COURS DE GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE

GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE

1. Coniques

2. Paramétrisations

2.1. Equation du plan

2.2. Equation d'une droite

2.3. Equation d'un cône

2.4. Equation d'une sphère

2.5. Equation d'une ellipsoïde

2.6. Equation d'un cylindre

2.7. Surfaces de révolution

La "géométrie analytique" est la branche de la géométrie qui s'occupe de l'étude des formes géométriques et de leurs propriétés en utilisant les outils avancés du calcul algébrique tel que l'analyse fonctionnelle, le calcul vectoriel ou l'algèbre linéaire. Sa frontière se situe au niveau des outils utilisés.

Remarque: Lorsque nous faisons usage pour ces mêmes études du calcul différentiel et intégral, alors nous faisons de la "géométrie différentielle" (voir chapitre du même nom).

La géométrie analytique est un très vaste domaine (comme tout le reste) alors... nous aborderons ici que les éléments absolument indispensables à l'étude de la physique et de l'ingénierie. Ces éléments sont par ailleurs souvent étudiés dans les petites classes et sont (cités dans l'ordre) : les coniques, les équations de la droite, du plan, de la sphère, etc... leurs intersections, leurs plans tangents et encore bien d'autres.

CONIQUES

Il nous a été très difficile de choisir s'il fallait mettre l'étude des coniques dans la section d'algèbre ou de géométrie. Nous avons finalement décidé de mettre cette étude dans le présent chapitre (donc de géométrie...) qui permet de supposer que le lecteur ayant fait une lecture linéaire du site a déjà parcouru tous les chapitres présentant les outils mathématiques nécessaires à l'étude des coniques. Nous espérons que notre choix s'avérera le meilleur pour le lecteur.

Remarque: L'étude des coniques nous sera très utile dans le chapitre d'Astronomie ainsi que dans le chapitre d'Optique Géométrique. Il convient donc de s'y attarder dans les détails.

Soit un repère orthonormé du plan. Les courbes algébriques les plus simples que l'on trouve après les droites dont les équations sont sous forme générale (rappel):

(24.1)

sont les courbes du deuxième degré, à savoir par extension :

(24.2)

avec non tous nuls. Ces courbes de second degré sont appelées "coniques" (appelées également "quadriques" de par la présence d'un terme quadratique).

Notre première tâche va consister à obtenir, par translation et rotation du repère dans laquelle cette relation est exprimée, une équation réduite beaucoup plus simple tel en éliminant le terme en xy . En effet, choisissons un nouveau repère se déduisant de l'ancien par une rotation d'angle . Soit x' et y' les nouvelles coordonnées des points. Nous avons (cf. chapitre de Géométrique Euclidienne) :

(24.3)

D'où:

(24.4)

L'équation devient:

equation (24.5)

Nous cherchons donc à ce que termes en x'y' regroupés soient tels que :

(24.6)

Puisque (cf. chapitre de Trigonométrie) :

et (24.7)

par substitution, nous obtenons :

(24.8)

Pour avoir que les termes en x'y' se simplifient, il suffit donc de choisir l'angle de rotation tel que:

equation (24.9)

Nous considérerons alors désormais l'équation:

(24.10)

1. Si nous posons et . Quitte à diviser par , nous pouvons nous ramener à une équation du type:

(24.11)

où:

- Si , nous nous retrouvons avec une équation décrivant la figure d'une "parabole" d'axe parallèle à .

- Si , il s'agit d'un cas dégénéré

2. Si nous posons et le cas se traite comme précédemment

3. Si et , nous pouvons supprimer les termes et de la façon suivante:

equation (24.12)

Par un simple changement de repère de translation, nous arrivons donc à une équation du type:

(24.13)

- Si , alors la relation précédente se réduit à un point dans si et sont de même signe, et à une droite si et sont de signe contraire.

- Si et posons:

(24.14)

où signifie: 1 multiplié par le signe de .

Et divisions le tout par tel que:

equation (24.15)

Posons:

(24.16)

Nous obtenons:

(24.17)

Nous avons donc plusieurs situations possibles:

equation (24.18)

Deux termes ci-dessus sont impossibles dans , c'est pourquoi nous les avons tracés (la somme de deux nombres positifs ne peut être négative et inversement).

Il y a plusieurs cas de figures intéressants:

- Pour:

ou (24.19)

et nous avons un cercle de rayon unité.

- Pour:

, (24.20)

et nous avons une ellipse.

- Pour:

equation (24.21)

et , nous avons des hyperboles dont l'axe de symétrie est soit parallèle à OX soit à OY

Remarque: Pour voir les figures, utilisez la fonction implictitplot(...) dans Maple.

