16)

Nous allons ensuite lui demander de les projet sur le plan X,Y.

Ce qui donne:

EDU» figure(3);contour3(xx,yy,z);title('contour 3D')

equation
  (25.17)

Et ce sont ces courbes qui vont nous intéresser. Nous souhaiterions déterminer les équations dans le plan de celles-ci sous forme explicite. Mais avant cela amusons nous avec Matlab en écrivant encore:

EDU» figure(4);pcolor(xx,yy,z);title('gradient')

equation
  (25.18)

mais nous pouvons faire encore mieux en enlevant la grille avec la commande:

EDU» shading interp

equation
  (25.19)

Ensuite, sans fermer le graphique ci-dessous créé par Matlab rajoutez maintenant la ligne:

EDU» hold on
EDU» contour(xx,yy,z,'k')

equation
  (25.20)

Considérons pour déterminer l'équation des isoclines la fonction equation de equation et que nous imposerons equation-différentiable.

La relation:

equation   (25.21)

définit une courbe equation plane appelée "isocline". C'est une courbe telle que lorsque x varie, y ne varie donc pas n'importe comment mais précisément de telle sorte que f reste constante.

Nous avons vu dans le chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral que la différentielle de f, pour des variations infinitésimales quelconques de x et y, est:

equation   (25.22)

Maintenant, si nous voulons que quand x varie de dx, la valeur de la fonction f ne change pas, il faut que dy ne soit pas n'importe quoi mais tel que la variation df soit nulle. Autrement dit:

equation   (25.23)

le long de equation. Mais cette équation ne sert à rien en tant que tel mais elle nous fixe le rapport de la dérivée de l'isocline dans la plan tel que:

equation   (25.24)

ce qui nous donne la pente de la tangente à equation et donc après par intégration, la fonction recherchée elle-même!

Il va de soit que le vecteur tangent à la courbe equation est donc un vecteur parallèle à celui ayant pour composantes:

equation   (25.25)

que nous noterons:

equation   (25.26)

De plus rappelons que le gradient est donné par (cf. chapitre de Calcul Vectoriel):

equation   (25.27)

Nous remarquerons que ces deux derniers vecteurs sont perpendiculaires (résultat qui nous sera utile dans le chapitre d'Analyse Complexe). Effectivement:

equation   (25.28)

En d'autres termes, le vecteur equation définit les lignes orthogonales à la courbe equation .

exempleExemple:

Prenons l'équation d'une parabole particulière dans equation:

equation   (25.29)

Nous avons donc les isoclines qui sont données par:

equation   (25.30)

d'où leur équation dans le plan:

equation   (25.31)

Soit des cercles dans le plan dont le rayon est égal à la racine carrée de la constante choisie correspondante à la hauteur z de la fonction f !

Calculons maintenant la pente de la tangente à equation:

equation   (25.32)

ce qui est conforme à la simple dérivée de:

equation   (25.33)

Nous avons aussi:

equation   (25.34)

Nous voyons qu'en equation ce vecteur est vaut:

equation   (25.35)

ce qui est bien conforme au vecteur tangent que nous avons au cercle en ce point de l'axe des abscisses.


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