PARAMÉTRISATIONS



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE

1. Coniques

2. Paramétrisations

2.1. Equation du plan

2.2. Equation d'une droite

2.3. Equation d'un cône

2.4. Equation d'une sphère

2.5. Equation d'une ellipsoïde

2.6. Equation d'un cylindre

2.7. Surfaces de révolution

Pour certaines des formes présentées ci-dessous, il est possible de choisir un autre système de coordonnées que les coordonnées cartésiennes tel que par exemple les coordonnées cylindriques ou sphériques qui sont dans certains cas beaucoup plus simples à mettre en place. Nous tacherons dans la mesure du possible de présentes les plus importantes.

ÉQUATION DU PLAN

Soit un plan P dont nous connaissons un vecteur normal et unitaire equation mais pas l'équation et equation un point de P

Pour qu'un point M de coordonnées (x, y, z) appartienne au plan P il faut et il suffit que les vecteurs equationet equation soient orthogonaux. Donc soit le point donné par le vecteur equation étant de coordonnées:

equation   (24.72)

Si equation est perpendiculaire à equation alors le produit scalaire doit être nul tel que:

equation   (24.73)

Ce qui s'écrit aussi :

equation   (24.74)

tel que nous obtenions l'équation cartésienne générale du plan:

equation   (24.75)

Cette équation où equationqui vérifie que les coordonnées d'un point equation quelconque du plan P appartienne à ce plan est donc appelée "équation cartésienne du plan P".

Si nous écrivons l'équation avec les cosinus directeurs de equation (cf. chapitre de Calcul Vectoriel), nous avons dès lors aussi :

equation   (24.76)

Remarque: Pour obtenir un cube dans l'espace, il suffit d'avoir six plans délimités par des conditions telles que equation

ÉQUATION D'UNE DROITE

Comme nous l'avons vu en analyse fonctionnelle, une droite dans le plan peut-être décrite par la fonction :

equation   (24.77)

L'équation cartésienne généralisée de la droite est alors simplement donnée par :

equation   (24.78)

Effectivement, en simplifiant nous retrouvons "l'équation cartésienne réduite" :

equation   (24.79)

Définition: Nous appelons "vecteur directeur" d'une droite D , tout vecteur non nul de même direction que la droite.

Montrons maintenant les deux petits théorèmes sympathiques suivants :

T1. Si une droite a pour équation equation alors le vecteur equationest directeur de cette droite

T2. Si une droite a pour équation equation alors le vecteur equation est directeur de cette droite.

Démonstrations:

DM1. Soit equation et A, B deux points de cette droite pris tel que equation. Comme A, B sont deux points de D alors equation est un vecteur directeur de D alors :

equation   (24.80)

Un petit corollaire intéressant aus passage qui a une application en physique!:

Si une droite D1 à un vecteur directeur valant:

equation   (24.81)

et une autre droite D2 un vecteur directeur valant:

equation   (24.82)

alors leur produit scalaire (cf. chapitre de Calcul Vectoriel) est nul, ce qui montre que deux droites dont la multiplication des pentes (deuxième coordonnée du vecteur directeur) vaut -1 sont perpendiculaires!

DM2. Soit equation donc equation alors le vecteur equationest un vecteur directeur de D ainsi que tout vecteur equation. Ainsi, il existe une infinité de manières de définir la même droite, puisque la droite est composée d'une infinité de points (qui peuvent tous servir de point d'ancrage) et qu'il existe une infinité de multiples du vecteur directeur.

equationC.Q.F.D.

Souvent, nous recherchons la distance entre une droite et un point externe à celle-ci. Ainsi, considérons la figure suivante :

equation
  (24.83)

avec H la projection orthogonale de A sur la droite d, P un point arbitraire de d et equation un vecteur orthogonal (normal) à d.

Nous avons (cf. chapitre de Calcul Vectoriel) :

equation   (24.84)

car equation ou equation. Ainsi :

equation   (24.85)

Nous obtenons donc la relation :

equation   (24.86)

Considérons maintenant le point equation et la droite equation.

Choisissons un point equation ainsi qu'un vecteur equation, normal à equation (rappelons que equation est vecteur directeur). Ainsi, en appliquant la relation précédente nous avons :

equation   (24.87)

Si nous considérons maintenant deux plans non parallèles de l'espace, leur intersection est une droite. Soit deux plans d'équations respectives:

equation   (24.88)

et D leur droite d'intersection.

Un point equation de l'espace appartient à la droite D si et seulement si le point M satisfait le système d'équations:

equation   (24.89)

Remarque: Alors que dans le plan une droite est caractérisée par une équation du type equation (cf. chapitre d'Analyse Fonctionnelle). Dans l'espace, une seule équation de la forme equation caractérise un plan. Pour caractériser une droite en dehors des plans des axes, il est nécessaire (équation paramétrique mis à part) d'avoir deux équations.

Il est trivial (mais nous allons quand même le démontrer) que l'équation paramétrique d'une droite est un système d'équations du type :

equation   (24.90)

Ainsi, chaque composante croit linéairement par rapport à la même variable à une constante et un facteur près. Ceci s'écrit aussi sous forme vectorielle (plus traditionnelle) :

equation   (24.91)

Le vecteur equationest appelé "vecteur directeur".