Le terme "conique" provient du fait que l'une des premières définitions des conques consistait en l'intersection d'un cône et d'un plan.

En effet, soit l'équation d'un cône ayant un angle de au sommet (voir géométrie spatiale)

l'équation d'un plan de vecteur normal (nous utilisons les cosinus directeurs):

(24.22)

Posons:

(24.23)

Explications: nous avons ainsi un vecteur normal de le plan ZOY et un plan qui n'est jamais en intersection avec l'axe X. Si le cosinus directeur , nous avons un plan vertical translaté de h sur l'axe des Y. Si , nous avons un plan horizontal translaté de h sur l'axe des Z

Soit la matrice de rotation dans l'espace par rapport à l'axe Z (cf. chapitre de Géométrie Euclidienne):

equation (24.24)

avec:

(24.25)

Nous avons donc pour expression de rotation du plan:

(24.26)

Après simplification:

(24.27)

Donc après rotation, nous avons un plan vertical translaté de h selon l'axe des Y.

Identiquement, pour le cône, une rotation correspond selon l'axe des Z (donc il ne se passe pas grand chose):

(24.28)

Après développement et simplification:

(24.29)

Equation qui donne un cône horizontal si et un cône vertical si .

Ainsi, nous avons le système général:

equation (24.30)

Si nous traçons dans Maple la fonction (en s'amusant avec les angles):

>implicitplot3d({x^2-(y^2-z^2)*cos(2*)+y*z*2*sin(2*)=0,z=h},x=-20..20,y=-20..20,z=-20..20)

Nous voyons que pour:

- nous obtenons une intersection entre le plan et le cône donnant une ellipse

- nous obtenons une parabole

- nous obtenons une hyperbole

Voici à peu près ce que cela donne:

equation
(24.31)

Nous donnons également à la courbe d'équation le nom d'hyperbole car, par changement de variable:

(24.32)

Ce qui nous ramène à:

(24.33)

ce qui comme nous l'avons vu précédemment, est bien l'équation d'une hyperbole.

Cependant, les coniques on aussi une définition géométrique:

Soit F un point du plan, D une droite ne contenant pas F et e un réel strictement positif. Nous nous intéressons à:

(24.34)

F s'appelant le "foyer", D la "directrice de la conique" et e l'excentricité.

Nous choisissons F comme origine du repère, de façon que D ait pour équation:

avec (24.35)

Alors:

equation (24.36)

Nous nous retrouvons bien avec l'équation d'une conique. Nous pouvons considérer maintenant plusieurs cas particuliers:

1. Cas où :

L'équation se limite alors à:

(24.37)

Il s'agit d'une parabole d'axe orthogonal à D, dont le sommet est le milieu du segment , où K est la projection de F sur D.

Relativement à l'origine , l'équation se réduit à:

(24.38)

où h est appelé "paramètre de la parabole" et relativement à , le foyer sera donné par les coordonnées et la directrice par l'équation .

equation
(24.39)

2. Cas où :

Il s'agit d'une ellipse:

equation (24.40)

Le dernier terme donnant après développement :

equation (24.41)

Posons que equation est l'origine de l'ellipse. L'équation précédente se simplifie et devient:

equation (24.42)

Pour connaître le demi-grand axe de l'ellipse il suffit de poser . Ainsi:

equation (24.43)

d'où le demi-grand axe valant:

(24.44)

de la même manière, nous obtenons le demi-petit axe:

(24.45)

en posant étant le "paramètre de l'ellipse" ou "paramètre focal de l'ellipse", nous obtenons :

(24.46)

dont la première relation sera très utile dans le chapitre d'Astronomie et de Relativité Générale.

Puisque , nous avons :

equation (24.47)

Etant donné que est sur l'axe X, nous pouvons prendre le cas particulier où tel que :

(24.48)

il existe donc deux foyers à l'ellipse à une distance équivalente mais opposée de .

Nous définissons dès lors l'excentricité d'une ellipse par le rapport:

(24.49)

Nous pouvons dès lors démontrer une relation que nous retrouvons couramment dans les formulaires :

(24.50)

C'est-à-dire :

equation (24.51)

L'égalité est donc démontrée.

equation
(24.52)

Une représentation paramétrique utile et évidente de l'ellipse est:

(24.53)

Effectivement si nous considérons l'équation cartésienne de l'ellipse démontrée précédemment :

(24.54)

et en posant et alors nous obtenons:

(24.55)

Si nous nous souvenons du cercle trigonométrique, cette équation admet les solutions et . Il vient alors :

et (24.56)

Voilà...

Cependant, il existe une autre forme d'équation de l'ellipse, bien plus importante, que l'on retrouve aussi bien en physique classique, astrophysique et physique quantique corpusculaire.

Rappelons que:

equation (24.57)