VOLUMES CONNUS



FORMES GÉOMÉTRIQUES

1. Surfaces connues

1.1. Polygones

1.1.1. Rectangle

1.1.2. Carré

1.1.3. Triangle

1.1.4. Triangle isocèle

1.1.5. Triangle équilatéral

1.1.6. Triangle équilatéral

1.1.7. Triangle rectangle

1.1.8. Trapèze

1.1.9. Parallèlogramme

1.1.10. Losange

1.1.11. Cercle

1.1.12. Ellipse

2. Volumes connus

2.1. Polyèdres

2.1.1. Parallélépipède

2.1.2. Prisme

2.1.3. Pyramide

2.2. Polyèdres réguliers

2.2.1. Tétraèdre régulier

2.2.2. Hexaèdre régulier

2.2.3. Octaèdre régulier

2.2.4. Icosaèdre régulier

2.2.5. Tétraèdre régulier

2.3. Corps de révolutions

2.3.1. Cylindre

2.3.2. Cône

2.3.3. Sphère

2.3.4. Tore

2.3.5. Ellipsoïde

2.3.6. Paraboloïde

2.3.7. Tonneau à section circulaire

Il existe plusieurs définitions du concept de volume (surface qui limite un corps). Une définition due à Euclide et une autre due au domaine de la topologie (voir le chapitre du même nom).

Définitions:

D1. Un "volume" est ce qui a longueur, largeur et hauteur.

D2. Un "volume" est une variété topologique de dimension 3.

Les surfaces qui limitent un corps peuvent être planes ou courbes:

equation
  (26.79)

A gauche, le corps est limité uniquement par des surfaces planes, au milieu par une et une seule unique surface courbe, et à droite par une surface courbe et deux surfaces planes.

Remarque: Nous nous intéresserons dans un premier temps uniquement aux propriétés (surface, volume, centre de gravité, moment d'inertie...) de volumes plongés dans des géométries euclidiennes.

POLYÈDRES

L'étude des polyèdres (particulièrement les polyèdres platoniciens) est très importante en physique (pour la cristallographie par exemple) et en mathématique car il permet d'avoir une application sympathique des groupes finis (cf. chapitre d'Algèbre Ensembliste). Il convient donc de porter une lecture relativement attentive à ce qui va suivra.

Par ailleurs, l'étude des polyèdres est aussi un moyen très pédagogique et esthétique pour voir la mise en oeuvre de plusieurs théorèmes géométriques, de trigonométrie et d'algèbre vectoriel.

Précisons avant toute chose que les différents polyèdres ne seront délibérément pas présentés sur un pied d'égalité. Ainsi, nous nous concentrerons sur certaines propriétés pour certains et pas pour d'autres.

Définitions:

D1. Un "polyèdre" est un solide dont la frontière est formée de plans ou de portions de plan. Les portions de plan qui comprennent ainsi entre elles le polyèdre, sont les faces, chaque face, étant limité par intersections (les arêtes) avec les faces voisines, est un polygone. Les côtés de ce polygone sont les arêtes du polyèdre. Nous appelons "sommet" d'un polyèdre tout sommet d'une quelconque de ses faces.

equation
  (26.80)

D2. Un "polygone régulier" est un polygone dont les côtés, et tous les angles sont égaux (cette définition nous sera utile pour les polyèdres réguliers).

Parallélépipède

Définition: Le "parallélépipède" est un volume à six faces parallèles deux à deux (donc il n'est pas un polyèdre régulier!).

equation
  (26.81)

Son volume est simplement donné par la définition même du volume... :

equation   (26.82)

Quand à sa surface, il s'agit simplement de la somme des surfaces des rectangles sans rien de particulier.

Calculons maintenant le moment d'inertie d'une plaque (parallélépipède) d'épaisseur e et de surface transversale S dont l'axe de rotation est y :

equation
  (26.83)

Un élément de volume du rectangle (en gris) est donné par :

equation   (26.84)

et :

equation   (26.85)

et occupons nous maintenant du moment d'inertie de ce rectangle par rapport à l'axe z (perpendiculaire à x et à y donc) et disposons les axes de façon à avoir:

equation   (26.86)

Nous avons :

equation   (26.87)

r est donc dans la plan de x et y.

Avec :

equation   (26.88)

d'où :

equation   (26.89)

Soit le moment d'inertie d'une plaque rectangulaire :

equation   (26.90)

si la plaque est carrée de côté L :

equation   (26.91)

Nous allons montrer qu'il est dès lors possible de calculer le moment d'inertie du triangle équilatéral et rectangle.

Le moment d'inertie toujours par rapport au même axe mais pour la moitié du carré est donnée par :

equation   (26.92)

Si le centre de gravité est posé sur le tiers de la médiane partant du centre de gravité du carré et que nous faisons usage du théorème de Steiner (cf. chapitre de Mécanique Classique), il vient :

equation   (26.93)

Qui est donc le moment d'inertie d'un triangle équilatéral.

En procédant exactement de même pour un triangle rectangle de côtés a, b dont l'axe de rotation passe par le centre de masse G, il vient :

equation   (26.94)

PYRAMIDE

Définition: La "pyramide" est un polyèdre qui a pour base un polygone et pour faces latérales des triangles réunis en un point appelé "sommet". La pyramide n'est donc pas dans le cas général un polyèdre régulier!

equation
  (26.95)

Considérons une surface S(t) de la section de la pyramide avec le plan d'équation equation, alors le volume V cherché est égal à :

equation   (26.96)

Nous parlons d'équation de plan alors qu'il n'y a pas de repères défini pour l'instant. Au fait, dans l'intégrale, t varie entre 0 et h. Cela sous-entend que nous prenons un repère centré en H (le pied de la hauteur de la pyramide), d'axe de la droite equation (la hauteur de la pyramide) orientée de O vers H (du pied de la hauteur vers le sommet). Les deux autres axes sont choisis quelconques dans le plan de la base de la pyramide.

Il nous faut préciser maintenant ce que vaut S(t) en fonction de t :

Soit S l'aire de la base de la pyramide. La section de la pyramide par le plan d'équation equation se déduit par l'homothétie de centre O et de rapport t/h. Donc l'intégrale s'écrit :

equation   (26.97)

Le fait d'avoir pris le carré de t/h provient du fait que chaque terme intérieur de S est le produit de deux termes (selon le calcul de la surface d'un triangle) chacun de rapport d'homothétie t/h.

Ainsi, nous avons :

equation   (26.98)

PRISME DROIT

Définition: Le "prisme droit" est un polyèdre dont les bases sont deux polygones égaux à côtés parallèles (elles ont la même surface!), les faces latérales étant des parallélogrammes. Donc le prisme droit n'est pas un polyèdre régulier! Les deux faces parallèles et de même forme sont appelées les bases du prisme droit.

equation
  (26.99)

Pour calculer le volume V d'un prisme droit, nous devons tout simplement multiplier l'aire de sa base B par sa hauteur h :

equation   (26.100)

Sa base est un polygone, c'est-à-dire qu'elle peut être un triangle, un quadrilatère, ou un pentagone... Il faut donc savoir calculer ces aires pour calculer le volume du prisme droit.


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