Démonstration: Nous avons donc le système d'équations (deux équations à trois inconnues, ainsi une inconnue sera indéterminée) :

equation   (24.92)

Eliminons une des variables (commençons arbitrairement par z) :

equation   (24.93)

equation donc equationd'où :

equation   (24.94)

donc (c'est un peu bête à écrire mais bon...) :

equation   (24.95)

De manière similaire avec equation tel equation:

equation   (24.96)

Finalement nous avons :

equation   (24.97)

Le vecteur directeur et le vecteur d'ordonnée sont des constantes. Ce qui nous permet d'écrire de manière plus générale :

equation   (24.98)

equationC.Q.F.D.

Remarques:

R1. L'équation d'une droite est presque ce qu'il y a de plus important en synthèse d'images 3D car à partir de ces dernières nous pouvons construire des polygones et assembler ces derniers pour construire des formes tridimensionnelles plus complexes.

R2. Pour savoir si une droite est perpendiculaire à un plan il faut déterminer au moins deux droites sécantes dans ce même plan et effectuer le produit vectoriel de leur vecteur directeur et ensuite calculer le produit scalaire entre le résultat du produit vectoriel et la première droite dont nous cherchons l'orthogonalité. Effectivement, une seule droite du plan ne permet pas de déterminer l'orientation de ce dernier il en faut au moins deux.

ÉQUATION D'UN CÔNE

Soit la figure ci-dessous:

equation
  (24.99)

Nous remarquons tout d'abord que equation, d'où (l'origine du repère est notée par la lettre equation) :

equation   (24.100)

Or ici, equation d'où:

equation   (24.101)

étant donné que:

equation   (24.102)

donc :

equation   (24.103)

c'est l'équation cartésienne d'un cône dans l'espace que nous retrouverons en relativité restreinte lors de notre étude des cônes de lumière.

ÉQUATION D'UNE SPHÈRE

Considérons le repère orthonormé equation, soit S la sphère de centre equation et de rayon r :

equation
  (24.104)

equationappartient à la sphère S de centre equationet de rayon r si et seulement si equation c'est à dire :

equation   (24.105)

D'où l'équation cartésienne de la sphère dans le repère equation:

equation   (24.106)

Il existe une autre manière de décrire la sphère en utilisation l'équation paramétrée. Effectivement, nous avons vu dans le chapitre de Calcul Vectoriel que le passage des coordonnées cartésiennes aux coordonnées sphériques sont données par les coordonnées curvilignes :

equation   (24.107)

Ainsi, nous avons bien :

equation   (24.108)

Nous retrouvons donc bien l'équation cartésienne d'une sphère à une constante de translation près.

ÉQUATION D'UN ELLÏPSOÏDE

Nous avons lors de notre étude des coniques que l'équation d'une ellipse dans le plan était donnée par :

equation   (24.109)

avec a, b étant les deux axes de l'ellipse (le petit et le grand).

Ainsi, sans démonstration rigoureuse, nous pouvons vérifier à la main ou à l'aide des ordinateurs que l'équation cartésienne :

equation
  (24.110)

est un ellipsoïde :

equation
  (24.111)

Cependant, il existe une autre manière de décrire l'ellipsoïde en utilisant les coordonnées curvilignes :

equation   (24.112)

Nous avons donc :

equation   (24.113)

d'où :

equation
  (24.114)

Finalement :

equation   (24.115)

ÉQUATION D'UN CYLINDRE

Il va sans dire que l'équation d'un cylindre de rayon r est donnée par l'équation paramétrique :

equation   (24.116)

Nous voyons bien que les composantes x, y satisfont l'équation cartésienne d'un cercle puisque :

equation   (24.117)

Au même titre l'équation paramétrique d'un cylindre à base elliptique est donnée par :

equation   (24.118)

qui vérifie aussi l'équation paramétrique d'une ellipse dans le plan :

equation   (24.119)

SURFACES DE RÉVOLUTION

De manière plus générale de nombreuses surfaces (dont certaines que nous avons vues précédemment) peuvent être décrites par révolution d'une forme primaire de dimension inférieure et ensuite par rotation.

Définition: Une "surface de révolution" est une surface obtenue en faisant tourner une courbe plane (par exemple equationautour de l'axe Oz. Ainsi, nous passons alors d'un plan de equation a un repère de equation, l'axe Ox engendre dès lors un plan devenu yOz.

Prenons deux exemples classiques (parmi l'infini) :

E1. Soit la parabole d'équation :

equation   (24.120)

(rappelons que equation) qui tourne autour de l'axe Oz. Nous avons bien évidemment (en coupant le paraboloïde par un plan ce qui donne un cercle de rayon r) la relation:

equation   (24.121)

(dite "équation cylindrique") . Or, nous avons aussi:

equation   (24.122)

d'où l'équation du paraboloïde de révolution :

equation   (24.123)

E2. La droiteequation tourne autour de Oz. Donc:

equation   (24.124)

ce qui nous donne :

equation   (24.125)

Définition: Toute surface engendrée par une droite est une "surface réglée".

Prenons l'exemple important (cheminée de centrales nucléaire, engrenages, etc.) qu'est l'hyperboloïde à une nappe d'équation :

equation   (24.126)

Pour simplifier l'exemple prenons equation. Nous avons donc :

equation   (24.127)

ce qui s'écrit aussi comme le produit de l'équation de deux droites tel que :

equation   (24.128)

Ainsi, ses deux droites (de pente opposées) appartiennent à la nappe et tout point appartenant à une de ses deux droites y est contenu. Les figures ci-dessous montrent bien qu'au fait, tout point appartient à ses deux droites.

equationequation
  (24.129)

On pourrait ceci dit très bien décrire par des cercles tel que :

equation   (24.130)

equation.

equation
  (24.131)